对传统与多媒体数学教学模式的一些认识

论文摘要

从我国的现实情况看，九十年代以前的数学教学模式基本上都属于传统教学模式。随着多媒体信息技术的迅猛发展，对传统的数学教学模式和教学行为产生了严重的冲击，并引发了数学教学的巨大变革。多媒体信息技术的出现为初中数学教学手段的改进提供了新的机会，产生了不可估量的教学效果。同时，使用多媒体教学时也存在着一些令人担忧的现状，从数学课堂教学实践的角度指出这些现状，分析这些现状存在的原因，对课堂教学将起到正面推动作用。

【关键词】 传统 多媒体 数学教学 认识

随着经济、教育的不断发展，以多媒体计算机和网络为核心的信息技术日益成为拓展人类能力的创造性工具。作为一种新型的教育形式和现代化教学手段的多媒体技术给传统教育带来巨大影响，它改变了千百年来一支粉笔、一块黑板的传统教学手段。在数学课堂教学中引入多媒体，可使学生手、眼、耳并用，使学生有新颖感、惊奇感、独特感、直观感，能唤起学生的“情绪”和激发他们的兴趣，从而提高教学效率，优化课堂结构，减轻教师烦琐的劳动。因此，我们可以通过精心制作的多媒体课件，创设教学情景，让学生身临知识的发生与发展过程，充分揭示数学概念的形成与发展，数学思维的过程和实质，展示数学思维的形成过程。让原本抽象的数学在一定程度上具体而鲜活起来，让学生不再觉得数学枯燥，不再畏惧数学。传统的教学模式逐渐被多媒体辅助教学模式所取代。多媒体在初中数学教学中发挥着越来越重要的作用，越来越深刻地影响和促进教育教学改革，同时也为初中数学教学改革提供丰富的信息化资源。多媒体在初中数学教学中，得到了较为普遍的应用，为初中数学教学提供了新的支持。下面就本人对传统与多媒体数学教模式谈点粗浅体会和看法。

一、 对传统教学模式与多媒体教学模式的认识

从我国的现实情况看，九十年代以前的数学教学模式基本上都是传统教学模式——以“教师”为中心。这种模式的优点是有利于教师主导作用的发挥，有利 1

于教师对课堂教学的组织、管理与控制；但它存在一个很大的缺陷，就是忽略学生的主动性、创造性，不能把学生的认知主体作用很好地体现出来。强调学生的任务就是要消化、理解教师讲授的内容，把学生当作灌输的对象、外部刺激的接受器、前人知识与经验的存储器，忘记了学生是有主观能动性的、有创造性思维的活生生的人。这样一来就使学生逐渐养成了一种不爱问、不想问“为什么”、也不知道要问“为什么”的不良习惯，形成一种盲目崇拜书本和老师的迷信思想，对书本和老师不能怀疑。在课堂上，险非教师主动提问，否则是不容许学生随意打断教师已制定好的教学计划的，学生也决不敢这样做。这种思想代代相传，不断强化，就使学生的发散性思维、逆向性思维被束缚、被禁锢，敢于冲破传统的新思想、新观念被扼杀，大胆幻想的翅膀被折断，作为认知主体的学生其主动性无从发挥。这就等于从基底上移走了具有创新思想和创新能力人地赖以孕育、滋生和成长的全部土壤，创造型人才的培养就成了难以实现的空中楼阁。不难想象，作为认知主体的学生如困在整个教学过程中始终处于比较被动的地位，肯定难以达到比较理想的教学效果，更不可能培养创造型人才。

进入九十年代以后随着多媒体和网络技术的日益普及（特别是基于Internet的教育网络的广泛应用），多媒体教学模式才逐渐发展起来。这种教学模式是根据现代化教学环境中信息的传递方式和学生对知识信息加工的心理过程，充分利用现代教育技术手段的支持，调动尽可能多的教学媒体、信息资源，构建一个良好的学习环境，在教师的组织和指导下，充分发挥学生的主动性、积极性、创造性，使学生能够真正成为知识信息的主动建构者，达到良好的教学效果。

