一元一次方程 济宁学院附中李涛

1. 等式与方程

（1）等式：含有等号的式子叫做等式.

基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式的值不变。

符号语言 若a=b那么a+c=b+c

基本性质2：式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。

符号语言 若a=b那么有a·c=b·c或a/c=b/c （c≠0）

（2）方程：含有未知数的等式叫做方程。

说明：①⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数；2.方程是等式，两者缺一不可。

②未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程。一道题中设两个方程未知数不能一样！

③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最

高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。未知数次数最高是几就叫几次方程。

④方程有整式方程和分式方程。整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式

方程。分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2. 一元一次方程

（1）一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一 1

（2）一元一次方程的解法 1. 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 逆向思维----代入法

2. 解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程。

3. 移项：定义从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项。

说明：①移项标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项。移项一定改变符号，不移项的不变。

②移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；

③移项的作用原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解。 4. 解一元一次方程的一般步骤及根据：

1.去分母——等式的性质2

2.去括号——分配律

3.移项——等式的性质1

4.合并——合并同类项法则

5.系数化为1——等式的性质2

6.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 （在草纸上）

5. 一般方法：

（1）去分母， 程两边同时乘各分母的最小公倍数。

（2）去括号， 般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。本质就是根据乘法分配律。

（3）移项， 方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！

（4）合并同类项，并的是系数， 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

（5）系数化1， 两边都乘以未知数的系数的倒数。

（6）检验，用代入法，在草纸上算。

重点 一次方程的注意点：对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式，特点，灵活变化解题步骤。

（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数,局部变形；

（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，①此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘②分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；

（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

（4）移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；打草认真计算。

（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

（7）分、小数运算时不能嫌麻烦。（8）不要跳步，一步步仔细算。

补充：分数的基本性质：与等式基本性质2不同。

分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 2

（3）一元一次方程的应用

1. 解决实际应用题的策略：

（1）审题，就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考。找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系。审题往往伴随下个步骤。

（2）设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量。

（3）找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程。

2. 分析问题方法：

（1）文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系

（2）表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系

（3）示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系

3. 设未知量方法：

一个应用题,往往涉及到几个未知量,为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x,并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量,然后列出方程。

（1）设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系。

（2）有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量

4. 找等量关系方法：

“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种。数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系。 （1）标关键词语，抓住关键句子确定等量关系。（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

（2）紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系。（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。这些常见的基本数量关系，就是等量关系）

（3）通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系。就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系。

（4）借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

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5. 列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点： （1）“审” 要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相

互关系。

（2）“设” 设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号。

（3）“列” 根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单

位统一，用原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个

条件会得到恒等式，解不出来。若原方程复杂，可多写一步原方程可化简为：

（4）“解” 解出方程，一定在草纸上一步步认真算，先化简往往会简化计算。

（5）“验” 检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况。

（6）“答” 写出答案，一定要答完整，有单位要加单位。

6. 解应用题关键：

根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系 (这是关键一步) ．就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。

7. 解应用题核心：

就是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的个个部分，从而列出方程。

8. 实际问题的常见类型：基本量，基本关系，等量关系

（1）“和、差、倍、分类问题” 弄清和谁比，比谁多，比谁少

增长量=原有量×增长率 现有量=原有量+增长量

（2 “等积变形问题” 锻造前的体积=锻造后的体积

长方体的体积=长×宽×高； 圆柱的体积=底面积×高；

（3） “打折利润问题” 利润是和成本比的

利润=售价-进价， 利润率=利润， 售价=标价×折扣 进价

（4） “行程问题” （相遇问题和追及问题）

路程=时间×速度，时间=路程路程，速度= 速度时间

（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）

(5) “销售问题” 总价=单价×数量 总钱数=各部分钱数和

（6） “利率（息）问题”

本息和=本金+利息； 利息=本金×利率×时间（期数）

（7） “工程问题” 工作总量=工作时间×工作效率， 工作总量=各部分工作量的和

（8）数字问题（包括日历中数字规律） （9）比例分配问题 （10）调配问题

注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要培养分析问题解决问题的能力，掌握列方程解应用题的一般方法。

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第二篇：列一元一次方程解应用题的总结[1]

列一元一次方程解应用题的总结

列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点和难点。将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来，如下：

