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高等数学公式

导数公式：

(tgx)??sec2x(arcsinx)??1

(ctgx)???csc2x?x2

(secx)??secx?tgx(arccosx)???1

(cscx)???cscx?ctgx?x2

(ax)??axlna(arctgx)??1

1?x2

(logax)??1xlna(arcctgx)???1

1?x2

基本积分表：

?tgxdx??lncosx?C?dx22xdx?tgx?C

?ctgxdx?lnsinx?Ccosx??sec

2

?secxdx?lnsecx?tgx?C?dxsin2x??cscxdx??ctgx?C

?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C

?dxx?cscx?ctgxdx??cscx?C

a2?x2?1aarctga?C

dx?ax

?dx?1lnx?a?ax

lna?C

x2?a22ax?a?C

?chx?C

?dx1a?x?shxdx

a2?x2?2alna?x?C?chxdx?shx?C

?dx?arcsinx

2a?C?dx?ln(x?x2?a2)?C

a?x2x2?a2

??

22

In?1

n??sinnxdx??cosnxdx?

00nIn?2

?x2?a2dx?xx2?a2?a2

2ln(x?x2?a2

2)?C

2

?x2?a2dx?x22a

2x?a?2lnx?x2?a2?C

?a2?x2dx?xa2

22x

2a?x?2arcsina?C

三角函数的有理式积分：

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sinx?2u1?u2

1?u2，　cosx?1?u，　u?x

2tg2，　dx?2du

1?u2

一些初等函数： 两个重要极限：

ex?e?x

双曲正弦:shx?2limsinx

x?0x?1

双曲余弦:chx?ex?e?x

lim(1?159045...

2x??x)x?e?2.7182818284

x?x

双曲正切:thx?shx

chx?e?e

ex?e?x

arshx?ln(x?x2?1） archx??ln(x?x2?1)

arthx?1?x

2ln1

1?x

三角函数公式：

·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin??sin??2sin??????cos(???)?cos?cos??sin?sin?2cos2tg(???)?tg??tg?sin??sin??2cos???sin???

122

?tg??tg?

ctg??ctg??1cos??cos??2cos????

ctg(???)?2cos??

2

ctg??ctg?cos??cos??2sin???sin???

22

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·倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?sin3??3sin??4sin3?

2

ctg2??ctg??1cos3??4cos3??3cos?

2ctg?tg3??3tg??tg3?

tg2??2tg?1?3tg2?

1?tg2?

·半角公式：

sin?1?cos?

2??2　　　　　　　　　　　　cos?cos?

2??1?

2 tg???1?cos?1?cos?sin???cos??21?cos??sin??1?cos?　　ctg2??1?cos??1?cos?

sin??sin

1?cos?

·正弦定理：a?bc2a2?b2

sinAsinB?sinC?2R ·余弦定理：c??2abcosC

·反三角函数性质：arcsinx??

2?arccosx　　　arctgx??

2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n

(uv)(n)??Ck(n?k)

nuv(k)

k?0

?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)?2)1)(n?k)k)

2!u(nv?????n(n?1)?(n?k?

k!uv(???uv(n)

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

柯西中值定理：f(b)?f(a)

F(b)?F(a)?f?(?)

F?(?)

当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

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弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?

平均曲率：K???

?s.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。

M点的曲率：K??lim??d?y??s?0?s?ds?.

(1?y?2)3

直线：K?0;

半径为a的圆：K?1

a.

定积分的近似计算：

b

矩形法：?f(x)?b?a?y1???yn?1)

an(y0

b

梯形法：?f(x)?b?a

n[1

2(y0?yn)?y1???yn?1]

a

b

抛物线法：?f(x)?b?a

3n[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]

a

定积分应用相关公式：

功：W?F?s

水压力：F?p?A

引力：F?km1m2

r2,k为引力系数

函数的平均值：y?1b

b?a?f(x)dx

a

均方根：1b

b?a?f2(t)dt

a

空间解析几何和向量代数：

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空间2点的距离：d?M221M

2

?

(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)

2

向量在轴上的投影：

PrjuAB?cos?,?是AB与u轴的夹角。

Prja????u(1?a2)?Prja1?Prjaa?b??a?b?

2??cos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：

cos??axbx?ayby?azbz

a2

2

2

2

x?ay?az?bx?b2

2

y?bz

ijk

c??a?

?b??ax

aa,c?y?a??b?

zsin?.例：线速度：v??w??r?.

bx

by

bz

ax

ayaz向量的混合积：[a?b?c?]?(a??b?)?c?

?bx

bybz?a??b??c?

cos?,?为锐角时，

cx

cy

cz

代表平行六面体的体积

。

平面的方程：1、点法式：

A(x?x(y?y，其中n?

0)?B0)?C(z?z0)?0?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?03、截距世方程：

xya?b?zc?1

平面外任意一点到该平面的距离：

d?

Ax0?By0?Cz0?D

A2

?B2

?C

2

?x?x0?mt

空间直线的方程：

x?x0m?y?y0n?z?z0p?t,其中?s?{m,n,p};参数方程：?

