泛函分析知识点小结及应用

    §1  度量空间的进一步例子

    设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足

1．非负性：，=0;

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对，都有+，  则称(，)为度量空间，中的元素称为点。

    欧氏空间  对中任意两点和，规定距离为   =.

    空间  表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.

    （空间  记=.

设，，定义  =.

例1 序列空间

令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令

=. 

例2 有界函数空间

设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.

例3 可测函数空间

设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令   =.

§2 度量空间中的极限

    设是中点列，若，s.t.

                                        ()

则称是收敛点列，是点列的极限.

收敛点列的极限是唯一的. 若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=.

 注   ()式换一个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有

    距离是和的连续函数.   

    具体空间中点列收敛的具体意义：

    1.  欧氏空间     =，，为中的点列，=，         =.     对每个，有  .

    2.       设，，则 =    在一致收敛于.

    3.   序列空间 设=，，及=分别是中的点列及点，则   依坐标收敛于. 

    4.   可测函数空间    设，，则因=，有  .

§3  度量空间中的稠密集 可分空间

     定义  设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集. 若有一个可数的稠密子集，则称是可分空间.     例1   维欧氏空间是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是的可数稠密子集.   例2   离散距离空间可分  是可数集.  例3     是不可分空间.

  §4  连续映射

    定义  设=，=是两个度量空间，是到中的映射：= =.  ，若0，0，s.t. 且，都有，则称在连续：

    定理 1   设是度量空间到度量空间中的映射：， 则在连续  当时，必有.       

    定理2   度量空间到中的映照是上的连续映射  任意开集，是中的开集.

   定理   度量空间到中的映照是上的连续映照  任意闭集，是中的闭集.

§5  柯西点列和完备度量空间

定义 1   设=(，)是度量空间，是中的点列. 若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间.

在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41,  在中收敛于，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

  定理1  完备度量空间的子空间是完备度量空间  是中的闭子空间.

常见例子：(1)（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间

          (2) 是完备的度量空间

(3) (实系数多项式全体)是不完备的度量空间

§6 度量空间的完备化

定义 1   设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映射(,，有(,)=(,))，则称(,)和(,)等距同构，此时称为到上的等距同构映照。等距同构映照是1-1映射.

定理1 (度量空间的完备化定理) 设=(,)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使与的其个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是一完备度量空间，且与的其个稠密子空间等距同构，则(,)与(,)等距同构.

§7压缩映照原理及其应用

定义  设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：01，s.t. 、，成立   

则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).

 定理1.(压缩映射定理) 设是完备度量空间，是上的压缩映照，则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个解).

补充定义：若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点X是方程TX=X的解。

定理2.  设函数在带状域，中处处连续，且处处有关于的偏导数，若存在常数和， 满足  ，0，  则方程  =0  在区间上必有唯一的连续函数作为解：0，.

§8赋范线性空间和Banach空间

线性空间+范数Þ线性赋范空间线性赋范空间+完备性Þ巴拿赫空间

定义1   设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C），如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且"x,y,zÎX,  l,ÎmK,  满足：

1)   x+y=y+x          （加法交换律）

2)   (x+y)+z+x+(x+y)      （加法结合律）

3)  Îq$X,  使x+q=x     （零元素存在性）

4)  $x’ÎX,使x+x’=q     （逆元存在性）

5)  l(mx)=mlx=m(lx)    （数乘结合律）

6)  1x=x,  0x=q

7)  (l+m)x=lx+mx     （元素对数的加法分配律）

8) l(x+y)=lx+ly      （数对元素的加法分配律）

则称x+y为x与y的和，lx为数l与x的数乘 ,  称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。

定义(范数，赋范线性空间) 设为是实（或复）数域的线性空间，若对，存在一个实数于之对应，且满足下列条件：

(1) ;  且；    （非负性）

(2) ，；          （正齐（次）性）

(3) ，；    （三角不等式）

则称为的范数(norm)，称（或：）为赋范线性空间

定义  完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach）空间。

例子：，空间，维Euclidean空间，，

都是Banach空间。

度量空间与赋范线性空间   区别：度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非负性，齐次性，三角不等式）

联系：都是在线性空间的前提下讨论的。赋范线性空间是一种特殊的度量空间

 

第二篇：泛函分析复习与总结

《泛函分析》复习与总结

(20##年6月26日星期四 10:20---11:50)

第一部分空间及其性质

泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间

（1）距离空间 （集合+距离）

！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【对称性】；

(iii) 【三角不等式】。

       距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

       （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）

！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【齐次性】；

(iii) 【三角不等式】。

赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间、Banach空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）

！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【第一变元可加性】；

(iii) 【第一变元齐次性】；

(iv) 【共轭对称性】。

内积空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间、空间。

注.        1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系:

{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.

