函数知识点及常见题型总结

函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。

函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。

一、核心知识点总结

1、函数的表达式

1）一次函数：y=kx+b(是常数，)

2）反比例函数：函数（是常数，）叫做反比例函数。注意：

3）二次函数：，

2、点的坐标与函数的关系

1）点的坐标用表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。平面内点的坐标是有序实数对，当时，和是两个不同点的坐标。

2）点的坐标：从点向x轴和y轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。

3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。

3、函数的图像

1）一次函数     

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

2）反比例函数

3）二次函数

4、函数图像的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

③平移规律  在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

二、常见题型：

1、 求函数的表达式

常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。在函数大题中，第一小问基本都是采用待定系数法求函数的表达式。

注意：二次函数的解析式常根据具体情况选择采用以下方式求解：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

【例1】（2015?武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．

【例2】（2015?海南）如图，二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直        线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．

   求该二次函数的表达式。

2、将函数的知识与几何知识联系起来的复合题

    此类题目是在函数图像中有几何图形，一般情况是通过点的坐标可得出相对应的线段的长度，最终求得线段的长度或是图形的面积与周长等。

【例3】（2015?黄冈中学自主招生）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…则第n个等边三角形的边长等于（　　）

A．  B．    C．  D．

【例4】（2015?德阳）如图，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（　　）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个　

3、根据函数图像判定系数的正负性或取值范围

【例5】（2015?魏县二模）若直线y=mx+2m﹣3经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＜   B．m＞0   C．m＞   D．m＜0

【例6】（2015?咸宁）如图是二次函数y=ax²+bx+c的图象，下列结论：

①二次三项式ax²+bx+c的最大值为4；

②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax²+bx+c=1的两根之和为﹣1；

④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．

其中正确的个数有（　　）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个　

4、根据系数的范围判定函数图像在坐标系中的位置

【例7】（2015?枣庄）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【例8】（2015?杭州模拟）已知直线y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那么该直线不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

5、函数值域

【例8】（2015?天津）己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）

A．0＜y＜l B．1＜y＜2     C．2＜y＜6     D．y＞6

6、函数图像单调性的判定

【例9】（2015?营口）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y₁=在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的解析式为y₂=k₂x+b，当y₁＞y₂时，x的取值范围是（　　）

A．﹣5＜x＜1  B．0＜x＜1或x＜﹣5 C．﹣6＜x＜1 D．0＜x＜1或x＜﹣6　

【例10】（2015?上海模拟）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣4，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而　　　　　　．（填“增大”或“减小”）

【例11】（2015?钦州）对于函数y=，下列说法错误的是（　　）

A．这个函数的图象位于第一、第三象限

B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C．当x＞0时，y随x的增大而增大

D．当x＜0时，y随x的增大而减小　

7、点的纵坐标大小比较与最值

【例12】（2015?富顺县一模）若A（﹣3，y₁），B（﹣2，y₂），C（﹣1，y₃）三点都在y=﹣的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是　　　　　　．

【例13】（2015?湖北校级自主招生）已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y=2x²﹣3ax+4的最小值是﹣23，则a=　　　　　　．

8、函数图像的平移

   在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”

【例14】（2015?闸北区模拟）将一次函数y=x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为　　　　　　．

9、利用函数解实际问题

很据实际问题建立函数模型，最终求解。

【例15】（2015?武汉校级模拟）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为　　　　　　km．

【例16】（2015?盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y₁（元）及节假日门票费用y₂（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．

（1）a=　　　　　　，b=　　　　　　；

（2）直接写出y₁、y₂与x之间的函数关系式；

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

　

10、函数与几何综合题

    此类题型一般是利用函数图像上点的坐标，确定线段的长度，最后再利用几何知识解题，这类题有一定难度。做这类题的关键是将函数的知识与几何知识联系起来。

【例17】（2015?锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S₁、S₂、S₃、…、S_n，则第4个正方形的边长是　　　　　　，S₃的值为　　　　　　．

　

【例18】（2015?丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．

（1）k的值为　　　　　　．

（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是　　　　　　．

　

11、压轴题中的二次函数题

此类题一般第一问是求函数的解析式，第二、三问是与几何知识联系起来的求两个量之间的函数关系，求最值，求特殊点等题型。

常用公式有：

1） 两点间距离公式

点A坐标为（x₁，y₁）点B坐标为（x₂，y₂）

则AB间的距离，即线段AB的长度为

2）勾股定理

在直角三角形中，斜边长的平方等与两直角边的平方和。

【例19】（2015?威海）已知：抛物线l₁：y=﹣x²+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）求抛物线l₂的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

三、总结

    我们要将以上题型认真体会，能够举一反三，这样我们在解决函数相关题目的时候就能得心应手。

 

第二篇：初中数学函数总结 形如y

初中数学函数总结 形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数。 图象做法:1。带定系数 2。描点 3。连线 图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点 性质:当k>0时，图象经过一，三象限，y随x的增大而增大 当k<0时，图象经过二，四象限，y随x的增大而减小形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴，但永不相交。 性质:当k>0时，图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 当k<0时，图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，形如y=kx+b(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数，正比例函数过原点(0，0)，属于一次函数k>0，b>O，则图象过1，2，3象限 k>0，b<0，则图象过1，3，4象限 k<0，b>0，则图象过1，2，4象限k<0，b<0，则图象过2，3，4象限。 二次函数：y=ax^2+bx+c （a，b，c是常数，且a不等于0）a>0开口向上 a<0开口向下 a，b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a| 与y轴交点为(0，c)b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根 对称轴x=-b/2a 顶点(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a。 函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a，向右就是减，函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d，向下就是减。当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大。 画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式： (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0)。

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)。 (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0。 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点。 (2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和 x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2)。 求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法 ①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h，k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k。 ②公式法：直接利用顶点坐标公式(- ， )，求其顶点；对称轴是直线x＝- ，若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ 。 二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法，因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴. (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等). (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起.