第一章 整式运算

知识点（一）公式应用

1 、 (m,n都是正整数）如________。

拓展运用  如已知=2, =8,求。 解：___________________.

已知=2, =8,求.解：_____________________.

2 、 (m,n都是正整数）     如_________________。

拓展应用。         若，则__________。

3、(n是正整数)           拓展运用。

4、(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。

拓展应用          如若，，则_____________。

5、；，是正整数)。    如

6、平方差公式 a为相同项，b为相反项。

如

7、完全平方公式 

逆用：

如

8、应用式： 

             

  两位数 10a＋b  三位数 100a＋10b＋c。

9、单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

10、、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

11、多项式除以单项式的法则:

12、常用变形：

知识点（三）运算：

1、常见误区：

1、（）；

2、 （）；   3、（）；

4、（）；   5、（）；

6、（）；    7、 （）；

8、 （）；   9、（1）， （1）；

10、 （）；

11、 （）；

12、 （）。

2 、简便运算：

①公式类

       

②平方差公式

③完全平方公式

第二章 平行线与相交线

知识点(一)理论

1、 若∠1+∠2=90，则∠1与∠2互余。若∠3+∠4=180，则∠3与∠4互补。

2、 同角的余角相等若∠1+∠2=90，∠2+∠4=90.则∠1=∠4

    等角的余角相等若∠1+∠2=90，∠3+∠4=90.∠1=∠3 则 ∠2=∠4 

    同角的补角相等若∠1+∠2=180，∠2+∠4=180.则∠1=∠4

    等角的补角相等若∠1+∠2=180，∠3+∠4=180.∠1=∠3  则 ∠2=∠4 

3 、对顶角

（1）、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

（2）、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

（3）、对顶角的性质：对顶角相等。

4、同位角、内错角、同旁内角

（1）、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。形成4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

（2）、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

（3）、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

(4)、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、平行线的判定方法

（1）、同位角相等，两直线平行。     （2）、内错角相等，两直线平行。

（3）、同旁内角互补，两直线平行。

（4）、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

（简称为：平行于同一直线的两直线平行）

（5）、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行

（简称为：垂直于同一直线的两直线平行）

6、尺规作线段和角

（1）、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

（2）、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

第三章 变量之间的关系

一 理论理解

1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。

2、能确定变量之间的关系式：相关公式  ①路程=速度×时间 ②长方形周长=2×（长＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2  ④ 本息和=本金＋利率×本金×时间。⑤总价=单价×总量。⑥平均速度=总路程÷总时间

3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.

二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四 、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；  b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点

八、事物变化趋势的描述：  对事物变化趋势的描述一般有两种：

1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；

2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.

注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.

九、估计（或者估算）  对事物的估计（或者估算）有三种：

   1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；

   2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；

   3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.

第四章   三 角 形

知识点一 理论整理。

1、三角形→由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、判断三条线段能否组成三角形。

①a+b>c（a b为最短的两条线段）

②a-b<c （a b为最长的两条线段）

3、第三边取值范围：a－b < c <a＋b 如两边分别是5和8 则第三边取值范围为3<x<13.

4、对应周长取值范围

若两边分别为a,b则周长的取值范围是 2a<L<2(a＋b) a为较长边。

如两边分别为5和7则周长的取值范围是 14<L<24.

5、三角形中三角的关系

（1）、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180⁰。

   n边行内角和公式（n-2）

（2）、三角形按内角的大小可分为三类：

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。   注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

（3）、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

（4）、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

6、三角形的三条重要线段

（1）、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心）

（2）、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心）

3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

（3）、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试

7、相关命题：

1、三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。

2、锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60≤X<90 。最大锐角不小于60度。

3、任意一个三角形两角平分线的夹角=90＋第三角的一半。

4、钝角三角形有两条高在外部。

5、全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。

6、面积相等的两个三角形不一定是全等图形。

7、能够完全重合的两个图形是全等图形。

8、三角形具有稳定性。

9、三条边分别对应相等的两个三角形全等。

10、三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

11、两个等边三角形不一定全等。

12、两角及一边对应相等的两个三角形全等。

13、两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。

14、两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

15、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

16、一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。

17、一个锐角和一边（直角边或斜边）对应相等的两个三角形全等。

18、一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。

19、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

8、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

9、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。

2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

10、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

11、做三角形（3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边可以转化为已知已知两角及夹边）。

12、利用三角形全等测距离;

13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

第五章 生活中的轴对称

1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系。

联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合。

2、成轴对称的两个图形一定全等。

3、全等的两个图形不一定成轴对称。

4、对称轴是直线。

5、角平分线的性质   1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

6、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

7、轴对称图形有：

等腰三角形（1条或3条）、等腰梯形（1条）、长方形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）、线段（1条）、角（1条）、正五角星。

8、等腰三角形性质：

①两个底角相等。②两个条边相等。③“三线合一”。④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴。

9、①“等角对等边” ∵∠B=∠C ∴AB=AC

     ②“等边对等角” ∵ AB =AC ∴∠B=∠C

10、角平分线性质：

 角平分线上的点到角两边的距离相等。                   

 ∵OA平分∠CAD OE⊥AC,OF⊥AD ∴OE=OF                                           

11、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 。

∵OC垂直平分AB ∴AC=BC

                                 

12、轴对称的性质

1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

13、镜面对称

1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；

2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；

3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样；

学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法：

（1）利用镜子照(注意镜子的位置摆放)；（2）利用轴对称性质；

（3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；

（4）可以看像的背面；   （5）根据前面的结论在头脑中想象。

第六章   概   率

知识点

一、事件:

 1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。

1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；

3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；

4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0<P（不确定事件）<1。

5、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式直接得出事件A的概率。（2）对于较复杂的 题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。

四、几何概率

1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用S_A表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S_全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=S_A/S_全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；

（2）然后计算出各部分的面积；

（3）最后代入公式求出几何概率。

 

第二篇：新北师大版20xx-20xx七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点总结

第二章 相交线与平行线

一、知识提要:

1、两条直线的位置关系：平行、相交（垂直）.