多媒体教学模式的关键在于从现代教学媒体构成理想教学环境的角度，探讨如何充分发挥学生的主动性，积极性和创造性。我们知道，以计算机为主的现代教学媒体（主要指多媒体计算机、教学网络、校园网和因特网的出现带来了传统教学媒体所无法具备的特性：计算机交互性、多媒体特性、超文本特性、网络特性。）这些特性能够使学生在课堂上的地位有所改变，使学生能够真正积极主动的探索知识，而不再是被动的接受知识信息，成为知识信息的主动建构者。在这种模式下，教师成为课堂教学的组织者、指导者，学生建构意义的帮助者、促进者，而不是知识的灌输者和课堂的主宰。与传统模式相比，多媒体在初中数学课堂教学中发挥越来越大的作用，但也存在一些令人担忧的问题，从课堂教学的角度指出这些问题的存在，对使用多媒体进行有效的教学，以提高课堂教学质量有很大的帮助。下面结合自己在数学教学中积累的经验，谈谈自己的见解。

二、多媒体在初中数学课堂教学中的优势

2

1.加强了课堂的趣味性和直观性，有利于提高学生的学习积极性。

将多媒体信息技术融于课堂教学，利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点为学生创设各种情境，可激起学生的各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，激发动机和兴趣。同时，形象直观能突破视觉的限制，多角度地观察对象，并能够突出要点，有助于概念的理解和方法的掌握。

例如，在讲解二次函数y?ax2?bx?c中的三个系数a、b、c对其图象的影响时，可以在几何画板中任意输入不同的a、b、c，观察图象的变化，通过大量的演示，学生在动态中去观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与结构关系，学生自己发现并总结a、b、c的值对二次函数的图象的影响，使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”，激发了学习的热情，学生的创造力得到了充分发挥，体验到数学发现的快乐，极大地提高了课堂教学效率。

几何画板是数学教师最喜欢使用的教学软件，它操作简单，功能丰富，动感十足，能够满足数学教学中化抽象为形象直观的要求。例如在讲解勾股定理中利用“数形结合法”求证时，通过画板上的动画演示，使他们体会到数学的美妙，向他们展示智慧的魅力。这样，学生非常形象直观地理解了勾股定理的详细证明过程，这就使在传统教学中无法解决的难题变得非常容易，教师上课轻松，学生更是在感兴趣的前提下自觉进行了学习。

另一方面，运用多媒体教学可改变传统的视觉感受。传统教学一律是黑色的黑板展现在学生面前，现在使用计算机的优势，教师可以自己设计出光线柔和的、颜色清新的、令人赏心悦目的板面用作教学当中的黑板，或者还可以别出心裁地在板面的四周布置几束漂亮的小花，调剂课堂气氛。

2.创设逼真情境，激发学生的思维活动，帮助学生更好地思考，有利于问题的探索和发现。

思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，思维活动是在感知的基础上产生和发展的，感性认识是思维活动的源泉和依据，而感性认识来自于情境。多媒体技术能够有效地创设逼真的情境，提供给学生情境化的学习活动，使课堂由静态的学习变为图文声像并茂的动态传播过程。通过一环扣一环问题的创设和层层深入的启发，使学生求知欲望由潜伏状态转入活跃状态，有力地调动了学生的思维积极性和主动性，开发学生的非智力因素，从而有助于学生智力的提高和发展。

例如：在讲述初中数学中的“三视图、平面展开图”时，就可以利用空间图形的分、合、转、并、移、裁、展等多种形式的动画，再结合有关必要的解说和优美音乐，使学生能身临其境，产生立体效应，同时通过启发性提问，引导学生积极开展思维，自我挖掘各图形间的内在联系以及有关计算公式的推出。通过动 3

