关于幂函数的性质知识点总结

定义:

形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质:

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数无界。

 

第二篇：函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也

  一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（f(x₁)>f(x₂)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；   ②作差f(x₁)－f(x₂)；   ③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；   减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；   减函数增函数是减函数。

④若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.

3.函数的周期性
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
性质：

①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N_＋)也是f(x)的周期.

②若周期函数f(x)的周期为T，则（）是周期函数，且周期为。

③若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.

例题：

1.的递减区间是          ；的单调递增区间是     。

2.函数的图象（    ）

A.关于轴对称   B. 关于轴对称   C. 关于原点对称  D. 关于直线对称

3.设是定义在上的奇函数，若当时，，则    。

4.定义在上的偶函数满足，若在上递增，则（    ）

A.      B．      C．      D．以上都不对

5.讨论函数的单调性。

6.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数 的取值范围。

7.已知函数的定义域为N，且对任意正整数，都有。若，求。

习题：

题型一：判断函数的奇偶性

1.以下函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），(6)；其中奇函数是       ，偶函数是       ，非奇非偶函数是         。

2.已知函数=,那么是(     )

  A.奇函数而非偶函数              B. 偶函数而非奇函数 

  C.既是奇函数又是偶函数          D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用

1.已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如

图（2-3）所示，则关于的不等式的解集是_____________________。

2.已知，其中为常数，若，则____ 3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（   ）

A.    B.    C.   D.

4.已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的

解析式为              。

5.若是偶函数,且当时, ,则的解集是（    ）

  A.  B.  C.   D.

题型三：判断证明函数的单调性

1.判断并证明在上的单调性

2.判断在上的单调性

题型四：函数的单调区间

1.求函数的单调区间。

2.下列函数中，在上为增函数的是（    ）

  A.     B.     C.     D.

3.函数的一个单调递增区间是（     ）

  A.      B.      C.       D.

4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是(    )

  A.y=-3x+1        B.y=|x+2|        C.y=       D.y=x²-4x+3

5.函数y=的递增区间是(    )

  A.(-∞，-2)         B.[-5，-2]        C.[-2，1]      D.[1，+∞)

题型五：单调性的应用

1.函数f(x)=x²+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是(    ) 

  A.[3，+∞ )        B.(-∞，-3]        C.{-3}         D.(-∞，5]

2.已知函数f(x)=2x²-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于(    ) 

   A.-3         B.13         C.7        D.由m而决定的常数．

3.若函数在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（    ）

  A．      B.         C．       D．

4.函数恒成立，则b的最小值为       。

5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log₂(x²+5x+4)］≥0。

题型六：周期问题

1.奇函数以3为最小正周期，，则为(    )

A.3               B.6               C.-3              D.-6

2.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是(　 　)

  A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)                B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)

  C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)                D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)

3.已知为偶函数,且,当时,,则（    ）

 A．2006          B．4         C．        D．   

4.设是上的奇函数，，当时，，则等于_____

5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,

求证:2m是f(x)的一个周期.

7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.