2、两条直线相交：对顶角，余角和补角,三线八角，内错角，同位角，同旁内角. 和为

度的两个角互为余角；和为

度的两个角互为补角；余角和补角都是

角.对顶角是 形成的角；同位角、内错角、同旁内角是 角. 定理：①对顶角 ；② 余角相等；③ 补角相等. 3、两直线垂直：同一平面内直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

4、平行线的判定： 5、平行线的性质：

①两直线平行， ；②两直线平行， ；③两直线平行， . 6、尺规作图：作一个角等于已知角，作两个角的和或者差，或者一个角的平分线.

① ，两直线平行；② ，两直线平行；③ ，两直线平行.

二、试题精讲：

1. 下列说法正确的个数是（ ）

①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2；②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2； ③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2；④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°A．0 B．1 C．2 D．3

2. 如右图,直线AB、CD与直线EF相交,∠5和是同位角,和是内错角,

与 是同旁内角.（ ）

A．∠1；∠4；∠2 B．∠1；∠3；∠2 C．∠2；∠4；∠1 D．∠2；∠3；∠1

E

DA

BF

3. 如图1，∠1＝∠A，则下列结论一定成立的是（ CA．AB∥FD B．ED∥AC

C．∠B＝∠1 D．∠3＝∠1

4. 如图2，直线a、b被c所截，则下列式子：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1

＝∠8；④∠5＋∠8＝180°，能说明a∥b的条件是（ ） A．①② B．①②③ C．②④ D．①②③④

12F图1

c

34

图2

ab

DE

B

D

图3

C

5. 如图3，AB∥CD，∠BAE=120°，∠DCE=30°，则∠AEC=（ ）

A．90° B．150° C．75° D．60° 作业：

1. 如图1，若m∥n，∠1=105°，则∠2 = . 2. 如图2，若∠1＝，那么AB∥EF，

若∠1＝ ，那么DF∥AC，

若∠DEC + ＝180°，那么DE∥BC．

12 图1

m

n

3. 如图3，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°.将求∠AGD的过程填写完整：因为

EF∥AD，所以∠2= .又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB∥ .所以∠BAC +＿＿＿=180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD= . B

1F

B

图3

G

F

E

E图2

4. 填空并在括号内加注理由. 求证：∠FDE=∠DEB. 证明：∵DE∥BC

B

图4

如图4，已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC

∴∠ADE= （ ） ∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC

1

∴∠ADF=

21

∴∠ABE= （ ）

2

∴∠ADF=∠ABE（ ）

E

A

F

D

B

∴ ∥ ( ) ∴∠FDE=∠ （ ）

C

5. 如图，AB∥CD，∠B=40°，∠E＝30°，求∠D的度数.

6. 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．

B

17. 如图：已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF．

B A

C

8. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，请问∠A与∠F相等吗？试说明理由．

H

F

1

解题过程训练

1. 已知如图，AB∥CD，∠AEB=∠B，∠CED=∠D，试说明BE⊥DE. 解：作射线EF，使∠AEB=∠BEF（作辅助线）

∵∠AEB=∠B（已知）

∴∠ =∠ （ ） ∴ ∥ （ ） ∵AB∥CD （已知）

∴ ∥ （ ） ∴∠DEF=∠D（ ）

∵∠CED=∠D（ ） ∴∠ =∠ （ ）

∴∠AEB+∠CED=∠BEF+∠DEF（ ） ∵∠AEC=180°（ ）

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=90°（ ）

∴BE⊥DE（ ）.

2. 如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．判断∠AGD和∠ABC的数量关系？并说明你的理由．

解：∠______ =∠______， G理由如下： ∵______⊥_______，

B______⊥_______，（

∴______//______（ ） ∴∠_____=∠_____（ ） 又 ∵∠_____=∠_____（ ），

∴∠_____=∠_____（ ） ∴______//______（_______________________________）

AE

BF

CD

∴∠_____=∠_____（______________________________）.

3. 如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的关系.

EF平行线常见模型

4. 如图，a∥b，∠1=120°，∠2=100°，则∠

a

2

b

5. 如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是

6. 探究：

∠CDO、∠BOD之间的关系，并说明理由.

（2）如图（2），AB∥CD，BO与DO相交于点O，试探索下列各种情况下∠ABO、∠CDO、∠BOD之间的关系，并说明理由.

（3）如图（3），AB∥CD，BO与DO相交于点O，试探索下列各种情况下∠ABO、∠CDO、∠BOD之间的关系，并说明理由.

E

C

B

D

（1）如图（1），AB∥CD，BO与DO相交于点O，试探索下列各种情况下∠ABO、

O

O(1)

C

(2)

O

C

(3)

D

B