画模拟不但能彻底改变传统教学中的凭空想象、似有非有、难以理解之苦，同时还能充分激发学生学习能动主观性，化被动为主动，产生特有教学效果。

利用多媒体技术中的交互性特点，可编写出较强带有控制性的模拟演示，充分体现数学中的数形结合的动态效果。例如：在研究函数图像平移、旋转、对称等位置变化，方程、不等式与有关函数图像关系等时，可以通过带控制性的模拟演示，使学生深深体会各知识之间内在联系，激发学生的思维活动，有利于问题的探索和发现。

3.引导学生主动参与学习，突破课堂教学难点,增大教学容量，提高了课堂教学质量。

计算机具有高分辨率的作图功能，绘制的图形色彩丰富，形象逼真，能形成动态化和立体化的图形。计算机多媒体教学直观、生动、有趣，因而能化抽象为具体，创设开放式的教学情景，有利于学生对知识的理解和掌握，也有利于培养创新精神和实践能力。

利用多媒体工具开展数学实验研究，通过学生自主建构知识，能够有效地突破数学教学的难点。例如，在“函数的定义及其性质”一课中，教师设计制作了函数的两个构造实验。让学生利用“几何画板”自己动手“做”，完成意义建构，探究函数与图像之间的关系。这样利用有趣的数学实验引起学生的学习兴趣和探究欲望，有利于帮助学生更好的理解函数的定义及其性质，对突破本节课的难点也有帮助。

再如，“扇形的面积公式的推导”是教学的难点之一，其中渗透了很重要的数学思想—割补思想。运用常规教学不容易讲清楚，学生也很难听明白。运用计算机模拟辅助教学，把割与补的过程演示出来，教师讲得轻松，学生学得明白；又可增大课堂容量，提高学生学习的积极性，使教学效果大大提高。整节课充分发挥计算机的辅助功能，围绕着这个重点——扇形的面积公式（知识）和“割补法”（能力）展开，在熟悉割补法的同时，又掌握了扇形的面积公式的推导，达到了预定的教学目标。

另外，运用多媒体教学能够增加课堂容量。大信息量、大容量，节约了空间和时间，提高了教学效率。教师可先在电脑上准备好上课要用的例题、习题、图形，甚至于一些解题步骤，以便上课时选用。在此过程中可以大量地节省时间，腾出更多的时间让学生思考与练习，保证了教学中教师的精讲与学生的多练，达到提高教学质量的目的。

三、多媒体在初中数学课堂教学中的不足

4

1.课堂信息量大，学生不能完全接受

电脑能够储存大量的信息，这是电脑的一大优势。我们有的老师在制作课件时，惟恐体现不出这一优势，将与课文内容有关的所有材料事无巨细尽数罗列，而在使用时，受课时限制，只能加快单位时间传输的信息量，结果是五彩缤纷的多媒体包围学生，其琳琅满目的程度令人头昏目眩，无法进行知识由“同化”到“顺应”的转化，这直接影响到学生对所学内容的检索处理和理解接受。我曾听过一节课，整堂课教师没在黑板上写一个字，全部用电脑和实物投影仪展示，教师只动动鼠标，播放幼灯片，画面上数据纷飞，图案迭换，文字上下翻腾，所配音乐惊险刺激，然而在惊险刺激的背后，学生能记住理解多少知识呢？更何谈去反思和创造？

2.重演示内容，忽视师生交流，学生的主体地位没有充分体现

当前教改的基本原则要求学生由外部刺激的被动接受者转变为知识的主动探求者，要充分体现学生在学习过程中的主体地位。有些教师把教学过程设计在课件上，上课时不断地按要求操作鼠标，更换屏幕，学生只有被动接受，机械记忆，使课堂教学由“人灌”变成“机灌”，增大了注入的数量，生动活泼的课堂教学变成机械的电脑播放，很难反馈学生在思考过程中的错误信息。我们在教学过程中应时刻注意与学生的交流，如教师的精心设问，师生间的对话，学生间的议论，解题的演算过程，规范表达等。要始终坚持学生是学习的主体，但又不忽视教师的主导作用。教学中，需要用计算机讲清楚的才用计算机，能黑板讲清楚的问题，一般不去搬弄计算机。因此，在多媒体辅助教学中教师应注意多种教学手段的组合，充分发挥学生的积极性和主动性、创造性，让学生能根据自身反馈信息来形成对客观事件的认识和解决实际问题的方案，这样教师才能及时，准确地掌握学生认知中存在的问题，调整教学内容和方式，做到有的放矢，因材施教，提高教育、教学质量。