2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内积.

3) 在距离空间中，，当；

赋范线性空间中，，当；

内积空间中， ，当.

重点.！要求会验证距离, 范数和内积.

二．完备性，稠密性，可分性

（1）！完备性

距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”

具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach空间；完备的内积性空间称为Hilbert空间.

重点. 验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。

注.        距离空间的*完备化不是本课程的重点.

（2）稠密性

若, 则称在中稠密. 当时, 也称是的稠密子集.

关于在中稠密的等价命题:

在中稠密, 存在, 使得;

, .

（3）！可分性

如果有可数的稠密子集, 则称具有可分性. 类似地可以定义可分的距离空间, 可分的赋范线性空间, 可分的内积空间等. 不具有可分性的空间称为不可分空间.

可分空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间.

不可分空间的典型代表：空间、空间.

重点. 要求会找出具体的可分空间中可数稠子集. 掌握不可分空间的证明方法.

！不可分空间的证明方法: 如果空间中含有一个不可数子集, 且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数, 则是不可分的. （例如中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；中这样的集合是上的集特征函数全体）

三 空间中的集合

（1）开集、闭集、有界集、无界集；

（2）疏朗集、稠密集；

（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.

具体空间中列紧集的判别条件：

       a．和或有限维赋范线性空间中：Weierstrass定理（有界集是列紧集）;

b. ！中： Arzela-Ascoli定理（一致有界且等度连续）；

（4）内积空间中的正交集， ！正交基.

       Parseval恒等式、Bessel不等式。

（5）有限维赋范线性空间的性质：

       1. 有界集即列紧集；

       2. 有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。

四 具体的空间

已经学过的具体空间有：

u  空间（）;

u  空间（）;

u  空间（）;

u  空间（）;

u  空间;

u  空间。

注.        1. 要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。

       2. ！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass定理和空间中的Arzela-Ascoli定理）；

       3. ！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（的完备性证明不作要求）

       4. 会用Holder不等式、Minkowski不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；

       5. 具体空间的共轭空间， 仅限于要求掌握：

！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；

空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；

第二部分映射算子泛函

泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理, 例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。

一. 泛函分析中的映射

在泛函分析中, 映射

当是空间时称为算子; 当是空间, 是数域(或)时称为泛函;

当是线性空间时, 主要考虑线性算子:

, , ;

泛函分析中的非线性映射:

1.       *压缩映射: , 其中.     Banach不动点定理.

2.       *紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质).

二. 有界线性算子

（1）是由映射到的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当是Banach空间时也是Banach空间）；

（2）有界线性算子列的收敛：

算子列的按算子范数收敛： ；

算子列的强收敛： 对于每一个，；

（参见Banach-Steinhaus定理，P59）

（3）重要定理

开映射定理、逆算子定理；

！共鸣定理、 ！一致有界定理、 ！Banach-Steinhaus定理；

闭图像定理、

！范数等价性定理（P63引理1）；

注. 重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。

（4）共轭算子

共轭算子的定义（）以及简单性质；

重要实例：*以为核的积分算子的共轭算子、 ！左位移（右位移）算子的共轭算子。

（5）具体的线性算子

l  ！以为核的积分算子；

l  ！由变上限积分所定义的算子；

l  微分算子；

l  ！由到的左位移（右位移）算子.

注. 线性算子的有界性等价于连续性.

重点. 要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、 ！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。

三. 有界线性泛函

（1）的概念和简单性质 ().

（2） 的概念和简单性质: 在等距同构（自然投射）的意义下可以视为的子空间（），当在等距同构意义下与相等时，称为自反空间；

（3）的实例：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；

空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；

（3）泛函列的收敛： 设，

按算子范数收敛于（称为强收敛）： ；

弱收敛于： 对于每一个： ；

弱*收敛于： 对于每一个： 。

注. 1. 当是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。

2. 对于泛函列的弱收敛，也有相应的Banach-Steinhaus定理。

（4）点列的收敛：

u  在赋范线性空间中，设，

按范数收敛于（称为强收敛）： ；

弱收敛于： 对于每一个： ；

弱*收敛于： 对于每一个： 。

u  在Hilbert空间中，设，

按范数收敛于（也称为强收敛）： ；

弱收敛于等价于 对于每一个，

（请参考Frechet-Riesz表示定理（P107定理3）未学，不要求）。

（4） ！泛函延拓定理及其推论

注. 泛函延拓定理及其推论是重点内容，但体现在定理的应用上。

（5）*弱列紧性

Alaoglu定理（P74）、Eberlein定理（P74定理9：自反空间的单位球是弱列紧的）

请注意：

“！”表示是本课程所考察的重点内容，须引起特别注意！

“*”表示不是本课程的重点内容或必考内容.