一 总论

一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。

二 主流题型及其方法

*（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线

一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：

先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。

注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。

*（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值

一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是：

首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。

极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。

最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。

注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下

场。

*（3）恒成立或在一定条件下成立时求参数范围

这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下：

做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的题目诚然可以做，但到了真正的难题，分离变量的优势立刻体现，它可以规避掉一些极为繁琐的讨论，只用一些简单的代数变形可以搞定，而不分离变量就要面临着极为麻烦的讨论，不仅浪费时间，而且还容易出差错。所以面对这样的问题，分离变量是首选之法。当然有的题确实不能分离变量，那么这时就需要我们的观察能力，如果还是没有简便方法，那么才会进入到讨论阶段。

分离变量后，就要开始求分离后函数的最大或者最小值，那么这里就要重新构建一个函数，接下来的步骤就和（2）中基本相同了。

注意：①分离时要注意不等式的方向，必要的时候还是要讨论。②要看清是求分离后函数的最大值还是最小值，否则容易搞错。③分类要结合条件看，不能抛开大前提自己胡搞一套。

最后，这类题还需要一定的不等式知识，比如均值不等式，一些高等数学的不等数等等。这就需要我们有足够的知识储备，这样做起这样的题才能更有效率。

（4）构造新函数对新函数进行分析

这类题目题型看似复杂，但其实就是在上述问题之上多了一个步骤，就是将上述的函数转化为了另一个函数，并没有本质的区别，所以这里不再赘述。

（5）零点问题

这类题目在选择填空中更容易出现，因为这类问题虽然不难，但要求学生对与极值和最值问题有更好的了解，它需要我们结合零点，极大值极小值等方面综合考虑，所以更容易出成填空题和选择题。如果出成大题，大致方法如下： 先求出函数的导函数，然后分析求解出函数的极大值与极小值，然后结合题目中所给的信息与条件，求出在特定区间内，极大值与极小值所应满足的关系，然后求解出参数的范围。

三 总结

以上就是导数大题的主要题型及方法，当然有很多题型不能完全的照顾到，有很多的创新题型没有涉及，那么如何解决这个问题呢？就是我们要明白导数题的核心是什么。导数题的核心就是参数，就是对参数的把握，而对参数的理解与分析正是每一道题目的核心。只要我们能够从参数入手，能够对参数进行分析，那么不论一道题有多么的繁琐，我们都能够把握这道题的主线，能有一个明确的脉络，做出题目。所以我总结的导数题的八字大纲，不一定对，但我认为对于解决北京市的高考题有一定的帮助，那就是“分离变量，一步到位”。一切的一切，都应该围绕着参量来展开。相信导数虽然是第18或者19题，但也一定会被我们大家淡定的斩于马下。

郭子豪

 

第二篇：数列方法总结

<1>在等差数列

（这里即中，当项数为偶数）；时，

。 ；项数为奇数时，，如（2）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与

{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）

<2>“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函

数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

能求一般数列中的最大或最小项吗

如（1）等差数列（2）若

中，，。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；，

成立的最大正整数n是 （答：4006） 是等差数列，首项，则使前n项和

<3> 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、

成等比数列；若

时，数列

如①已

知

是等比数列，且公比

，则数列

，?也是等比数列。当，且为偶数 ，?是常数数列0，它不是等比数列。 且，设数

列满

足，

且，

则

. （答：

则的值为______（答：40）

<4>

如设等比数列的公比为，前。 项和为）；②在等比数列中，为其前n项和，若，，若成等差数列，则的值为_____（答：－2）

<5>在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。

如设数列的前项和为

（），

关于数列

有下列三个命题：①若

，则既是等差数列又是等比数列；②若真命题的序号是 （答：②③）

一.数列的通项的求法：

，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。

如①已

知的前项和满

足，

求（答

：）；②数

列满

足，求（答：） ⑶已知求，用作商法：。

如数列中，对所有的都有，则______（答：） ⑷若求

用累加法：。

如已知数列 满足

，，则=________（答：）

⑸已知 求

，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：） ⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，

（1）形如再求。 、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后， 如①已

知

）； ，

求（答

：）；②已

知，

求（答

：

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）

二.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

;;.

如①等比数列的前项和Sｎ＝2－１，则ｎ＝_____（答：

表示二进制数，将它转换成十进制形式是）；②计算机是将信息转换成，二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如

那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

如求：（答：）

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。

如①求证

：；②已

知，

则

＝______（答：）

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前

和公式的推导方法）。

如（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①满足

：，；②）；（2

）设函数

，①求证：数

列，数列是等比数列；②

令

，求函数在点处的导数，并比较与的大小。

（答：①略；②

，当

时，

＝

；当

时，

<

；当

时，

>）

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①； ②； ③，； ④ ；⑤； ⑥.

如①求和：９，则n＝_____（答：99）； （答：）；②在数列中，，且Sｎ＝

（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4，2×5，3×6，?

，，?前项

和= （答

：）；②求和

： （答：）