初二数学（上）应知应会的知识点       

因式分解

1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.

3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.

注意公式：a+b=b+a；   a-b=-(b-a)；   (a-b)2=(b-a)2；   (a-b)3=-(b-a)3.

4．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；

(2)完全平方公式：  a2+2ab+b2=(a+b)2,   a2-2ab+b2=(a-b)2.

5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式 Û”.

分式

1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子 叫做分式.

2．有理式：整式与分式统称有理式；即 .

3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；

即 

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.

5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.

6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.

7．分式的乘除法法则：.

8．分式的乘方：.

9．负整指数计算法则：

（1）公式： a0=1(a≠0),   a-n= (a≠0)；

（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

（3）公式：，；

（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.

10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.

11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.

12．同分母与异分母的分式加减法法则：  .

13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.

数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.

2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；

（2）0的平方根还是0；

（3）负数没有平方根.

3．平方根的表示方法：a的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.注意：0的算术平方根还是0.

5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.

6．两个重要公式：

（1） ; (a≥0)

（2）  .

7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为；即把a开三次方.

8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；

（2）0的立方根还是0；

（3）负数的立方根是一个负数.

9．立方根的特性：.

10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：p和开方开不尽的数是无理数.

11．实数：有理数和无理数统称实数.

12．实数的分类：（1）（2） .

13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：    .

三角形

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一  基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

二  常识：

1．三角形中，第三边长的判断：   另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.

6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：

（1） AC·CB=CD·AB ；  （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .

8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.

12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）选取和作辅助线的原则：

①  构造特殊图形，使可用的定理增加；

②  一举多得；

③  聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；

④  作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC

（5）其它

 

第二篇：初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.2知识点总结含同步练习及答案

初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案

第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角

一、学习任务

1. 掌握三角形的内角和和外角和定理，并会熟练运用内外角和定理解决相关的角的问题．

2. 会证明三角形内角和和外角和定理．

3. 掌握直角三角形中角的性质和判定．

二、知识清单

三角形的内外角和

三、知识讲解

1.三角形的内外角和

描述：三角形内角与外角

在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的一边与其邻边的延长线组成的角，叫做三角形的

外角．

三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于 180?．

三角形外角和定理

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理的推论直角三角形两个锐角互余．两锐角互余的三角形是直角三角形．

飞镖模型及“8”字模型

三角形角平分线与内角和

例题：在 △ABC，∠A:∠B:∠C=2:1:3，则 ∠A=______．

解：60?．

一个三角形三个外角之比为 2:3:4，三个内角的度数分别是______．解：100?，60?，20?．

三角形外角和是360?，再根据比例分别求出三个外角，即可求出对应的内角．如图，三角板的直角顶点在直线

l 上，若 ∠1=40?，则 ∠2 的度数是______．解：50?．

如图所示，已知 ∠A=70?，∠B=40?，∠C=20?，求 ∠BOC 的度数．

解：方法一：延长 BO 交 AC 于 D，所以 ∠BOC=∠1+∠C=∠A+∠B+∠C

=130?．

方法二：连接 BC，因为 ∠1+∠2+∠A+∠B+∠C=180?，所以 ∠1+∠2=50?．因为 ∠1+∠2+∠BOC=180?，所以 ∠BOC=130?．

方法三：连接 AO 并延长到点 D，因为 ∠3+∠B=∠1，∠4+∠C=∠2，所以

∠3+∠B+∠4+∠C=∠1+∠2=130?．

已知如图1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和 ∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出 ∠A，∠B，∠C，∠D 之间的数量关系：__________________；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；（3）在图2中，若 ∠D=40?，∠B=36?，试求 ∠P 的度数．

分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出 ∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有 6 个；

（3）现根据“8字形”中的角的规律，可得 ∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，再根据角平分线的定义，得出 ∠DAP=∠PAB，

∠DCP=∠PCB，可得 2∠P=∠D+∠B，进而求出 ∠P 的度数．

解：（1）∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）① 线段 AB，CD 相交于点 O，形成“8字形”；

② 线段 AN，CM 相交于点 O，形成“8字形”；

③ 线段 AB，CP 相交于点 N，形成“8字形”；

④ 线段 AB，CM 相交于点 O，形成“8字形”；

⑤ 线段 AP，CD

相交于点 M，形成“8字形”；

AN

C 选项中，∠A=90??∠B，

所以 ∠A+∠B=90?，所以 ∠C=90?.

D 选项中，所以 ∠A=90?+∠B>90?，是钝角三角形，故选D．

4. 如图，已知 ∠ACB=90?,CD⊥AB，垂足是 D，则图中与 ∠A 相等的角是 (

)

A．∠1C．∠B

答案：BB．∠2D．∠1 、 ∠2 和 ∠B

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