人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结
² 相关概念及定义
Ø 二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
Ø 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
² 二次函数各种形式之间的变换
Ø 二次函数用配方法可化成:的形式,其中.
Ø 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
² 二次函数解析式的表示方法
Ø 一般式:(,,为常数,);
Ø 顶点式:(,,为常数,);
Ø 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
Ø 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
² 二次函数图象的画法
Ø 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
Ø 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
² 二次函数的性质
² 二次函数的性质
² 二次函数的性质:
² 二次函数的性质
² 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
Ø 的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
Ø 对称轴:平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
Ø 顶点坐标:
Ø 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
² 抛物线中,与函数图像的关系
Ø 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
Ø 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
Ø 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
² 求抛物线的顶点、对称轴的方法
Ø 公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
Ø 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
Ø 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
² 用待定系数法求二次函数的解析式
Ø 一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
Ø 顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
Ø 交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
² 直线与抛物线的交点
Ø 轴与抛物线得交点为(0, ).
Ø 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
Ø 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
Ø 平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
Ø 一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
Ø 抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
² 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
Ø 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
Ø 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
Ø 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
Ø 关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
Ø 关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
Ø 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
² 二次函数图象的平移
Ø 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
Ø 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
² 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
Ø 三点式。
1,已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A(,0),B(,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=a(x-1)2+4 , 经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
Ø 顶点式。
1,已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
2,已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
Ø 交点式。
1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
Ø 定点式。
1,在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线经过x 轴上一定点Q,直线经过点Q,求抛物线的解析式。
2,抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
Ø 平移式。
1,把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2,抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
Ø 距离式。
1,抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点,与 轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。
Ø 对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交 y轴于点C,且OB-OA=OC,求此抛物线的解析式。
Ø 对称式。
1,平行四边形ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y 轴于E,将三角形ABC沿x 轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
Ø 切点式。
1,已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点,求抛物线的解析式。
2, 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
Ø 判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
2、已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。
??????罗平轻松学习辅导中心20xx年中学生周末辅??导班专题
:?号? 第26章二次函数复习题
考?一。选择题:
1、 下列函数中,是二次函数的有
?线( )
?? ①y?1?2x2
②y?
1
?x
2 ③y?x(1?x) ④?y?(1?2x)(1?2x)
?A、1个 B、2个 C、3个 D、??4个
?22
2、若二次函数y?(m?1)x?m?2m?3的图象经过原点,则m的
??值必为( )
名?3、A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定 姓?封3、二次函数y?x2
?2(m?1)x?4m的图象与x轴 ?( )
?A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有?一个交点
??4、二次函数y?x2
?2x?2有 ??( )
?A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小?值2
??5、已知二次函数y?ax2
?bx?c(a?0)的图象如图4所示,有下??列四个结论:①b?0②c?0③b2
?4ac?0④a?b?c?0,其中级?正确的个数有( ) 班?A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?密?????提高成绩才是硬道理 罗平轻松学习辅导中心 134xxxxxxxx 第 1 页 共 3 页 ?导中心 1340875 958
????
图4
6、二次函数y?
12
(x?1)2?2的图象可由y?1
2x2的图象 ( )
A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到
7、若抛物线y?ax2
?bx?c的所有点都在x轴下方,则必有 ( )
A、a?0,b2
?4ac?0 B、a?0,b2
?4ac?0 C、a?0,b2
?4ac?0 D、a?0,b2
?4ac?0 8、已知反比例函数y?
a
x
(a?0),当x<0时,y随x的增大而减小,则函数y?ax2?a的图象经过的象限是 ( )
A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
9、二次函数y?ax2
?bx?c(a?0),当x=1时,函数y有最大值,
设(x1,y1),(x2,y2)是这个函数图象上的两点,且1?x1?x2,则 ( )
A、a?0,y1?y2 B、a?0,y1?y2 C、a?0,y1?y2 D、a?0,y1?y2
10、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
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????????:?号?考? ?线??????????名?姓?封???????? ?????级?班??密??????????
B. C. D.
二。填空题
11、抛物线y?ax2
经过点(3,-1),则抛物线的函数关系式为 .
12、抛物线y?(k?1)x2?k2
?9,开口向下,且经过原点,则. 13、把函数y??
12
6
x的图象向左平移2个单位,
再向下平移3个单位,所得新图象的函数关系式为 .
14、二次函数y??x2
?2x?3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 .
15、有一长方形条幅,长为a m,宽为b m,四周镶上宽度相等的花边,求剩余面积S(m2)与花边宽度x(m)之间的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 。 16、抛物线y?x2
?x?c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),
(x22
2,0),若x1?x2?3,那么c值为,抛物线的对称轴
为 .
三。解答题
17.根据下列条件,求二次函数的关系式: (1)抛物线经过点(0,3)、(1,0)、(3,0);
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(2)已知二次函数,当x=2时,y有最大值5,且其图象经过点(8,-31),求此二次函数的函数关系式.
19、把抛物线y?x2
?mx?n的图象向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y?x2
?2x?2,求m、n.
20、已知二次函数y?x2
?bx?1的图象经过点(3,2)。 (1)求这个二次函数的关系式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围。
21、已知抛物线y?ax2
?4ax?t与x轴的一个交点为A(-1,0)。 (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底
的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的函数关系式。
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????????:?号?考??线??????????名?姓?封?????????????级?班??密?????????? 22、已知二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点,且函 数有最大值2. (1)求二次函数的函数关系式; (2)设此二次函数图象的顶点为P,求⊿ABP的面积. . 25、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年 市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克 售价y31(元)与销售月份x(月)满足关系式y?? 8x?36,而其每 千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示. (1)试确定b、c的值; (2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间 的函数关系式; 23、如图,已知二次函数y??x2?mx?n,当x=3时, (3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?有最大值4. 最大利润是多少? (1)求m、n的值; y2(2)设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B, 求A、B点的坐标; (3)当y<0时,求x的取值范围; 24、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品 每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函26、已知开口向下的抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于两点A(x1,0)数关系式; B(x(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多2,0),其中x1<x2,P为顶点,∠APB=90°,若x1、x2是方程少最合适?最大销售利润为多少? 的两个根,且x221?x2?26. (1)求A、B两点的坐标; (2)求抛物线的函数关系式.
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