（1）和、差、倍、分问题。

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定未知量与已知量，并注意每个词的细微差别。最后根据等量关系列出方程。

例1：两数的和为27.14，差为2.22，求这两个数

（2）等积变形问题。用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长为多少米？设长方形的宽为x 米，可列方程为（ ）

此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，就是寻找题干中的不变量，不变量就是我们的等量关系，所以对孩子的要求就是掌握常见几何图形的面积、体积公式。

例2：在底面直径为12cm，高为20cm的圆柱形容器中注满水，倒入底面是边长为10cm的正方形的长方体容器，正好注满。这个长方体容器的高是多少？（在本题中，假设两个容器里的厚度都可以不考虑，π取近似值3.14。）

（3）调配问题。

从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。

（4）行程问题。

要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

（5）利润率问题。几个相关公式

利润=售价–成本价( 进价)

利润率=利润 / 成本价

售价=标价×折数/10

售价=成本+利润=成本（1+利润率）

利润=利润率 成本

本息和=本金+利息

利息=本金 利率 期数–利息税

其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

（6）银行储蓄问题。

其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

（7）数字问题。

要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。

（8）年龄问题其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。

这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。

配套问题：

[解题指导]：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系

应用题常见题型举例

1.利润及计划经济问题

基本量、基本数量关系：商品售价－商品进价

商品利润率＝商品利润／商品进价×100%

寻找相等关系的方法：抓住价格升降对利润率的影响来考虑

例：某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润低于5%的售价打折出售，

售货员最低可以打 折出售此商品

1、某书店出售一种优惠卡，花100元买这种卡后，可打6折，不买卡可打8折，你怎

样选择购物方式。

2、某种商品的零售价为每件900元，为了适应市场竟争，商店按零售价的九折降价并

让利40元销售，仍可获利10%。则进价为每件多少元？

3、东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的

标价为多少？

4、某种商品的进价是1000元，售价为1500元， 由于销售情况不好，商店决定降价出

售，但又要保证利润不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品。

2.行程问题

路程=速度×时间

①相向问题，寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离

②追及问题：寻找相等关系的方法：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的

路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者所走的路程

③航行问题：

基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速－

水速，寻找相等关系的方法：抓住两码头之间的距离不变，水流速度，船在静水中的速度不变的特点来考虑。

例：火车提速后由天津到上海的时间缩短了7.42h，若天津到上海的路程为1326km，提

速前火车的平均速度为xkm/h，提速后火车的平均速度为ykm/h，x、y应满足的关系式为

2甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑

2.5千米，求乙的时速各是多少？

3、一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾

离开经过18秒，客车与货车的速度比是5∶3，问两车每秒各行驶多少米？

4、一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米 /小时 ，顺风飞行需2小时50分，逆风

飞行需要3小时。

（1）求无风时飞机的飞行速度

（2）求两城之间的距离。

5、一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．

（1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？

（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇

3.调配问题

劳动力调配问题：抓住从甲处人数与乙处人数间的关系来考虑

1、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，

一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？

2、在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的

人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

4.工程问题

基本量、基本数量关系：把总工作量看作单位“1”工作量=工作效率×工作时间；相等关系：各部分工作量之和等于1

、要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件．

5数字问题

寻找相等关系的方法：抓住数字间，或新数、原数之间的关系，常需设间接未知数。两位数=十位数字×10＋个位数字

1、一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数。

6.和差倍分问题(年龄问题)

基本相等关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量或现有量=原有量－降低量

寻找相等关系的方法：抓住关键性词语：共、多、少、倍、几分之几以及原有量、先有量之间的关系推导出相等关系。

1、小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄。

2、小蓓蓓今年3岁，她与她妈妈年龄的十分之一的和的一半恰好就是小蓓蓓的年龄，小蓓蓓的妈妈今年多少岁？

7.百分比浓度问题：

寻找相等关系的方法：浓度=溶质质量/溶液质量×100%，溶液质量×浓度=溶质质量，溶液质量×（1－浓度）=溶剂质量。根据不变量，依据题中的数量间的相等关系列方程解答。