3.重视数学结果，忽视揭示过程、培养学生动手能力

大部分课件均以文字、图形、音像组成，设计了“复习引入”，“授课内容”，“巩固练习”，“小结作业”等教学各个环节，授课教师只需按既定的步骤一步步展示并讲解即可。如一些定理证明，公式推导等，这些内容制成多媒体课件用于课堂教学，对于学生来说，只见步骤（同书本类似），不见过程。显然，这不利于培养学生的分析问题、解决问题的能力，更不利于培养学生动手能力、实验操作能力。

4.缺乏系统性的板书

传统的教学是“一支粉笔”，一张“嘴”打天下，教师的板书既系统又美观，教师可演算，表述教学过程，即写即擦，随时更正，学生可板演，实验验证，教 5

师可以根据教学情况补充板书，方便、快捷、有效。因此，就目前而言，板书的上述优越性，电脑无法代替，但有些教师在应用多媒体辅助教学中忽视了板书的作用。有时整个一节课看不到老师写一个字，或黑板上杂乱无章地随手写几个字，学生根本无法记笔记。那么在多媒体辅助数学教学中如何用好黑板？板书什么内容？我认为，板书应保留一节课的主体结构，如课题、定义、定理及其证明过程，例题的分析，演算过程，学生对教学过程提出的新见解，新方法。板书应给学生清晰的知识线索，教师在板书时也给学生留下了思考问题的时间和空间，给学生留下反思，发问的时间和机会，这是过程性教学不可缺少的。

四、如何合理运用多媒体进行辅助教学，提高数学课堂教学质量

多媒体在课堂上的运用只有遵循教学本身规律，遵循因材施教原则，遵循效益性原则，才能真正发挥多媒体在数学课堂教学中的辅助作用，达到提初初中数学教学质量的目标，我认为应从以下几点着手：

1.数学课堂教学内容的选择性

多媒体作为先进的教学工具和教学手段，固然有其优点，但只有用到实处能发挥出来，并非所有的数学教学内容都适合，在教学中必须针对数学教材自身特点和学生的认知规律合理选用。

下面以初中数学的部分教学内容举例说明：

（1）在学习图形认识的初级阶段，图形概念还很薄弱的时。如果此时能多引导学生通过计算机观察实物、模型，并根据模型进行分析画图，对帮助学生理解图形有极大好处。

（2）当图形比较复杂难于观察理解时。例如，在证明“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理时，由于图形比较复杂，学生想象力较弱，需要借助于模型帮助学生理解这个定理的证明。又如“圆周角”这一部分，由于概念多，图形复杂，很多概念学生常常混淆不清，图形不清楚。这些地方都可以借助多媒体帮助学生弄清这些概念。

（3）当直观图难于画出或容易画错时。可以利用多媒体中的模型来消除学生的错觉。例如，在讲解“旋转”这一章节中，“中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心而且被对称中心所平分。探索关于原点对称的点的坐标关系等”等等操作性较强的问题时，教师可以利用多媒体演示作法过程，对学生理解和解决问题有很大帮助。

