概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度提升高考数学成绩。

四、导数与微积分

1、导数定义：记作或，即=.

注：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

2、常用函数的导数公式：① 　这里是常数。即常数的导数值为0。

②　特别地：  

③   ④   ⑤         ⑥   ⑦     ⑧

3、求导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

           

4、导数的意义：①几何意义：表示经过曲线上的切点的切线的斜率。②物理意义：表示即时速度。表示加速度。

5、导数的应用：1）、求切线的方程：①已知切点时求切线的步骤：求出函数在点的导数，即曲线在切点的切线的斜率；再利用点斜式方程为：的可得切线的方程。②若未知切点，根据需要，可先设切点坐标为，再根据具体问题用待定系数法求解。例：求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程

2）、导数与函数的单调性的关系：①在区间上恒成立区间上为增函数；②区间上为增函数区间上恒在成立

单调区间的求解过程：已知，先分析的定义域；再求导数 ；最后解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（解不等式，解集在定义域内的部分为减区间）。

例：设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在处有相同的切线，（1）用表示、、； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围。

3）、求极值、求最值。

① 注意：极值≠最值。函数在区间上的最大值是 、和极大值中最大的一个。最小值是 、和极小值中最小的一个。

② 由还不能得到确定当为极值点，还需结合函数的单调性才能作出判断。如不是的极值点；

③ 极值点的可能除了使外，还有可能在不可导点处，如

④ 若为极值点则可到

⑤ 已知，求函数极值的步骤：先求导数 ；再由方程求出得可疑点（还应包括不可导点）；最后检查在可疑点处左右的值的符号，从而确函数的在方程根左右的区间的单调性，如果左增右减，那么在这个可疑点处取得极大值，如果左减右增，那么在这个可疑点处取得极小值。

例：已知函数（）是上的奇函数，当时，取得极值－2，

（1）求的单调区间和极大值；  （2）证明：对任意，不等式恒成立。

4、利用导数证明不等式

例：已知，求证：

5、刻画函数（比初等方法精确细微）可与方程结合起来

例：已知函数，试证明方程在区间内有且仅有一根

例：已知函数在区间上是增函数，在区间上为减函数

（1） 求的表达式；

（2）若当时，求使不等式恒成立的最小自然数

（3）是否存在实数使得关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围

6、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向。

五、定积分

1、曲边梯形的面积：

1）、设曲边梯形是由连续曲线、轴，与直线、所围成，如图，计算时可分为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限。

2）、定积分如果函数在区间上连续，用分点将区间等分为个小区间，在每个小区间上任取一点（），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即

① 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。即

② 定义中区间的分法和的取法都是任意的。

③ 在定积分的定义中，限定下限小于限，即，为了方便计算，可以把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：、

2、定积分的性质：

①

②

③ （）

3、定积分的几何意义：在区间上，若既可取正值又可取负值时，曲线的某些部分在轴上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的面积赋予正值，在轴上方的面积赋予负值，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线以及直线、与轴所围成的曲边梯形的面积的代数和；

例：计算下列定积分：（1）    （2）

4、微积分基本定理（牛顿－莱布尼兹公式）：

一般地，如果是区间上的的连续函数并且函数，那么：。

5、基本积分公式：

①  ② ③

④    ⑤  ⑥        ⑦

6、定积的应用：

① 平面图形的面积：如果平面图形由连续曲线、，与直线、所围成，那么这块图形的面积为：

② 由曲线以及两条直线、和轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周面成的旋转体的体积分式为：

③ 变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程等于其速度函数（）在时间区间上的定积分，即：

④ 变力作功：一物体沿变力相同方向从移动到时，变力所作的功为：。

 

第二篇：导数总结

导数专题

一．本章知识结构

二．本章知识总结

（1）导数的概念：

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y’|；

2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’.

即f ’(x)=y’==。

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．函数 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 y－y0=f ’(x0)·(x－x0)．函数y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的法线方程为y－y0＝－(x－x0)或x＝x0.

（2）常见函数的导数：

(c)’=0, (c为常数)；(xm)’=mx；(sinx)’=cosx；

(cosx)’=－sinx；(ex)’=ex；(ax)’=ax·lna；(lnx)’=；(ligax)’=.

（3）导数的运算：

1．函数的和或差的导数

法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u±v)’＝u’±v’.

2．函数的积的导教

  法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即  (uv)’＝u’v+v’u.

3．函数的商的导

法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即()’= (v≠0)。

4．复合函数的导数

法则：设函数u＝g(x)在点x处有导数u’x＝g’(x)，函数f(u)在点x处的u处有导数y’u=f ’(u)；则复合函数y=f[(x)]在点x处也有导数，且 y’x＝y’u·u’x，也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

（4）函数的单调性

设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f ’( x)>0时，则函数y=f( x)为增函数；如果f ’(x)<0时，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ’( x)＝0，则y=f(x)为常函数.

（5）函数的极值

    1．设函数y=f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x都有f(x)＜f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；

    2．如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＞f(x0)称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，极大值与极小值统称为极值。

3．判断法则：

① 对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0，那么f(x0)是极大值；

② 如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0，那么f(x0)是极小值．

（6）函数的最大值与最小值

1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.

