数学学业水平复习知识点

第一章 集合与简易逻辑

1、 集合 

（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。

（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；

（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；

（4）、元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；

（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。

2、子集  

（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，

注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

（2）、性质：①、；②、若，则；③、若则A=B ；

3、真子集

（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：；

（2）、性质：①、；②、若，则；

4、补集

①、定义：记作：；

②、性质：；

5、交集与并集

（1）、交集：

性质：①、   ②、若，则

（2）、并集：

性质：①、   ②、若，则

6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

不等式解集的边界值是相应方程的解

含参数的不等式ax＋b x＋c＞0恒成立问题含参不等式ax＋b x＋c＞0的解集是R；

其解答分a＝0(验证bx＋c＞0是否恒成立)、a≠0（a＜0且△＜0）两种情况。

第二章 函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，

记作f：A→B，若，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。

2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），

（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；

（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；

（4）、区间：满足不等式的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b]

满足不等式的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b）

满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b）或（a ，b]；

（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；

②、分式：分母，0次幂：底数，例：

③、偶次根式：被开方式，例：

④、对数：真数，例：

（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：

②、单调函数：代入求值法：

③、二次函数：配方法：，

④、“一次”分式：反函数法：

⑤、“对称”分式：分离常数法：

⑥、换元法：

（7）、求f（x）的一般方法：

①、待定系数法：一次函数f（x），且满足，求f（x）

②、配凑法：求f（x）

③、换元法：，求f（x）

④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足，求f（x）

3、函数的单调性：

（1）、定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数；

若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）

（2）、区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；

（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论

（4）、复合函数的单调性：内外一致为增，内外不同为减；

4、反函数：函数的反函数为；函数和互为反函数；

反函数的求法：①、由，解出，②、互换，写成，③、写出的定义域（即原函数的值域）；

反函数的性质：函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；

函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称；

点（a，b）关于直线的对称点为（b，a）；

5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（），那么这个数叫a的n次方根；

叫根式，当n为奇数时，；当n为偶数时， 

（2）、分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂：

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；

（3）、运算性质：当时：，；

6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果，数b叫以a为底N的对数，记作，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN

（2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：，③、底的对数等于1：，④、积的对数：，  商的对数：，

幂的对数：，           方根的对数：，

7、指数函数和对数函数的图象性质

第三章 数列

（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；

数列是特殊的函数：定义域：正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），

值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；

（2）、通项公式：数列{}的第n项与n之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n的通项公式= n

1，-1，1，-1，…，的通项公式= ；   0，1，0，1，0，…，的通项公式

（3）、递推公式：已知数列{}的第一项，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{  }：，，求数列{  }的各项。

（4）、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：

（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；整理后是关于n的一次函数），

（3）、前n项和：1．  2. （整理后是关于n的没有常数项的二次函数）

（4）、等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

 （5）、等差数列的判定方法：

①、定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。

②、等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。

 （6）、等差数列的性质：

①、等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有

②、等差数列，若，则。

也就是：，如图所示：

③、若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。

如下图所示：

④、设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，

则有：前n项的和， 当n为偶数时，，其中d为公差；

当n为奇数时，则，，（其中是等差数列的中间一项）。

⑤、等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。

（三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。

（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）

（3）、前n项和]（推导方法：乘公比，错位相减）

说明：①   2  

3当时为常数列，，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列

（4）、等比中项：

如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么，即（或，等比中项有两个）

（5）、等比数列的判定方法：

①、定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。

②、等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

（6）、等比数列的性质：

①、等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，

公比为，则有

②、对于等比数列，若，则

也就是：。如图所示：

③、若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。

如下图所示：

（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法

 ，，

①公式法：“差比之和”的数列：

②、并项法：

③、裂项相消法：

④、到序相加法：

⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：

第四章 三角函数

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；

（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{}

（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

（2）、度数与弧度数的换算：弧度，1弧度

（3）、弧长公式： （是角的弧度数）

  扇形面积：

3、三角函数 （1）、定义：（如图）         （2）、各象限的符号：

（3）、　特殊角的三角函数值

4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系：　　（２）商数关系：  （３）倒数关系：

　　　　

　　　　

　　　　　　　　　　　　

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）

①、，　；，　；

②，

③，   

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

公式一：

公式二：                  公式三：               公式四：            公式五：

     　

补充：     

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

：   ：

：  ：

：         ：

的整式形式为：

例：若，则．（反之不一定成立）

8、二倍角公式：（1）、：　   （2）、降次公式：（多用于研究性质）

         ：　          

                     

：　　               

（3）、二倍角公式的常用变形：①、，　；

②、，　          

③、；   ；

④半角：，，

9、三角函数的图象性质

（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；

     ②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。

（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，

都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）=  f（x），则称f（x）是偶函数

②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；

（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（）

图象的五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；

图象的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；

 

的对称中心为（）；对称轴是直线；   的周期；

的对称中心为（）；对称轴是直线；  的周期；

的对称中心为点（）和点（）；        的周期；

(4)、函数的相关概念：        

的图象与的关系：

①振幅变换：                                             

②周期变换：                                                

③相位变换：                                               

④平移变换：                                           

常叙述成： ①把上的所有点向左（时）或向右（时）平移||个单位得到；

②再把的所有点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变）得到；

③再把的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）得到的图象。

先平移后伸缩的叙述方向：

先平移后伸缩的叙述方向：

第五章、平面向量

1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的。

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：；

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作；规定与任何向量平行；

（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

2、向量的运算：（1）、向量的加减法：

 

（2）、实数与向量的积：①、定义：实数与向量的积是一个向量，记作：；

②：它的长度：；

③：它的方向：当，与向量的方向相同；当，与向量的方向相反；当时，=；

3、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；

不共线的向量叫这个平面内所有向量的一组基向量，{ }叫基底。

4、平面向量的坐标运算：（１）运算性质：

（２）坐标运算：设，则

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.

（3）实数与向量的积的运算律: 设，则λ，

（4）平面向量的数量积：①、 定义： ， .

①、平面向量的数量积的几何意义：向量的长度||与在的方向上的投影||的乘积；

③、坐标运算:设,则 ；

向量的模||：；模||

④、设是向量的夹角，则， 

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：  

设，则  

（2）、两个非零向量垂直的充要条件： 

设  ，则    

（3）、两点的距离：

（4）、P分线段P1P2的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，（即）

则定比分点坐标公式   ，   中点坐标公式   

（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量  平移至P′（x′，y′），则   

 6、解三角形：（1）三角形的面积公式：

（2）在△中：，

因为：，　，　

因为：， ，　

（3）正弦定理，余弦定理

①正弦定理：

②余弦定理：若：则：

求角：

第六章：不等式

 1、不等式的性质：（1）、对称性：；

（2）、传递性：；

（3）、；

（4）、若，若；

（5）、（没有减法、除法）

1、  均值不等式：（1）、  （）

（2）、或 一正、二定、三相等

不满足相等条件时，注意应用函数图象性质（如图）

应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用

（3）、对于n个正数：，

那么：叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数；

3、不等式的证明，常用方法：

（1）比较法：①、作差：，（作差、变形、确定符号）

②、作商：

（2）综合法：由因到果，格式：

（3）分析法：执果索因，格式：原式

（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。

4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）

一元二次不等式（的系数为正数）：时“＞”取两边,“＜”取中间

绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“＞”取两边,“＜”取中间

含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）

高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）

分式不等式的解法：移项、通分、根轴法