数学归纳法的教学案例分析

赵跃梅

(玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业20##级1班, 学号: 2009011142)

指导教师: 余波

摘要：在研究学校教育内容与教学方法时，数学的教学是一个受人重视的问题.数学在教育的过程中，能够锻炼人的观察、实验、归纳的能力.本文以阐述数学归纳法原理教学设计的案例分析为核心内容.分析了数学归纳法的几个教学案例设计，利用案例说明数学归纳法和归纳法在教学中所用的方法和启发，在教学过程中从生活实际出发、观察、激发学生学习数学归纳法的兴趣方面着手，从所用的教学手段方面进行点评.并且针对数学归纳法教学过程中进行难点分析及其应该注意的地方.

关键字：数学归纳法;案例；案例分析

1. 数学归纳法的教学设计案例

教学内容分析和学生学习情况分析：数学归纳法是一种特殊的直接证明方法.在证明和正整数有关的命题时，数学归纳法通常是非常有效的工具，它通过有限的步骤的推理，证明了取无限多个正整数的情形.此节课的教学借助一些生活中实例，进行对比，引导学生对数学归纳法产生的兴趣，进行探究和分析，从而达到理解它的基本原理，掌握它的基本步骤.

案例一：

教学的设计过程：教师先拿出几个小木块，在讲台上摆放成一排（每两个长方体间的距离一定，确保前一个长方体倒下，后一个长方体必定倒下）.然后问学生：如何将这些小木块全部推到呢？

大部分的学生回答：一个一个的去推倒.

然后教师又拿出很多的小木块，与前面的几块在讲桌上全部摆放成一排，问：现在又该怎么样将所有的小木块全部推倒呢？

还是有一部分学生抢着回答：还是将小木块一个一个的推倒。（只有一部分学生保持沉默）

教师这是紧追问道：如果我再增加许多个，甚至有无穷多个这样的小木块呢？这种方法仍然可行吗？（停顿一会儿，学生陷入思考），激发学生追求新知识的欲望.

教师再次追问道：大家谁能想出好的方法来呢？（之后让学生上讲台上和老师一起多次重复试验如何把小木块推倒.）

试验的过程如下图所示：

让学生观察后，讨论自己所观察到的结果.教师在学生讨论的过程中指出：桌上只有几个小方木块，全部推倒倒是非常容易的.后来又增加了很多个（个数有限），虽然比较麻烦，但总还是可以全部推倒.若增加到无限个，该采取什么办法呢？从中提示学生需要寻找一种能将对部分对象所实施的作用传递到无限多的对象上的方法.

学生一：摆放时，让相邻两个小木块之间的距离小于一个小木块的长度.这样，前一个倒下时就会碰到下一个，由于这种连续作用，结果所有的小木块都会倒下.

（学生回答）第一点就是：推倒第个.第二点就是：从第个起，假设前一个倒下，一定能使后一个也倒下.换种说法就是：第一个倒下能推倒第二个，第二个倒下能推倒第三个，第三个倒下能推倒第四个，第四个能推到第五个，……

所以进一步可以表示为:假设第个倒下，那么第个倒下.则实验条件可表示我们可以得出以下的结论为：

(1)推倒第个;                                      

(2)假设第个倒下，那么第个倒下;

结论：满足上述条件(1)和(2)，则从第个起，所有小木块依次倒下.

在“小木块”实验中，让学生思考以下问题:

(1)若不推倒任何一个小木块，则其它小木块能全部倒下吗?（学生回答：不能）

(2)若在立起的一排长小木块的某一处取走小木块后，那么推倒第一个小木块能保证其它小木块全部倒下吗? （学生回答：不能）

让学生受上面实验的启发，通过实验建立起数学模型一一数学归纳法.我们可以利用数学归纳法来证明“与正整数有关的的命题”的结论.

对于一个与正整数有关的命题满足:

(l)当时(是使命题成立的第一个值),命题成立,即成立;（归纳奠基）

(2)假设当时,题成立,那么当时,命题也成立；（归纳递推）

由(l)、(2)可得,对以后的所有正整数命都成立.

其中教师强调到：第一步是归纳奠基，它是递推的基础；第二步是归纳递推，它是递推的依据.两者是相互依存、缺一不可。必须抓住第二步中，要强调必须由归纳假设推出,是从数学归纳法中的重点、难点，也是运用数学归纳法时的容易出错的地方.