2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：

    ① 求出f(x)在(a，b)内的极值；

    ② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.

三．学习方法与指导

（一）学习方法点拨

1．导数的概念：

设f(x)在点x=x0 附近有定义，若极限存在，则称其为f(x)在点x=x0处的导数f ’(x0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的．

另外，若，且存在a的邻域（α，β），当x∈(α, x0)∪(x0, β)时，有g(x)≠0，则，又若，且存在a的邻域(α，β)，当x∈(α, x0)∪(x0, β)时，有g(x)≠x0，则.

设f(x)= 那么g(a)=h(a)=A，且

为f(x)在点x＝a处可导的充要条件，此时f ’(a)＝B．

由此可知，若分段函数f(x)的表达式中的g(x)、h(x)可分别看做含有a的区间(α，β)上的函数，且g(a)＝h(a)，g’(a)=h’(a)，则f(x)在点x=a处可导；且有f ’(a)=＝g’(a)＝h’(a)．

2．曲线的切线：

    设曲线S：y=f(x)，若f ’(x0)存在，则S在点P(x0，f(x0)处的切线方程为

    l：y－f(x0)＝f’(x0)(x－x0)．

    可见l的方程被x0所唯一确定；若f(x)在区间(α，β)内可导，则当点x0在(α，β)内变动时，点P(x0，f(x0))在S上变动，而l“贴着”曲线S转动．所以要求具有某种性质的切线，可转化为这种性质对点x0的要求，解出x0，即可求出对应的切线方程．

  应当了解可能一曲线在某点处不可导；但在这一点的切线还是存在的，例如曲线y=在点x＝0处不可导，但在原点处有切线x＝0．

3．导数运算

    要熟练掌握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法则．

    对复合函数求导法则，应首先搞清楚函数的复合过程，方法是研究运算顺序，例如给定函数y＝ln(sinex)，所谓运算顺序是指对自变量x，应先计算u=ex，再计算v=sinu，最后算出y＝lnv，然后倒过来即得复合过程y＝lnv，v=sinu，u＝ex，从而有y’=．

    对复合函数求导法则的掌握，要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果．

4．函数的单调性

    应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．

    f(x)在区间I上可导，那么f ’(x)> 0是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，但f ’(0)=0，这说明f ’(x)>0非必要条件．

    我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有 h’(x)>0且 h(a)≥0，则当x∈(a，b)时 h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)成立．

5．可导函数的极值

    从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必然联系．如f(x)=|x－1|，易见当x=1时f(x)取得极小值，但f ’(1)不存在．所以用研究导数的方法探求函数的极值，实际上是将研究的范围局限于可导函数．

    对可导函数f(x)，在x=x0取极值的必要条件是f(x0)＝0．又设f(x)在点x=x0处取得极小值，是否一定存在x0的邻域(α，β)，使当x∈(α，x0)时f ’(x)<0，且当x∈(x0，β)时f ’(x)>0，答案是否定的，即f ’(x)在x0的“左侧附近”为负，且在x0“右侧附近”为正仅是f(x0)为极小值的充分条件，为说明这一情况，我们考察函数f(x)=，由于,故有，

即f(x)在R上可导．又当x≠0时f(x)>0，而f(0)=0，故当x＝0时f(x)取得极小值0，但对任何α<0，总可取到充分小的 k∈Z，使 x1＝∈(α，0)，且f ’(x1)=>0，又对任何β>0，总可取到充分大的k∈Z，使x2=∈(0，β)，且f ’(x2)=<0．

6．函数的最大值与最小值

    函数的极值是“局部性质”，例如极小值点是指存在一个邻域，在其中此点的函数值最小，而函数的最大值、最小值是“全局性质”，即在函数的整体定义域内的某点处函数值最大（小），这两个概念是有区别的．但它们也有联系，即当最大（小）值点在区间内部时，它当然也是极值点，所以求定义于区间[a，b]上的函数f(x)的最大（小）值时，只需此较诸极值与区间端点处的函数值f(x)、f(b)即可．

    我们知道，[a，b]上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值．若又有 f(x)在(a， b)上可导的条件，则由极值点处f ’(x)＝0可知最大（小）值点 x0∈{x| f ’(x0)=0或x＝a或x＝b}．但由于f(x)在[a，b]上连续并不能保证其在(a，b)内可导，而最大（小）值可能出现在f ’(x)不存在的点处（如f(x)=|x(x－1)|，易见最小值为0，出现在点x=0或x＝1处，而此时f ’(x)不存在），所以若仅有f(x)在[a，b]连续的条件，为求f(x)的最大（小）值，还需要求出使f ’(x)不存在的点，将这些点处的函数值与诸极值及f(a)、f(b)比较，从而确定最大值与最小值．

    根据上述分析，若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，如果我们可从另外的途径，比如问题的实际背景判断出f(x)的最小值不可能出现在点x＝a、x＝b处，那么当方程f ’(x)＝0在(a，b)内仅有一解x0时，则可断定f(x0)为最小值．