整式乘除与因式分解

一、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即

如：

7、积的乘方法则：（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（=

8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

9、零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：   

14、完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

       

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

a^m·aⁿ=a^m+n(m，n都是正整数).

(a^m)ⁿ=a^mn(m，n都是正整数).

例题1.若，则a=           ；若，则n=          .

例题2.若，求的值。

例题3.计算

 

练习

1.若，则=        .

2.设4^x=8^y-1,且9^y=27^x-1,则x-y等于           。

2.积的乘方

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－2008²

例题2.利用平方差公式计算：．

例题3.利用平方差公式计算：．

例题4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

变式练习

1．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

2.（3+1）（3²+1）（3⁴+1）…（3²⁰⁰⁸+1）－．

3. 已知 求的值

4、已知   ，求xy的值

5.如果a＋b－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值

6.试说明

（1）       两个连续整数的平方差必是奇数 

（2）       若a为整数，则能被6整除

7.一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长

4.单项式、多项式的乘除运算

（1）（a－b）（2a＋b）（3a²＋b²）；

（2）[（a－b）（a＋b）]²÷（a²－2ab＋b²）－2ab．

（3）．已知x²＋x－1＝0，求x³＋2x²＋3的值．

5. 因式分解：

 1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

       例1把分解因式．

       分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

       例2把分解因式．

       分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

      

      

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式

例题1 分解因式

3.配方法：

       例1分解因式

解：

      

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：

（1）．型的因式分解

       这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

       例1把下列各式因式分解：

              (1)                                (2)

解：(1)

          ．

       (2)

         

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

       例2把下列各式因式分解：

              (1)                              (2)

解：(1)

         

       (2)

         

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

       例3把下列各式因式分解：

              (1)                                    (2)

       分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

               (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：(1)

       (2)

             

（2）．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

       例4把下列各式因式分解：

              (1)                                    (2)

解：(1)                    

       (2)             

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

      

练习

1、  已知，，求 的值。

2、  若x、y互为相反数，且，求x、y的值

提高练习

1．（2x²－4x－10xy）÷（　　）＝x－1－y．

2．若x＋y＝8，x²y²＝4，则x²＋y²＝_________．

3．代数式4x²＋3mx＋9是完全平方式则m＝___________．

4．（－a＋1）（a＋1）（a²＋1）等于……………………………………………（　　）

（A）a⁴－1     （B）a⁴＋1       （C）a⁴＋2a²＋1    （D）1－a⁴　

5．已知a＋b＝10，ab＝24，则a²＋b²的值是 …………………………………（　　）

（A）148     （B）76     （C）58     （D）52

6．（2）（＋3y）²－（－3y）²；（2）（x²－2x－1）（x²＋2x－1）；

               

 

7．（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）的值．

8．已知x＋＝2，求x²＋，x⁴＋的值．

9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式－ab的值．

　　

　

　

10．若（x²＋px＋q）（x²－2x－3）展开后不含x²，x³项，求p、q的值．

《整式的乘除与因式分解》单元试题

一、选择题：（每小题3分，共18分）

1、下列运算中，正确的是(      )

A.x²·x³=x⁶   B.(ab)³=a³b³    C.3a+2a=5a²  D.（x³）²= x⁵

2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（       ）

（A）             （B）

（C）     （D）

3、下列各式是完全平方式的是（       ）

A、    B、  C、     D、

4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（        ）

（A）    （B）     （C）     （D）

5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（       ）

    A. –3          B. 3            C. 0            D. 1

6、一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（   ）

    A、6cm       B、5cm       C、8cm      D、7cm

二、填空题：（每小题3分，共18分）

7、在实数范围内分解因式　　　　　　

8、___________

9、若3^x=，3^y=，则3^x－y等于           

10、绕地球运动的是7.9×10³米/秒，则卫星绕地球运行8×10⁵秒走过的路程是      

三、计算题：（每小题4分，共12分）

11、          12、

13、［（x－2y）＋（x－2y）（2y＋x）－2x（2x－y）］÷2x．

四、因式分解：（每小题4分，共16分）

14、                                                  15、2x²y－8xy＋8y

16、a²(x－y)－4b²(x－y)            

五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分） 

17、　　　　

六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）

18、若，求的值。

23、自己作图：大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式。

24、如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．

25、察下列各式

（x-1）(x+1)=x²-1   

(x-1)(x²+x+1)=x³-1  

（x-1）(x³+x²+x+1)=x⁴-1

……

（1）根据规律可得(x-1)(x^n-1+……+x +1)=           （其中n为正整数）

（2）计算：

（3）计算：