2.数学课堂教学过程的适时性

6

在课堂教学中，并非整个教学过程都用多媒体就能收到好的教学效果，应该遵循因材施教的原则，把握好该用时才用，用得恰到好处。有的教师过分追求全程效果，整节课从头到尾都使用课件，电脑的播放替代了教师的讲解，教师成了放映员，学生成了观众。譬如在数学例题讲解时，教师应充分调动学生思考问题的积极性，留给学生必要的思维空间和必要演算推理时间，不能因多媒体成为学生思考注意力的分散因素，因此一般不宜频频使用课件。事实上，并不是每个教学环节都需要计算机辅助教学，常常只是在一节课的某个阶段才使用电教手段。因此教师课前要周密思考，哪些内容、哪几个环节运用最适宜、最有效。一般来说，教材中难以用言语表达，学生缺少感性认识而难以领悟，而现场演示条件不足时，利用多媒体演示才能起到画龙点睛的作用，以激发学生的思维。

由以上分析可见，两种教学模式各有其优势与不足，不能简单地用后者去取代或否定前者，也不能反过来用前者去否定或取代后者。而是应当彼此取长补短，相辅相成，努力做到既发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用，既注意教师的教，又注意学生的学，把教师和学生两方面的主动性、积极性都调动起来。其最终目标是要通过这种新的教学思想来优化学习过程和学习效果，以便培养出具有高度创新能力的跨世纪新型人材。

总之，初中数学教学模式的不断创新改变，都是为了使学生对数学产生学习热情，端正学习态度及找到更好的学习方法。 初中数学教学模式应该进一步开发，将其应用到更多的教学中去。 让教师与学生间有更多的互动，活跃学生的思维，延伸学生进一步学习的目标，使课堂教学氛围更生动。

参考文献

1.《多媒体辅助数学教学——关于教师角色的探析》[J]. 天津：数学教育学报,2005(1).

2.《充分利用多媒体提升课堂教学效果》[J].北京：教育与职业,2006,4(下).94-105.

3.《数学学科教育学》［M］．北京：首都师范大学出版社，2001．54-103.

7

 

第二篇：本科数学毕业论文[1]

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用

摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde

目 录

第一章 引言 ………………………………………………1

第二章 预备知识……………………………………………2

2.1 定义 ………………………………………………2

2.2 行列式的性质 ……………………………………2

2.3

2.3.1

2.3.2

2.3.3

第三章

3.1 Vandermonde

3.2 Vandermonde

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.3 Vandermonde

3.4 Vandermonde

第四章

第五章

第六章

行列式计算中的几种基本方法……………………3 三角形法……………………………………………3 加边法或升级法……………………………………4 递推法或数学归纳法………………………………5 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6 行列式的证法 ………………………6 行列式的性质 ………………………7 推广的性质定理[7]：行列式 ………………………7 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9 Vandermonde行列式的偏导数[8]……………………9 行列式的翻转与变形 ………………11 行列式的应用 ………………………12 小结 …………………………………………………17 参考文献 ……………………………………………18 谢 辞 ………………………………………………19

引 言

在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用[1]。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用[2]。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中[3]。

本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。

2 预备知识

为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。

2.1 定义1

行列式是由n2个元素（数）?ij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成

(1)

的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记a1p1a2p2?anpn为,式中p1,p2,?,pn是1,2,…,n的一个排列。

②每项a1p1a2p2?anpn应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排

列(p1,p2,?,pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项?12?23?31排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以?12?23?31应带正号；而?12?21?33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。

2.2 行列式的性质[4]

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。

性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k

乘这个行列式。

性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。

性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。

性质8 设行列式D的第i行元素都可以表示成

a11a12

...

an2.........a1n...annD?bi1?ci1bi2?ci2...an1..bin?cin,

那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行元素是bi1,bi2,...bin，D2的第i行元素是ci1,ci2,...cin，而D1与D2的其他各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。

性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

2.3 行列式计算中的几种基本方法

2.3.1 三角形法

就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n级行列式

x

a

Dn?aaxaa...aa...ax...a.

...............

aaa...x.

分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第2,3,?,n列（行）

2，?，n?1列（行）加到第n列(行)）都加到第一列（行）（或第1，，则第1（或n）

列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解

x?(n?1)a...aax?(n?1)aa

x?(n?1)ax...ax?aDn??.........x?(n?1)aa...x......an?1 ?[x?(n?1)a](x?a)x?

