导数公式及知识点

1、函数的单调性

(1)设那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.

    2、函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

3、几种常见函数的导数

①；②；    ③；④；⑤；⑥；    ⑦；⑧

4、导数的运算法则

（1）.  （2）.  （3）.

5、会用导数求单调区间、极值、最值 

6、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

(2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

 1.导数与单调性： 导数及其应用

   1) 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；

对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；

 2)利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

2. 函数的极大值与极小值:

（1）极大（小）值：如果 x = c 是函数 f ( x ) 在某个区间 (u , v ) 上的最大值点，即不等式 f (c) ≥ (≤) f ( x) 对于一切 x ∈ (u , v) 成立，就说 f ( x) 在 x = c 处取到极大值 f (c) ，并称 c 为函数 f ( x ) 的一个极大（小）值点， f (c ) 为 f ( x ) 的一个极大（小）值。

（2）求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤： ①确定函数的定义区间，求导数 f ′( x ) ；②求 f ( x ) 的驻点，即求方程 f ′( x ) =0 的根； （3） 分区间，列表。

（3）函数的最大（小）值：一般地，在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上必有最大 值与最小值， 利用导数求函数的最值步骤： ①求函数 f ( x ) 在 (a, b) 内的极值； ②求函数 f ( x ) 在区间端点的值 f ( a )、f (b) ；③将函数 f ( x ) 的各极值与 f ( a )、f (b) 比较，其中最大的是 1 最大值，最小的是最小值。  ACACBBCA  9．递增区间为：（-∞，），（1，+∞）递减区间为（，1）

（注：递增区间不能写成：（-∞，）∪（1，+∞））      10． 

11解：（1）的图象经过点，则，

切点为，则的图象经过点

得    

（2）

（3）单调递增区间为

12．解：（1）

由，得

，函数的单调区间如下表：

所以函数的递增区间是与,递减区间是；

（2），当时，

为极大值，而，则为最大值，要使

恒成立，则只需要，得 

20##年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

19．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）

 

第二篇：高中导数知识点及练习题

 导数

一、导数的概率

设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。

3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。

4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。

5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。

6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。

7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。

8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不然。若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。

一般地，，其中为常数。特别地，。

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝

函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。

注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝

4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：

（1）.求函数的改变量。

（2）.求平均变化率。

（3）.取极限，得导数＝。

二.练习题

（一）、选择题

1．若函数在区间内可导，且则 

的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，

那么物体在秒末的瞬时速度是（    ）

A．米/秒         B．米/秒        

C．米/秒         D．米/秒

3．函数的递增区间是（    ）

A．          B． 

C．        D．

4．,若,则的值等于（    ）

A．       B．       

C．        D．

5．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（    ）

A．充分条件    B．必要条件   

C．充要条件    D．必要非充分条件

6．函数在区间上的最小值为（    ）

A．         B．             

C．         D．

（二）、填空题

1．若，则的值为_________________；

2．曲线在点 处的切线倾斜角为__________；

3．函数的导数为_________________；

4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

5．函数的单调递增区间是___________________________。

（三）、解答题

1．求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。

2．求函数的导数。

3．求函数在区间上的最大值与最小值。

4．已知函数，当时，有极大值；

（1）求的值；（2）求函数的极小值。

（一）、选择题

1．函数有（    ）

A．极大值，极小值          

B．极大值，极小值

C．极大值，无极小值            

D．极小值，无极大值

2．若，则（    ）

A．       B．     

C．       D．

3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）

A．                B． 

C．和       D．和

4．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则

与满足（    ）

A．          B．为常数函数 

C．      D．为常数函数

5．函数单调递增区间是（    ）

A．      B．    C．      D．

6．函数的最大值为（    ）

A．     B．        C．        D．

（二）、填空题

1．函数在区间上的最大值是       。

2．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。

3．函数的单调增区间为             ，单调减区间为___________________。

4．若在增函数，则的关系式为是            。

5．函数在时有极值，那么的值分别为________。

（三）、解答题

1．已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。

 

2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长

为多少时，盒子容积最大？

3． 已知的图象经过点，且在处的切线方程是

（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。

4．平面向量，若存在不同时为的实数和，使

且，试确定函数的单调区间。

（一）、选择题

1．若,则等于（    ）

A．     B．     C．     D．

2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（   ）

3．已知函数在上是单调函数,则实数的

取值范围是（    ）

A．  B． 

C．  D．

4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（     ）

A．    B.

C.     D.

5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ）

A．   B．  C．    D．

6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，

则函数在开区间内有极小值点（　  ）

A．个      B．个       C．个       D．个

（二）、填空题

1．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；

2．函数的单调增区间为             。

3．设函数，若为奇函数，则=__________

4．设，当时，恒成立，则实数的

取值范围为             。

5．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是　　

三、解答题

1．求函数的导数。

2．求函数的值域。

3．已知函数在与时都取得极值

(1)求的值与函数的单调区间。

(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

4．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.

三.导数综合应用

1.已知函数的图象如图所示．

（I）求的值；

（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；

（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

2．已知函数．

（I）求函数的单调区间；

（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

3．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．

（I）求实数的取值范围；

（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；

（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．

4．已知常数，为自然对数的底数，函数，．

（I）写出的单调递增区间，并证明；

（II）讨论函数在区间上零点的个数．

5．已知函数．

（I）当时，求函数的最大值；

（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；

6．已知是函数的一个极值点（）．

（I）求实数的值；

（II）求函数在的最大值和最小值．

7．已知函数

   （I）当a=18时，求函数的单调区间；

   （II）求函数在区间上的最小值．

8．已知函数在上不具有单调性．

（I）求实数的取值范围；

（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．

9．已知函数

   （I）讨论函数的单调性；

   （II）证明：若

10．已知函数．

（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；

（II）若，设，求证：当时，不等式成立．

11．设曲线：（），表示导函数．

（I）求函数的极值；

（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．

12．定义，

（I）令函数，写出函数的定义域；

（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；

（III）当且时，求证．