对本本案例分析结果如下：

此节教学设计过程中，设计小实验。教师采用启发、引导、点拨的方式，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，进而达到对知识的发现和接受，完成知识的内化，使书本知识变成自己的知识.利用学生的对新事物的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲.在实验过程中，借助实物表演，通过教师的逐层引入引导，学生思考，把学生对事物的感性认识上升到了理性的认识.同时让学生始终走在一条充满轻松，愉悦的学习道路上.

1.  本案例贯穿了“从实际中来，到实际中去”的原则.

2.  本案例采用“实际—观察—启发—研究—结论”的模式.整节课的教学活动让学生主动积极参与探究，充分体现了学生的主动性.通过创设和诱发问题的情景、让学生与老师一起动手操作，逐步揭示了教材的内容规律和事物的本质特征，抓住关键、中心,让学生产生对对新知识的浓厚的求知兴趣.

3.  本案例选择了恰当的教学方法，通过演示、提问、讨论和得出结论.不断启发学生的思维，激发对数学的兴趣，扩大学生的思维空间，因而它对学生智力发展产生积极的影响.

4.  本案例突出了“联想与类比“、“归纳与猜想”的思想方法.

本案例中实验的反思目的是为了让学生体会数学归纳法的两个步骤是缺一不可的，提醒学生注意.

案例二：

教师引导学生想想生活中的类似归纳法推理出来的结论:“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”、“朝霞不出门，晚霞行千里”.从而引入课题《数学归纳法》.

师拿一个密封的盒子放在讲桌上：

问题1：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全部为白色？

学生回答：一个一个的把盒子里的球拿出来，如果发现都是白色的，就证明了.

问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？

教师引导学生明了以上两个问题的异同点.由此，得出归纳法的概念，同时指明了归纳法与不完全归纳法的区别.

教师问：若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全部是都是白色球呢？

学生回答：①证明第一次拿出的乒乓球是白色的；②可以构造一个命题并且证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的球是白色的”，结论是：“下次拿出的球也是白色的”.如果所构造的命题成立且被证明，则就说明了盒子中的乒乓球全部都是白色的.

教师引导学生讨论：以上两个步骤如果得到证明，是否就能说明盒子里全部的乒乓球都是白色的？由此，得出数学归纳法的基本概念.

师问：这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？

学生回答：能.

教师与学生一起对比两个问题的类似之处，进而得出数学归纳法的证题思路和步骤.

结论：对于一个与正整数有关的命题满足:

(l)当时(是使命题成立的第一个值),命题成立;

(2)假设时,命题成立,那么当时，命题也成立;

由(1)(2)可得：对以后的所有正整数命题都成立。

    教师让学生尝试用数学归纳证明学生假设的命题.教师在讲解过程强调数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”以及“一个结论”.

例：用数学归纳法证明: .

分析：

(1)当时，，命题成立；

(2)假设时，命题成立，即成立,当时,.

由(l)、(2)可得，对任何正整数命题都成立.（让学生自己行证明）

例１  用数学归纳法证明：

证明：当时，左边，右边，等式成立．

假设当时，等式成立，就是

．

那么，

       

．

这就是说，当时等式也成立．

根据（１）和（２），可知等式对任何都成立．

例２  用数学归纳法证明．

证明：当时，左边，右边，等式成立．

假设当时，等式成立，就是

那么，

这就是说，当时等式也成立．

根据（１）和（２），可知等式对任何都成立．

最后教师引导学生总结运用数学归纳法应该注意的细节：

①数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法，它使用于与自然数有关的问题.

②两个步骤、一个结论，二者缺一不可，否则结论不能成立.

③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换.

案例分析：

从教学设计分析来看：本节课采用了引导发现法和感性体验法进行教学的.在引出的《数学归纳法》这个课题后，通过乒乓球和等差数列的通项公式导出完全归纳法和不完全归纳法这两个概念，再由例子促进学生“对递推关系”的理解，明了两个概念的必要性.由具体到抽象，引导学生掌握本堂课的重点。例子讲解为进一步理解打下基础.但是归纳和推理能力学生相对不足和不太完善，在学习这种全新的归纳与推理总结的方法存在一定困难.

从教学目的分析来看：让学生初步掌握归纳与推理的能力；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质.培养学生自主探索问题、自主学习的方法与习惯.整堂课通过一个生活事例和课本公式的比较，学生的讨论促进了学生主动的思维.但是，总体来说，这节课的结构一般，缺少一些生动性.