2.3.2 加边法或升级法

例2 计算n级行列式

a1

b

Dn?b

...

bba2b...bbb......bbba3...b............an) (b?ai,i?1,2,...,n

分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b,b,?,b可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.

解

1

Dn升级0

?0

bb?b

bb?b

...?

bb

1b0?0

b0?0

??

b00?

0a1?1a1?b

a2?

b??1??

?1

a2?b?

?an?an?bb

?

bb

???a1?ban?b

ba1?b

b?

?

a2?b

?

an?b

?[1?b?

i?1

n

1

](a1?b)(a2?b)?(an?b)ai?b

2.3.3 递推法或数学归纳法

例3 计算n级行列式

2?1Dn?

0?00

?12?1?00

02?00

???

000?2??1

000??12.

?1?

分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第n行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解

?1?10

Dn按第1行展开2Dn?1?(?1)?(?1)

1?2

02?00

???

000?2

000??12

?2Dn?1?Dn?2

2?1?00

?1?

0?00

??1

直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得

Dn?Dn?1?1?Dn?2?2???D1?(n?1)?2?(n?1)?n?1.

3 行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式 定义2 我们把型如

1

a1

Vn?

...a1n?1

1a2...n?1a2

...1...an

=(ai?aj)

......1??j?i?n

n?1

...an

的行列式叫做Vandermonde行列式，其中

1?j?i?n

?

(ai?aj)表示ai1,ai2,...ain这n个数

2

码的所有可能（ai?aj， j?i）因子共cn项的乘积（n?2）。

3.1 Vandermonde行列式的证法 方法一、消元法[6]

证：从第n行开始，每一行加上前一行的?a1倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有

10

Vn=...

00

1a2?a1

...

.........

1an?1?a1

...

1an?a1

...

n?3n?3n?3a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)n?2n?2n?2a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)

a2?a1

...

an?1?a1an?a1

=1?

............

n?3n?3n?3

a2(a2?a1)...an(a?a)a(a?a)?1n?11nn1

n?2n?2n?2a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)

（按行列式首项展开得到）

1a2

1a3...

......

1...

1an

... (2) n?3an

n?2an

...an?1

?(a2?a1)...(an?1?a1)(an?a1)

?...

n?3a2n?2a2

n?3n?3a3...an?1n?2n?2a3...an?1

注意到行列式（2）是n?1阶Vandermonde行列式Vn?1，即已经将Vn用Vn?1表示出来。重复用上述方法对Vn?1进行求解，经过有限步可以得到：

Vn?1=（(a2?a1)…(an?1?a1)(an?a1)）?((a3?a2)...(an?1?a2)?an?a2?)…(an?an?1)

=

1?j?i?n

?

(ai?aj) 即证。

方法二：数学归纳法

证：当n?2时,V2?a2?a1成立。假设对于n?1阶成立，对于n阶有：首先要把Vn降阶，从第n行起后一行减去前一行的?a1倍，然后按第一行进行展开，就有Vn?(a2?a1)(a3?a1)...(aVVn=?(ai?aj)，其中?表示连n?a1)n?，于是就有1乘，i,j的取值为2?j?i?n，原命题得证。

方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。 3.2 Vandermonde行列式的性质 3.2.1 推广的性质定理[7]：行列式

1x1x12...x1k?1x1k?1...x1n

1x2

2

x2

............

1xn

2xn

V[k?1]=

......

k?1k?1x2...xnk?1k?1x2...xn

=

p1p2...pn?k

?

xp1xp2...xpn?k?V (k=0,1,2…n-1),

...

nx2

......

...

nxn

其中p1,p2...pn?k是1,2,...n中（n?k）个数的一个正序排列。

p1p2...pn?k

?

