函数

    一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数中；余切函数中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

    1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数

2、若为增（减）函数，则为减（增）函数

3、若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

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第二篇：高一数学必修(1)复习：函数知识点总结

期末复习函数知识点归纳

一、函数的概念与表示

构成函数概念的三要素  ①定义域②对应法则③值域

例1、下列各对函数中，相同的是（     ）

A、   B、   

C、   D、f（x）=x，

例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ）

A、 0个       B、 1个      C、 2个       D、3个

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

 例.（05江苏卷）函数的定义域为________________________

例3：

（1）      

   （2）  。

例4：设，则的定义域为__________

变式练习：，求的定义域为__________

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③利用对勾函数

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

例：

1．（直接法）                      2． 

3．（换元法）                      4.                           

 5. ① ②            6．(对勾函数) 

7. (单调性)                    8.①，②  

9. (几何意义)

四．函数的奇偶性

1.定义：设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇  偶±偶=偶   奇×奇=偶   偶×偶=偶   奇×偶=奇[两函数的定义域D₁ ，D₂，D₁∩D₂要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系

l  例：

1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，                 .

4 若奇函数满足，，则_______

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

函数的单调性通常也可以以下列形式表达（等价形式）： 当的时候，函数单调递增当；  的时候，函数单调递减

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

l  例：

1定义证明函数的单调性

2 已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3函数对任意的，都有，并且当时，，

⑴  证：在上是增函数；   ⑵若，解不等式 

4函数的单调增区间是________

5已知是上的减函数，那么的取值范围是 （    ）

（A）     （B）      （C）     （D）

六．函数的周期性：

1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是的周期。（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期

l  对照记忆：

若，则：                     若，则：

2．若；；；则周期是2

l  例：

1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（   ）

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

2 已知是(-)上的奇函数，，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=________

3设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时

⑴  证：是周期函数；⑵当时，求的解析式；⑶计算：

七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

1．二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标

2．二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的的取值。

一元二次不等式的解集(a>0)

3、闭区间上二次函数的最值问题：

是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。

设，求在上的最大值与最小值。将配方，得顶点为、对称轴为

 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：

最小值：对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论

（1）当时，的最小值是

当时，

（2）若，由在上是增函数则的最小值是；

（3）若，由在上是减函数则的最小值是。

最大值：对称轴与区间中点比较进行分类讨论

（1）当时，的最大值是；

（2）当时，的最大值是；

   当时，可类比得结论。

例：（1）设求函数的最小值的解析式。

（2）已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。

（3）已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值

4、二次方程根分布问题：

从三个方面进行分析：（1）（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值

例：（1）已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.

(2) 方程有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是

(3)已知关于x的方程至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围.

八．指数式与对数式

1．幂的有关概念

(1)零指数幂                         (2)负整数指数幂

(3)正分数指数幂；

(4)负分数指数幂

(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2．指数幂的运算性质

  

3．根式    根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则

4．对数

(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数   ②    ③

(3)对数的运算性质

 logMN=logM+logN 

   对数换底公式：

对数的降幂公式：

l  例：

(1)                  (2) 

九．指数函数与对数函数

1、指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax (a>0 , a≠1)互为反函数

2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同

1、，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）

记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。

例：（1）已知，，，，则比较，，， 的大小

（2）设，，，则，，从小到大排列为          

（3）在,   ,  这三个数中最大的是         

3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

4、指对数函数的图像与性质：

十．幂函数

1、幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。

例：（1）下列函数是幂函数的是（  ）

A．y=x        B.y=3x          C.y=x+1           D.y=x

（2）已知函数是幂函数，求此函数的解析式．

2、幂函数的性质

归纳：幂函数在第一象限的性质：

，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（）上单调递增。

，图像过定点（1,1），在区间（）上单调递减。

整数m,n的奇偶与幂函数 ，的定义域以及奇偶性有什么关系？

结果：形如的幂函数的奇偶性

  （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；

  （2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；

  （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.

3、幂函数的图像画法：

关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；

指数等于1,在第一象限为上升的射线；

指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；

指数等于0,在第一象限为水平的射线；

指数小于0,在第一象限为双曲线型；

例：

1、（1）的定义域为_______；（2）的值域为_________；

（3）的递增区间为，值域为

2、（1），则

3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。

4.若a^2x+·a^x－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a^2x－3·a^x+4的值域.

十一．函数的图象变换

（1）      　1、平移变换：（左+  右- ，上+ 下- ）即

①     对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

l  例：

1．作出下列函数的简图：

（1）；                 （2）y=|2^x-1|；                 （3） y=2^|x|；