高中数学知识点总结_导数的应用

导数的应用、复数

1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，若>0，则在上递增;若<0，则在上递减. 注意：为正（负）是函数递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减≤0在（a,b）上恒成立

[举例1]已知函数若在是增函数，求实数的范围。

解析：≥0在上恒成立在上恒成立

而在上的最小值为16，故。

[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f^/(x)在R上也可导，且其导函数[f^/(x)]^/<0，

则y=f(x)的图象可能是下图中的（ C ）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

解析：由[f^/(x)]^/<0知f^/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。

[举例3] f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf^/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（）（07陕西理11）

A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

解析：xf^/(x)+f(x)≤0[xf(x)]^/ ≤0函数F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上为常函数或递减，

又0<a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0 ① ②

①②两式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故选A。

注：本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感。

[巩固1]函数在）上递增，的取值范围是。

[巩固2设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）

[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f^/(x)>g^/(x),若a>b，则（）

A．f(a)>g(b) B．g(a)<f(b)

C．f(a) -f(b) <g(a)- g(b) D．f(a) -f(b) >g(a)- g(b)

2．“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若

（或）恒成立，则函数无极值。

[举例1] 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

解析：函数的导数．

（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．

（Ⅱ）在题设下，等价于　即．

化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：

所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．

[举例2] 已知函数在处有极值10,则

解析：，∴= ①

② 由①②得：或

当时，，此时函数无极值，舍去；

当时，函数在处左减右增，有极小值；

此时∴18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对再次求导，看的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。

[巩固1]已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式; (Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.

[举例2]设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）

3.求在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数（2）求导数方程=0的根（3）检查在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式≥0及≤0确定函数在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。

[举例1] 设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

解析：（Ⅰ），由，．解得，．

（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，

由（Ⅰ）可知，，．

当时，；当时，；当时，．

即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．

于是有：，解得　或，因此的取值范围为。

[举例2] 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；

解析：设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，

在为减函数，∴在的最大值为．

[巩固1] 设函数，求在区间的最大值和最小值．

[巩固2] 已知函数，其图象为曲线C

（1）直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值

（2）是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。

4．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为，= -1，，=1，；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数（∈R，∈R）在复平面内唯一对应点（，）。

[举例1] 设是实数，且是实数，则（）

A． B． C． D．

解析：==∈R，则1

[举例2] 已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程

的两个根，那么的值分别是（　　）A

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

解析：分别将代入方程得： ①

② 对①②整理得：

；解得：。本题也可以用“韦达定理”求解：

③， ④ 对③④整理得：

。

[巩固1]在复平面内，复数z=对应的点位于

（A）第一象限　　（B）第二象限　　（C）第在象限　（D）第四象限

[巩固2] 设复数满足，则（）

A． B． C． D．

答案

1、[巩固1]，[巩固2]D，[巩固3]D，2、[巩固1] ．．

[巩固2]；3、[巩固1] [巩固2] （1）a=,b= (2)a=2，b=3 f(x)在(-1,0)上单调递增;a=-2，b=-29 f(x)在(0、2)上单调递增。4、[巩固1] D，[巩固2] C

第二篇：高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率为

注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

性质5 若，则

①推广：

②推广:

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程

大致如图：

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

27.反证法的思维方法:正难则反

28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

规定：a=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。