表示对所有

（n?k）阶排列求和。

证：（i）在行列式V[k?1](x1,x2...xn)中增补第（k?1）行和（n?1）列相应的元素考虑（n?1）阶Vandermonde行列式

1

x1

...

f(x)?V(x1,x2...xn,x)?x1k?1

x1k

x1k?1

...

x1n1x2...kx2..................1xn...kxn1x...xk?1xkxk?1...xn

k?1k?1x2...xnk?1k?1x2...xn...nx2...nxn

=(x2?x1)(x3?x1)...(xn?x1)(x?x1)?

(x3?x2)...(xn?x2)(x?x2)?

… … … …

(x?xn)

=(x?x1)(x?x2)...(x?xn)?

1?j?i?n?(x?x) (*) ij

(ii)由(*)式的两端分别计算多项式xk中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：xk的系数为行列式中该元素对应的代数余子式(?1)k?n?V[k?1]，(*)式右端，由多项式计算x1,x2...xn为f(x)?0的n个不同根。根据根与系数的关系，xk项的系数为

an?k?(?1)n?k?

p1,p2...pn?k?xp1xp2...xpn?k?1?j?i?n?(xi-xj)(k?0,1,2...n?1)，

其中p1,p2...pn?k是1，2…n中（n?k）个数的一个正序排列，

有（n?k）阶排列求和。 p1,p2...pn?k?表示对所

（iii）比较f(x)中xk项的系数，计算行列式V[k?1]，因为(*)式左右两端xk项系

数应该相等，所以

(?1)k?n?V[k?1]?(?1)n?k?

即 V[k?1]?

p1,p2...pn?k

?

xp1xp2...xpn?k?

1?j?i?n

?

(xi-xj)

(xi-xj) （**）

p1,p2...pn?k

?

xp1xp2...xpn?k?

1?j?i?n

?

V[k?1]?(?1)n?k? 定理得证。

p1,p2...pn?k

?

xp1xp2...xpn?k?V(k?0,1,2...n?1)

利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。特别，当

k?n时，令p0=1，（**）式即为Vandermonde行列式V。

例4 计算准Vandermonde行列式

1

a1

V[4]?

a12a14a15a16

解 由定理，n=6,k=3,所以 V[4]?

1a2

2a24a25a26a2

1a3

2a34a35a36a3

1a4

2a44a45a46a4

1a5

2a54a55a56a5

1a6

2a64a65a66a6

p1p2p3

?a

p1

ap2ap3?

1?j?i?6

?

(ai?aj)=

(a1a2a3?a1a2a4?...?a4a5a6)?

1?j?i?6

?

(ai?aj).

3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是x1,x2,?,xn中至少有两个相等.

3.2.3 Vandermonde行列式的偏导数[8]. 定理 F(x1,x2,?,xn)?

1?j?i?n

?

(xi?xj)，

由Vandermonde行列式的定义知，F(x1,x2,?xn)是x1,x2,?,xn的n元函数.

例5 设a1,a2,?,an是n个两两互异的数，证明对任意n个数b1,b2,?,bn，存在唯一的次数小于n的多项式

L(x)??bi?

i?1j?inx?ajai?aj，

使得L(ai)?bi，1?i?n.

证 从定义容易看出L(x)的次数小于n，且

L(ai)?bi，

故只需证明唯一性即可.

设f(x)?c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1满足

f(ai)?bi，1?i?n，即

?c0?a1c1?a12c2???a1n?1cn?1?b1?2n?1?c0?a2c1?a2c2???a2cn?1?b2， ???

?c?ac?a2c???an?1c?bnn?1n?0n1n2

这个关于 c0,c1,?,cn?1的线性方程组系数行列式为

a1

a2

??

ana12?a1n?12n?1a2?a2??(ai?aj)?0， ??1?j?i?n2n?1an?an

故c0,c1,?,cn?1是唯一的，必须

f(x)?L(x).

这就是有名的拉格朗日插值公式。

例6 设f1(x),f2(x),?,fn(x)是n?1个复系数多项式，满足 1?x???xn?1f1(xn)?xf2(xn)???xn?2fn?1(xn). 证明： f1(1)?f2(1)???fn?1(1)?0.

