《函数与导数》解题方法总结学案

《函数与导数》解题方法总结学案

解题策略

1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.

2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.

3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.

4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.

5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.

6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝0的解x₀；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.

7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：① 高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.

8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.

典型例题

考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法

例1、函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的定义域为

A．高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。　　　B．　　　C．　　　　D．

例2、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。 =min{, x+2,10-x} (x 0),则的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

考点二. 函数的零点

例1、函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的零点个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【方法总结】：求函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

例2、设a为常数，试讨论方程高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的实根的个数。

【方法总结】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例3、已知a是实数，函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。

【方法总结】：函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决

该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。；f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.

考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性

例1、已知定义在R上的奇函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则

【方法总结】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题

例2、已知函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。若则实数的取值范围是

A 高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。 B C D

【方法总结】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便

考点四.函数的图象

例1、右图是函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！的图象，给出下列命题：

①—3是函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！的极值点；②—1是函数的最小值点；

③ 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！在处切线的斜率小于零；

④ 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！在区间（—3，1）上单调递增。

则正确命题的序号是（）学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

例2、函数( )

例3、方程 ( )

A、0 B、1 C、2 D、3

考点五. 利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

例1、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<C²恒成立，求c的取值范围。

考点六抽象函数

例1、定义在R上的单调函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。满足=log3且对任意x，y∈R都有= +．(1)求证为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

【方法总结】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。

考点七：利用导数研究导数的单调性

例1、已知函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.

【方法总结】：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。

考点八：导数与不等式的综合

例1、设在上是单调函数.求实数的取值范围；

例2、已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围

考点九：导数与向量的结合

例1、设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使

（1）求函数关系式；

（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。

专题练习：

1、已知函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。 (Ⅰ)证明：曲线

高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。（Ⅱ）若求a的取值范围。

2、设函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数

3、设高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。

4、已知函数高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，曲线在点处的切线方程为，

（1）求高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的值（2）证明：当时，

【方法总结】：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。

第二篇：最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型：

（1）求曲线在某点出的切线的方程

（2）求函数的解析式

（3）讨论函数的单调性，求单调区间

（4）求函数的极值点和极值

（5）求函数的最值或值域

（6）求参数的取值范围

（7）证明不等式

（8）函数应用问题

2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。

若可导函数在处取得极值，则。反之不成立。

对于可导函数，不等式的解是函数的递增（减）区间。

函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.

若函数在区间I上有极值，则方程在区间I上有实根且非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。

若函数f(x)在区间I上不单调且不为常量函数,则在I上有极值。

若恒成立，则; 若恒成立，则

若使得，则.;若使得，则.

设与的定义域的交集为D，若D >恒成立，则有.

（10）若对、，恒成立，则.

若对，，使得, 则.

若对，,使得,则.

（11）已知在区间上的值域为A,在区间上值域为B，若对,使得=成立，则。

（12）若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根且

（13）证题中常用的不等式:

①（仅当x=1时取“=”）

②（仅当x=0时取“=”）

③

④

⑤

⑥

⑦

3.函数与导数解答题常见题型的解法

（1）已知曲线（含参数）的切线方程为，求参数的值

【解法】先设切点坐标为，求出切线方程

再与已知切线方程比较系数得:

解此方程组可求参数的值

（2）已知函数（含参数），讨论函数的单调性

【解法】先确定的定义域，并求出，观察能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令，求根.再分层讨论，是否在定义域内或讨论的大小关系，再列表讨论，确定的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）

（3）已知函数（含参数）在区间I上有极值，求参数的取值范围.

【解法】函数在区间I 上有极值，可转化为，方程在区间I上有实根，且为非二重根。从而确定参数（或其取值范围）。

（4）可导函数（含参数）在区间I上无极值，求参数的取值范围

【解法】在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立