?y?y0?nt??

z?z0?pt

二次曲面：x2221、椭球面：a

2?yzb

2

?

c

2

?1

x2

y

2

2、抛物面：2p?

2q

?z（,p,q同号）

3、双曲面：222单叶双曲面：xa2?yb2?zc2?1

22双叶双曲面：

xa

2

?

yz2b

2

?

c

2

?（马鞍面）1

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多元函数微分法及应用

全微分：dz??zu

?xdx??z

?ydy　　　du??

?xdx??u

?ydy??u

?zdz

全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y

多元复合函数的求导法：

z?f[u(t),v(t)]dz?z?u?z?v

dt??u??t??v??t　

z?f[u(x,y),v(x,y)]?z?z?u?z?v

?x??u??x??v??x

当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，

du??u

?xdx??u

?ydy　　　dv??v

?xdx??v

?ydy　

隐函数的求导公式：

2隐函数F(x,y)?0dy

dx??Fx

Fdy?Fx?Fdy

2?(?)＋(?x)?

ydx?xFy?yFydx

隐函数F(x,y,z)?0?zFx?zFy

?x??F?y??

zFz

?F?F

隐函数方程组：?F(x,y,u,v)?0

??v

G(x,y,u,v)?0　　　J??(F,G)??u?FuFv

??(u,v)?G?GGuGv

?u?v

?u(F,G)?v1?(F,G)

?x??1?

J??(x,v)?x??J??(u,x)

?u1

?y??J??(F,G)

?(y,v)?v

?y??1

J??(F,G)

?(u,y)

微分法在几何上的应用：

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?x??(t)

x?x0y?y0z?z0?

空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：??

??(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)

?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0

,GzGzFz

Fz

,GxGxFx

Fx

FyG

y

??Fy?F(x,y,z)?0

,则切向量T?{?

GyG(x,y,z)?0??

曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：

?

1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：

：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0

Fx(x0,y0,z0)

?

y?y0

Fy(x0,y0,z0)

?

z?z0

Fz(x0,y0,z0)

方

向导数与梯度：

函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。

?f??f?函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i?j

?x?y它与方向导数的关系是单位向量。

?l

多元函数的极值及其求法： ??f

是gradf(x,y)在l上的投影。

???f??

?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l

l的方向导数为：

?f?l??f?xcos??

?f?ysin?

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，??

?A?0,(x0,y0)为极小值?

?2则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极

?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???

重积分及其应用：

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??

f(x,y)dxdy?

??

f(rcos?,rsin?)rdrd?

D

D?

2

曲面z?f(x,y)的面积A?

??

????z?

????z?

2

??x??

????y

?dxdyD?

??x?(x,y)d?

??

y?(x,y)d?

平面薄片的重心：?

Mx

?

D

My

M

???(x,y)d?

,　　?

M

?

D???(x,y)d?

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix?

??

y2

?(x,y)d?,　　对于y轴Iy?

??x

2

?(x,y)d?

D

D

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：

Fx?f

??

?(x,y)xd?

?

3

Fy?f??

?(x,y)yd?

Fz??fa???(x,y)xd3

3

D

(x2

?y2

?a2

)2D

(x2

?y2

?a2

)2D

(x2?y2?a2

)2

柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos?

柱面坐标：?

?y?rsin?,　　　???f(x,y,z)dxdydz?

????

F(r,?,z)rdrd?dz,

?z?z

??

其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)

?x?rsin?cos?球面坐标：??y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?r2

sin?drd?d?

??

z?rcos?

2?

?r(?,?)

???

f(x,y,z)dxdydz?

???

F(r,?,?)r2

sin?drd?d??

?d??d??F(r,?,?)r

2

sin?dr?

?

重心：?1???

x?dv,　　?

1M

M

???

y?dv,　　?

1z?dv，　　其中

M??

???

?dv

?

?

M

???

?

?

转动惯量：

I2

2

2

2

2

x?

???(y

?z)?dv，　　I2

y?

???(x

?z)?dv，　　Iz?

???(x

?y)?dv

?

?

?

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧

长的曲线积分）：

设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?x??(t)

?,　　(??t??),?

y??(t)则：

?

?

f(x,y)ds?

?

f[?(t),?(t)]??2(t)???2

(t)dt　　(???)　　特殊情况：?x?t?

L

?

?y??(t)

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

设L的参数方程为?x??(t)

??y??(t)，则：

?

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

L?

两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式：??(?QPQ?P

D?x???y)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：??(?LD?x??y)dxdy?Pdx?QdyL

当P??y,Q?x?Q?P??dxdy?1

?x??y?2时，得到D的面积：A?2xdy?ydx

DL

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且?Q

?x＝?P

?y。注意奇点，如(0,0)，应

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

在?Q＝?P时，?x?yPdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：

(x,y)

u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。

(x0,y0)

曲面积分：

对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds???f[x,y,z(x,y)]?z22

x(x,y)?zy(x,y)dxdy

?Dxy

对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：

?