建议：可以采用了讲解讨论相结合，交流练习想穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境、精选练习并以适当的辅导，巩固所学知识.多举一些实例或者具有代表性的（如：排列砖块、班级里的学生成绩等）例子.使课堂气氛更加活跃，把主动权教给学生.另外可以进行多媒体教学，让学生在多媒体上观察一些例子，从而引导学生自己去归纳总结.在教学过程一定要注意提高学生的积极性和主动性.

案例三：

（课前引入）：师说：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字，这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.（对不完全归纳法引例子）

师说：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥，看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案.（到此时，教书让学生思考换作是他们，会怎么做？）大徒弟费了很大的劲将花生全部剥完；二徒弟只捡了几个饱满的，几个干瘪的，几个书熟好的，几个没有熟的，几个三仁的、两仁的、一仁的；总共不过几个花生.显然，二徒弟比大徒弟聪明.（对完全归纳法对比引例子）

运用不完全归纳法实例和完全归纳法实例，给出等差数列前四项，让学生写出该数列的通项公式和让学生证明圆周角定理分园心在圆周角内、外部及一边上三种情况.

（多媒体播放多米诺骨牌的游戏、自行车推到、放鞭炮、早操排队对齐等生活实例）其中对多米诺骨牌进行详细介绍，之后总结出多米诺骨牌成功的两个关键点：

（1）：第一张被推到；

（2）：假如某一张牌倒下，则它的后一张牌必定倒下，于是，我们可以下结论：多米诺骨牌全部倒下.

类比多米诺骨牌过程中，证明等差数列通项公式.

（1）当是成立；

（2）假设当是成立，即，则，即时等式也成立.

于是我们下结论：等差数列通项公式对任何都成立.从而得出数学归纳法的整个证明步骤如下:

(1)证明当取第一个值 时正确；

(2)假设当时正确,证明当时也正确；那么, 对任意正整数都成立.

第一步是整个数学归纳法证明的基础;第二步是最根本的一步,是整个数学归纳法证明的核心是通过第二步,人们的认识才达到了质的飞跃，通过有限认识了无限。数学归纳法的第二步,就是以一次推演代替了无限次归纳下去的过程". （“多米诺骨牌”对于数学归纳法来说就是一个十分有益的直观模型）

例1观察下列等式:

观察上面的几个等式，则我们可以得出以下结论:“对任意正整数，等式成立”.这个结论是否正确，可以用数学归纳法进行证明,证明过程如下:

证明:(1) 当时,左边,右边,等式成立.

(2) 假设当时,等式成立,就是

  ,

那么,

 

这就是说,当时等式也成立.

根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.

例如：设，取，则，，，，，，，，。可以看出，这些值都是质数.

从这些特殊例子中我们归纳出，当为正整数时，的值都是质数.但是这一结论却是错误的.实事上，当时，，而121是个合数.

案例分析：

本案例的中心是归纳法与数学归纳法，它主要从递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想等方面进行教学类容.此案例利用多媒体教学，使课堂变得更加生动，是学生更加容易地接受及理解数学归纳法.本案例从不同的角度说明了归纳法、不完全归纳法和数学归纳法之间的联系和区别数学归纳法是数学教学中一种十分重要的并且十分常用的证明方法，在不少问题的证明中，它有着其他证法所不能替代的作用，教师如果按照一般的传统的、死板的教学模式的话，学生学习这个内容只知道形式上要求，不知其所以然，盲目死套路格式从而造成不该有的失误.

在许多教学上，运用典故和多媒体教学相结合来进行的具有创新性的教学方式.通过多米诺骨牌游戏的动画演示，提高了教学的直观性和趣味性，促进学生对“递推”原理的理解，为“数学归纳法”的应用和场合提供了形象化的参照物，效果非常明显。建议教师多设计一些比较新颖的授课方式，以更加吸引学生的注意力.让学生更加容易理解与接受所学的内容.通过举例子让学生更进一步理解数学归纳法体会现实生活之间的联系和和类比，增加学生对学习的兴趣.

在教学中一定注意几点：

1.数学归纳法适用于与自然数有关的命题.

     2.对假设的理解，是学生了解一种从“有限”到“无限“的辩证思想.

     3.数学归纳法的原理里面第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可的.