8.存贷款利息问题

寻找相等关系的方法：本钱＋利息=本息和，利息=本钱×利率

9.出租车计费问题（电话收费问题）：

某市出租车的收费标准为起步价10元，3千米以后每千米1.2元，某人乘出租车花了14.8元，求他行驶了多少千米？

10.体育比赛类问题：

11.体积变化问题：

基本量、基本数量关系：常见几何图形的面积、周长、体积计算公式。

寻找相等关系的方法：抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积变，但重量不变。等积变形

1、如图，已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)

12.和图形有关的应用题

我们在运动场上踢的足球由许多小黑白块的皮缝合而成的，初一年级的李强和王凯两名同学，在踢足球的休息之余研究足球上的黑白块的个数，如果发现黑皮均呈五边形，白皮均呈六边形，由于黑白相间在球体上，李强好不容易才数清了黑皮共12块，王凯数白皮时不是重复，就是遗漏，无法点清白皮的个数，你能帮助他们解决这一问题吗?

题型1 和、差、倍、分问题

例6 （1）一个数的2倍与这个数的一半的和等于25，求这个数。

解析 这类问题一般有明显的等量关系，根据字面意思直接列方程。

答案 设这个数为x，则 .

方法指导 方程两边所表示的必须是等量关系。

题型2 数字问题

例7 一个6位数，首位数字是1，如果将首位数字1移到末位上，其他数位的数字保持不变，所得到的新数是原数的3倍，求原6位数。

答案 若原六位数是1abcde，则新数为abcde1，它们相同部分为abcde，但所处的数位不同，若设原数的后五位数为x，则可列出方程： 解得：x=42857,所以原六位数为142857

方法指导 明确属于数字不同，只有把数字放在具体的数位才能得到相应的数，相同的数字在不同的数位上形成的数是不同的。

题型3行程问题

例7 小明搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，估计如果乘公共汽车一直到火车站，火车正好开出，于是在公共汽车行使了一半路程时，小明马上下车，并立即乘出租车前往火车站，出租车的速度是公共汽车速度的2倍，结果在火车开车前15分到达火车站，已知公共汽车的平均速度为30千米/小时，那么小明家到火车站的路程是多少？

解析 此题的等量关系比较隐蔽，改乘出租车后，提前15分钟到达，其含义就是后半程的两种时间差为 小时。

答案 设一半路程为x，则可列出方程： ,x=15.

解得：2x=30,总路程为30千米。

方法指导 此类问题中基本关系式为路程=速度×时间，由此可得出两个变式。三种量中如果已知条件里给出了其中两种量的条件，一般从第三种量上找相等关系，根据路程和时间找等量关系的居多。

题型4 调配问题

例8 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处个多少人？

解析 等量关系显然是调配后，甲处等于乙处的2倍。

答案 若设调往甲处x人，则乙处(20-x)人，则列方程为： 解得：x=17,20-17=3(人)

方法指导 本类题的关键是设元后，将调配的数量准确表示，再根据题意列方程。

题型5 工程问题

例9 一项工作，甲单独完成要9天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还要多少天才能完成这项工作的 ？

解析 由三人独立完成全部工作的天数咳得其工作效率分别为： ，甲、丙3天的工作量为 ，若设乙做x天，其工作量为 。

答案 ,x=2.

方法指导 此类问题中基本关系式为工作量=工作效率×工作时间，通常把全部工作量看作单位“1”，这样由工作时间可表示出工作效率，知道了工作效率就可求出任一时间的工作量，这是解决此类问题的基本方法。

题型6 经济问题（增长率问题、利率问题、打折问题、方案选择问题）

例10 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售给，将赚20元，这种商品的定价为多少元？

解析 本体需把握两点：1 配、赚都是用售价与进价的大小进行比较，2 七五折指的是售价为定价的75%。

答案 设定价为 元，列方程为：75%x+25=90%x-20.解得：x=300(元)

方法指导 此类问题中术语较多：进价、定价、售价、利润及利润率，根据题意进行各自的计算是关键。

题型7 积分问题

例11 足球比赛积分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打14场负5场共得19分，那么这个队胜、平、负各多少分？

解析 掌握积分规则，负场不得分，得分的是平场及胜场这个原则。

答案 设胜x场，则平(14-5-x)场，则：3x+1×(14-5-x)=19,解得：x=5,14-5-x=4,故胜5场平4场负5场。

方法指导 掌握比赛积记分规则是解决此类问题的关键。