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

?Dxy ??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

?Dyz

??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。

?Dzx

两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds

??

高斯公式：

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???

?(?P?x??Q?y??R?z)dv?Pdydz??Qdzdx?Rdxdy?(Pcos???Qcos??Rcos?)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z

通量：??A??n?ds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，

???

因此，高斯公式又可写成：???divA?dv?Ands

??

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(?R?QRP

??y??z)dydz?(?P?z???x)dzdx?(?Q?x???y)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?

dydzdzdxdxdycos?cos?cos?

上式左端又可写成：???????

??x?y?z??????x?y?z

PQRPQR

空间曲线积分与路径无关的条件：?R?Q?P?R?Q?P

?y??z?z??x?x??y

ijk

旋度：rotA?????

?x?y?z

PQR

向量场A?沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A???tds

??

常数项级数：

等比数列：1?q?q2???qn?1?1?qn

1?q

等差数列：1?2?3???n?(n?1)n

2

调和级数：1?1

2?1

3???1

n是发散的

级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

???1时，级数收敛

设：??limn??u?n，则???1时，级数发散

????1时，不确定

2、比值审敛法：

设：??limU???1时，级数收敛

n?1，则?

??U???1时，级数发散

nn????1时，不确定

3、定义法：

sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：

如果交错级数满足??un?un?1

?limu?0，那么级数收敛且其和s?u?1,其余项rn的绝对值rn?un?1。

?n??n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；

(2)u1?u2?u3???un??

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

调和级数：?1(?1)n

n发散，而?n　　级数：?1

n2收敛；

　　p级数：?1

np?１时发散p?1时收敛

幂级数：

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11?x?x2?x3???xn

??x?1时，收敛于1?x

x?1时，发散

对于级数(3)a2n

0?a1x　?a2x???anx??，如果它不是仅在原点

收敛，也不是在全

x?R时收敛

数轴上都收敛，则必存

在R，使

x?R时发散，其中R称为收敛半径。 x?R时不定

??0时，R?

1

?

求收敛半径的方法：设

lim

an?1a??，其中an，an?1是(3)的系数，则

时，n??

??0R???n

????时，R?0

函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x2

x0)

0)(x?x0)?f??(x0)2!

(x?x0)???

f

(n)

(n!

(x?xn

0)??

(n?1)

余项：R(?)

n?

f

(n?1)!

(x?x?1

0)

n,f(x)可以展开成泰勒级数的

充要条件是：limn??

Rn?0

xf(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)x2

0?0时即为麦克劳林公式：

2!

???

f

(n)

(0)

n

n!

x??

一些函数展开成幂级数： (1?x)

m

?1?mx?m(m?1)

2

?1)?(m?n?1)

n

2!

x???

m(mn!

x??　　　(?1?x?1)

sinx?x?

x

3

x

5

2n?1

n?1

3!

?

5!

???(?1)

x

(2n?1)!

??　　　(???x???)

欧拉公式：

?eix?e?ix

?cosx?e

ix

?cosx?isinx　　　或??2

?ix?ix

??

sinx?e?e2三角级数：

?

?

f(t)?A0?

?A

n

sin(n?t??n)?

a0?

?(a

n

cosnx?bnsinnx)

n?1

2

n?1

其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]

上的积分＝0。

傅立叶级数：

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?

f(x)?a0

2??(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?

n?1

??

?a1?f(x)cosnxdx　　　(n?0,1,2?)

其中?n??

???

?1?

?bn?

???f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)

??

1?11?21?2

　32?52???81?1

22?32?142???61

22?1?14262????21112241?22?32?42????12正弦级数：ab2?

n?0，n???f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??bnsinnx是奇函数

2?

余弦级数：ba0

n?0，an???f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?2??ancosnx是偶函数

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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?

f(x)?a0

2??(ancosn?x

n?1l?bnsinn?xl)，周期?2l

?l

?a?1f(x)cosn?xdx　　　(n?0,1,2?

其中?nl?l)

??l

?

?b1l

(x)sinn?x

n??fdx　　　(n?1,2,3?

?l)

?ll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成dy

dx?f(x,y)??(x,y)，即写成y的函数，解法：x

设u?y，则dydu

x(u)，?dxduy

dx?u?xdx，u?du

dx??x??(u)?u分离变量，积分后将x代替u，

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dy

dx?P(x)y?Q(x)

当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce??P(x)dx

当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)e??P(x)dx

2、贝努力方程：dy?P(x)y?Q(x)yn

dx，(n?0,1)

全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：

du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u

?x?P(x,y)?u

?y?Q(x,y)

?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

d2y0时为齐次

dx2?P(x)dydx?Q(x)y?f(x)f(x)?

f(x)?0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

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(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(?)r?pr?q?0，其中r，r的系数及常数项恰好是22(*)式中y??,y?,y的系数；

2、求出(?)式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

y???py??qy?f(x)，p,q为常数

f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；

f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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