2. 数学归纳法教学的难点分析

数学归纳法是证明数学命题的一种方法，但数学归纳法的教学一直是高中数学教学的一个难点，究其原因，也许是由于在教学中没有把这种方法在逻辑上讲得很清楚，从而导致学生对于理解和运用这种数学方法的困难.许多学生只是借助于像多米诺骨牌这样的事例作类比来认识这种方法的可靠性，但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性.不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法的两个步骤去证明数学结论，从而导致证明过程中出现表述上的种种错误。从词意上分析，“数学归纳法”名称中有“归纳法”三个字，那么这种方法到底是不是“归纳法”呢？从推理论证角度认识，归纳法常常用于数学结论的“猜想”，而不能用于“证明”数学结论。那么，第一方面，数学归纳法与归纳法有什么联系呢？另一方面，在数学论证中，只能用演绎法证明数学结论，数学归纳法能够用于证明数学结论，那么，数学归纳法就应该纳入演绎法的范围中，但这又怎样去理解呢？另外，从学生数学学习心理的角度看，在数学归纳法的第二个步骤“归纳递推”中用了“假设”一词，学生会想，既然是一种假设，怎么就可以作为进一步证明结论的一个基础呢？以上种种疑惑，都是导致形成高中学生理解数学归纳法的困难的原因.要解决以上的种种认识问题，就应该适度地阐明，数学归纳法本质上是一种演绎法，或者准确地说，是在推理过程、叙述形式上被约缩了的演绎法.实际上，在数学归纳法中隐含着一连串的三段论.其中第一个三段论是：

大前提：如果命题对成立，那么命题对也成立；（这个大前提在数学归纳法的第二个步骤“归纳递推”中得到证明）

小前提：命题对成立；（这个小前提在数学归纳法的第一个步骤“归纳奠基”中也得到证明）

结论：命题对成立.

于是，有了第二个三段论式：

大前提：如果命题对成立，那么命题对也成立；

小前提：命题对成立；（这个小前提是前一个三段论中已经证明的结论）

结论：命题对成立。

于是，又有一个三段论，从中得到命题对成立

…… 

这样，每一个三段论都得到命题链中的一个命题的证明，直至无穷，从而得到所要证明的数学命题（可以看成是由无穷个命题组成的命题）的证明.

 以上就说明了数学归纳法与演绎法之间的本质联系。上面的分析还说明了能用数学归纳法证明的命题系列的结构关系：

命题→命题→命题→……→命题→……

命题系列的结构与正整数之间的关系结构具有一致性：

在应用数学归纳法证明数学结论的逻辑结构中，第二步“归纳递推”证得的命题“”处于核心的地位，实际上就是以上逻辑结构中被反复应用的大前提.人们常常通过对于命题序列“命题→命题→命题→……→命题→……”中前面几个特殊命题间关系的分析研究，从中归纳得到一般的两个相邻命题间的推出过程“”的方法，这是一个从特殊到一般（实际上是从“特殊推理”到“一般推理”）的归纳过程，这也许能够说明早先称这种方法为“数学归纳法”的原因.这样理解是否正确，尚待考证.　　　　　　　　

 3.  对数学归纳法教学的建议

目前，数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游戏让学生对数学归纳法有一个直观的认识，这是一种非常好的教学设计方法.为了判断实际教学中学生是否真正理解了数学归纳法，从教学评价的角度分析，建议教学中可以提出以下的问题：“你是怎样理解数学归纳法的？”准确地说，就是要问学生“与多米诺骨牌游戏类似，请你自己提出一种能反映数学归纳法方法原理的实际情景.”如果学生能够比较准确地说出这类实际背景的例子，并清楚实际情景中的现象怎样对应数学归纳法中相应的证明步骤，就说明学生对于数学归纳法已经有了较好的理解.实际上，学生也许能够提出他们更为熟悉的能够有助于理解数学归纳法的实际背景.课堂教学是艺术，所以课堂教学就可以有不同款式的设计.实际教学中，就目前对于数学归纳法的认识，对于引入数学归纳法的教学就有以下的教学过程设想:

例1：同学排队问题：有许多已经编号的同学（号码依次为1，2，3，4，5，6，……）（有限人数，或无限人数），要求按号码顺序排成一队，可以按照以下的两个步骤来达到目标：

1.第一人能按照要求排好队；

2.人人遵守以下规则：如果第号学生按照要求排好队，那么第号学生也一定能按照要求排好队.

