高一数学必修一知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上最高的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 ：N*或 N+

整数集： Z

有理数集： Q

实数集： R

1）列举法：{a,b,c??}

2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2} ,{x|x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

② 真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A

③ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2个子集，2

集

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B(或BA) nn-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子

三、集合的运算

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数

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y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；

（2）作差f(x1)－f(x2)；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) ○

= 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

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（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法 11．函数最大（小）值

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。

n

?a(a?0)

当n是奇数时，a?a，当n是偶数时，a?|a|??

?a(a?0)?

n

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)，a

mn

?

mn

?

1a

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rrr?saa?a（1）· rsrs(a)?a（2）

rrs(ab)?aa （3）

(a?0,r,s?R)；

(a?0,r,s?R)；

（二）指数函数及其性质

(a?0,r,s?R)．

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

x

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a；

x

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二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，

x

logaN— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○

3 注意对数的书写格式． ○

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

指数式与对数式的互化

幂值 真数

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○

M

?logaM－logaN； N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式：logab?

logcb

logca

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

利用换底公式推导下面的结论：（1）logambn?

1n

．logab?logbc?logca?1 logab；（2）logab?

mlogba

logaN

（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、loga1?0，logaa? ③、对数恒等式a

?N

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，

5

而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2

5 / 6

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． ○

4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

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第二篇：高中高一数学必修1各章知识点总结(1)

高中高一数学必修1各章知识点总结（1）

第一章 集合与函数（1）

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

元素的确定性； 元素的互异性； 元素的无序性

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。任何一个对象是不是这个给定的集合的元素，是毫不含糊的。

(2)在任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，不论其先后顺序。因此判定两个集合是否相等，仅需比较它们的元素是否一致，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：

（1）用拉丁字母记集合；

注意：常用数集及其记号：

自然数集N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数Q 实数集R

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括起来。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{直角三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x|x-3>2}. 注意：要特别

4、元素与集合的关系：从属关系

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，相反，a不属于集合A ，记作 A?a

5、集合的分类：

（1）有限集 含有有限个元素的集合

（2）无限集 含有无限个元素的集合

（3）空集Φ 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝。

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

（1）包含 ； （2）真包含。

①包含包括真包含和相等两种情形。

②任何一个集合是它本身的子集。

③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2、互补关系

（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集：设A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A的补集（或余集）

（3）性质：①CU(CUA)=A ②(CUA)∩A=Φ ③(CUA)∪A=U

④CUΦ=U ⑤CUU=Φ

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、集合主要的运算性质：交换律、结合律、分配律和反演律. 反演律：①CU(A∩B)=（CUA）∪（CUB）；②CU(A∪B)=（CUA）∩（CUB）。

四、重要结论

1、crd(A∪B)+ crd(A∩B)= crd(A) +crd(B)。

2、若crd(A)=n，则集合A有2n个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n -2个非空真子集(n≥1).

3、A?B? A∩B=A? A∪B=B?（CUA）∪B= U?A∩（CUB）=Φ。