数列

等差数列知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中  ，，成等差数列。

4、等差数列的前和的求和公式：。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 

如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

说明：设数列是等差数列，且公差为，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。

6、数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

课前预习

1．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是   等差     数列

2．设是公差为正数的等差数列，若，，则 105     

3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有  13      项                

4．设数列{a_n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是  2    

5．设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

6．设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n。

7．设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（  C  ）A.d＜0    B.a₇＝0  C.S₉＞S₅     D.S₆与S₇均为S_n的最大值

8．等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 210   

等比数列知识清单

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

3．等比中项

如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。

说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；

②对于等比数列，若，则.     ③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。

课前预习

1．在等比数列中,,则   192             

2．和的等比中项为         

3． 在等比数列中，，，求，-1458

4．在等比数列中,和是方程的两个根,则1/2

5. 在等比数列，已知，，求.20

6．设，则等于 

7．设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求数列的公比q；-

8．在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁＝3，前三项和为21，则a₃＋a₄＋a₅＝         84

数列通项与求和知识清单

1．数列求通项与和

（1）数列前n项和S_n与通项a_n的关系式：a_n=   。

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a_n=(a_n－a_n－1)+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁；

③累商叠乘法。

④倒序相加法

⑤裂项求和

⑥并项求和

⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列。

课前预习

1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。

2．求。

3．设a为常数，求数列a，2a²，3a³，…，naⁿ，…的前n项和。

4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。

   典型例题

一、有关通项问题

1、利用求通项．

例：数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？2n-1

变式题1、（2005湖北卷）设数列的前n项和为S_n=2n²，求数列的通项公式；4n-2

变式题2、（20##北京卷）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式．a= 

变式题3、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．n+5

2、解方程求通项：

例：在等差数列中，（1）已知；-5，3

（2）已知；16，44   (3)已知.340

变式题1、是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于669

3、待定系数求通项：

例：已知数列满足 求数列的通项公式；2-1

二、有关等差、等比数列性质问题

例：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为63

变式1、一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为             。36

变式2、等比数列的各项为正数，且10

三、数列求和问题

例：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；39-8n

（2）数列从哪一项开始小于0？4（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．172

变式题1、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．5or6

变式题2、在等差数列中，，，求的最大值．13

例：求和：

变式题1、已知数列和，设，求数列的前项和．

变式题2、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；2n-1,2（Ⅱ）求数列的前n项和．

例：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；（2）已知数列的通项公式为，求前项的和．

实战训练A

1．在等比数列{a_n}中，a₂＝8，a₅＝64，，则公比q为           2

2．若等差数列{}的前三项和且，则等于        3

3．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.9/2

4．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则4

5．等差数列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100,则n=    10

6.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若           24
7．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差

8．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于     2

9．设等差数列的前项和为，若，，则   81

实战训练B

1．已知等差数列的前项和为，若，则．7

2．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为 

3．已知数列{}的前项和，第项满足，则   8

4．已知数列{}的前项和，则其通项        ；若它的第项满足，则           ．2n-10  ;  8

5．等比数列中，，则等于        16

6．若数列的前项和，则此数列的通项公式为               2n-11

7．等差数列的前项和为若        10

8．设等差数列的前项和为，若，，则  45

9．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；2

（II）求的通项公式．n-n+2                                                                  

 

第二篇：北京艺术生高考数学复习资料—一集合

集合

一、知识清单：

1.元素与集合的关系:用或表示；

2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

3.集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x²},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x²}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

4.集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N₊={0，1，2，3，…}；

②描述法

③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;

5．集合与集合的关系:用，，=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。

①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；

③如果，同时，那么A = B；如果

.④n个元素的子集有2ⁿ个；n个元素的真子集有2ⁿ －1个；n个元素的非空真子集有2ⁿ－2个.

6．交集A∩B={x|x∈A且x∈B};并集A∪B={x|x∈A，或x∈B};补集C_UA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集.

7.集合运算中常用结论:

①

②

③

二、课前预习

1．下列关系式中正确的是（  A   ）

(A)     (B)        (C)0             (D)0

2． 解集为__{(2,1)}_.

3．设,已知,求实数的值.-3

4．设，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是( B  )

(A){a}=M  (B)M{a}  (C){a}M  (D)M{a}

5．用适当的符号填空：

①π;                   ②{3.14}____;

③∪R⁺R;             ④{x|x=2k+1, k∈Z}={x|x=2k－1, k∈Z}。

6．已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a²－a＋2｝如果，那么a的值为2.

7．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是(C)   (A)11              (B)1             (C)16              (D)15

8．已知A={}，B={x|，则A∩B=。

9．已知集合M={y|y=x²+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。(M={y|y1})

10．若A ={(x，y)| y =x+1},B={y|y =x²+1},则A∩B =.

11．设全集，则

12．设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8},

求：（C_U A）∩(C_U B),  (C_U A)∪(C_U B),  C_U(A∪B), C_U (A∩B).

(（C_U A）∩(C_U B)= C_U(A∪B)={1,2,6},  (C_U A)∪(C_U B)=C_U (A∩B)={1,2,3,5,6,7,8})

三、典型例题分析

集合、子集、真子集

例1.已知集合，集合满足，则集合有  4   个.

变式1：已知集合，集合满足，集合与集合之间满足的关系是BA

变式2：已知集合有个元素，则集合的子集个数有2个，真子集个数有2-1个

变式3：满足条件的所有集合的个数是  4  个

集合的运算

例2.已知集合，，求，，，(={x|x≤2或x≥10},={x|x>2或x≤7}，=(2,3)，={x|x≤2或3≤x<7或x≥10})

变式1：已知全集且则等于C   

 A.　　　　B　　　　C　　　　D

变式2：设集合，，则等于（B）

A．               B．     C．            D．

变式3．已知集合集合则等于  D

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

设计意图：结合不等式考察集合的运算

例3.已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，求集合和，若不存在，请说明理由.(a=1 ，)

变式1：已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若，则实数＝  1     ．

变式2：，，且，则的取值范围是{0,}.

变式3：设，且，求实数的值.设计意图:结合参数讨论考察集合运算

实战训练A

一、选择题

1．设，集合，则  2          www.xkb123.com

2、已知集合，则 {-1}     

3、已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则

M∩N={x|-1<x<1}

4、若，，则的元素个数为1

5、已知全集，，则为{-1,2}

6、已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且=R，则实数a的取值范围是a≥2

7、设是两个集合，则“”是“”

的必要不充分条件

8、若集合，，则中元素的个数为   4   

9、设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于

10、设集合，，，则(C)={5}

11、已知全集U＝{1，2，3， 4，5}，集合A＝,则集合C_uA={1，5}