以上两条做到了，则所有同学就都能按要求排成一队了。

 例2：火车顺利开动（整列火车，包括火车头，后续各节车箱顺利开动）的条件：

1.火车头开动；

2.火车头与后续车箱、各节车箱之间的很好连接。

俗话说“火车跑得快全靠车头带”，此话只说对了一半，联系数学归纳法，比较完整的说法：“火车跑得快，一靠前面车头带，二靠后面车箱都能跟上来”.如果学生们对与此有关的数学变形方法非常熟悉，则此问题就不能使用了，可以考虑采用其他的类似问题.如求前个正整数的立方和问题，选择问题的原则是应该使问题的研究具有探究性，从中可以体现归纳、递推的分析过程.在教学中应根据学生实际情况预备适当的引入问题.这里仅仅仍用以上这个相对简易的问题说明设计的教学基本过程.由于以上求和式中加数的项很多，很难逐项相加得到要求的和，学生就会希望能够找到一个求和的规律性方法，也就是能解决问题的一个一般性公式,从分析、归纳中可以发现，实际上解决原来的问题就可以转化成解决以下具有普遍价值的一般性数学问题：

后面再逐渐展开分析，让学生自然地逐渐形成数学归纳法的证明方法，并类比多米诺骨牌游戏等理解数学归纳法.个人认为，这样的教学过程也许更能让学生认识引入数学归纳法的必要性，并也许能够说明，数学归纳法与“归纳法”又有什么联系.在数学归纳法中，不作一系列（一般说是无限个）特殊的递推步骤，而代之以一个一般性的“递推步骤”，即第二步“归纳递推”步骤，而这一般性的递推步骤证明的方法常常是从最先几个特殊递推中得到启发而来的，这是从特殊到一般的方法的运用，也正是归纳法的思想的运用.不过，这只是数学归纳法证明数学命题过程中的一部分，并不是数学归纳法的全部，也说明了数学归纳法的方法中确实蕴涵着归纳法的成分，但又不同于一般的归纳法，故命名为“数学归纳法”.

实践证明,数学归纳法是能够培养和锻炼人的思维的有效方法。数学教学的目的就是要使学生获得必要的数学素质:广博的数学通识,准确的科学语言,良好的计算技能,周密的思维习惯,敏锐的数量意识,及发现和解决问题的数学能力.因此,对于教师在教学过程中我提出以下几点建议：

第一，教师应对数学思想方法要有正确的认识,在课堂教学中教师引导着整节课的方向，教师对数学认识的决定和影响着具体的教学过程;

第二，教师要努力学习现代教育理论，形成先进的教学理念，把数学思想方法作为教学对象，纳入教学目的，写入教案，使之明朗化，以教学知识为载体，把隐含于知识背后地思想方法揭示清楚，有意识地激发学生去注意思想方法;

第三，教师应当注意把与学生认知水平相适应的数学思想方法渗透到日常课堂的教学中，在潜移默化中把数学思想方法教给学生;

第四，数学思想方法的教学应当螺旋式进行的，全面分析同一思想方法在不同教学内容中的作用; 组织学生积极参与数学思想方法地教学过程.

参考文献

[1] 知心，数学归纳法教学设计的若干背景，中学数学教学参考，1999年第9期.

[2] 归纳法与数学归纳法及其应用，中学理科，1999年第Z2期.

[3] 数学归纳法的构造，数学通报，1991年，第二期.

[4] 邵光华，对中学“数学归纳法”教材的几点思考，数学通报，1992年第5期.

[5] 刘志强，着力于数学归纳法原理理解的教学设计，上海中学数学，20##年第24期.

[6] 曾峥，数学归纳法及其教学，数学教育学报，1997年，第11期.

Mathematical induction teaching case analysis

Yue-Mei Zhao

Faculty of Science, Yuxi Normal University, Student No. 2009011142

Supervisor: Bo Yu

Abstract:When studying school education content and teaching method, mathematics teaching is a problem. To mathematics in the process of education, can exercise person's observation, experiment, induction ability. Based on the principle of mathematical induction teaching design case analysis as the core content. Analysis of the mathematical induction several teaching case design, use case in teaching mathematical induction and induction method and used in the inspired, in the teaching process according to practical life, observing, arouse the students' interest in learning mathematical induction, from the aspects of teaching methods used in the comments. And according to the mathematical induction to the difficulty in the teaching process and should pay attention to analysis.

Keywords: Mathematical induction;case;The case analysis