极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1）

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～，

    原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

  正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

 

第二篇：求极限方法总结 来源

求极限方法总结来源：米妮sarah的日志

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）