证

w?cos

：设

f1(

n

x?)

n

x?(f?2?2

)x?n?

n

1

n

?x))?(?x?n?1xp((fx1，?x取)

2?2?

?isin，分别以x?w,w2,?,wn?1代入，可得 nn

?f1(1)?wf2(1)???wn?2fn?1(1)?0?22(n?2)

fn?1(1)?0?f1(1)?wf2(1)???w

?，这个关于f1(1),f2(1),?,fn?1(1)的齐次线

??

?f(1)?wn?1f(1)???w(n?1)(n?2)f(1)?0

2n?1?1性方程组的系数行列式为

?

ww2?

??

wn?2w2(n?2)

?

?0

wn?1?w(n?1)(n?2)

，

因此f1(1)?f2(1)???fn?1(1)?. 0

3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形.

3.3.1 将Vandermonde行列式逆时针旋转90?，得

?xn?x1

n?1

?xn

n?1

xn?1?xn?1

??x1n?1

?(?1)

n(n?1)

2

Dn

.

3.3.2将Vandermonde行列式顺时针旋转90?，得

x1n?1?x11

n?1n(n?1)x2?x21

?(?1)2Dn

???n?1xn?xn1

.

3.3.3 将Vandermonde行列式旋转180?，得

n?1xn

?n?1xn?x1n?1?1

??

xn

1x?1

1??x1

1?Dn.

3．4 Vandermonde行列式的应用

3.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用.

例7 设a1,a2,?an,是互不相同的数，求解下面的方程组

?x1?x2???xn?1?ax?ax???ax?b22nn?11???

?an?1x?an?1x???an?1x?bn?1

22nn?11.

解： 系数行列式为

1

a1D??

a1n?11a2???1an??(ai?aj) ?1?j?i?nn?1n?1a2?an

Dk?

xk?1?j?i?n?(ai?aj)，其中ak?b，所以 Dk(b?a1)?(b?ak?1)(ak?1?b)?(an?b)?D(ak?1)?(ak?ak?1)(ak?1?ak)?(an?ak)，k?1,2,?,n.

3.4.2 如何利用Vandermonde行列式计算行列式[6]

法一 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde行列式。

例8 计算

11?1222?2n

Dn?

???nn2?nn

解： Dn?n!

?11?1222?2n?1

???nn2?nn?1

?n!(2?1)(3?1)?(n?1)?(3?2)(4?2)?(n?2)?[n?(n?1)] ?n!?(n?1)!?(n?2)!?2!?1!.

法二 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式。 例9 计算(n?1)阶行列式

a1nna2?

nan?1

Dn?1?

a1n?1b1

n?1a2b2?n?1an?1bn?1

a1n?2b12

n?22a2b2

?

?

a1b1n?1

n?1a2b2b1nnb2?

nbn?1

??

n?22n?1an?an?1bn?1bn?1?1

，其中bi?0，ai?0，

（i?1,2,?,n?1）.

解：提取Dn?1各行的公因式，得到

Dn?1

b1

a1b2nn

?a1na2?an?a2

??bn

an

b1n?1

)a1b?(2)n?1

a2?b?(n)n?1

an?(

（Vandermonde行列式）

上式右端行列式是以新元素行列式，所以

bb1b2

,,?,n?1为列元素的n?1 阶Vandermondea1a2an?1

nnn

Dn?1 =a1a2?an?

1?j?i?n?1

?

(

bibj

?). aiaj

法三 如n阶行列式Dn的第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且Dn中含有n个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将Dn的第i行（列）乘以（?1）加到（i?1）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式。 例10 计算行列式

1

11?sin?2

sin?2?sin2?2sin2?2?sin3?2

11?sin?3

sin?3?sin2?3sin2?3?sin3?3

1

1?sin?4

. 2

sin?4?sin?4sin2?4?sin3?4

△4=

1?sin?1sin?1?sin2?1sin2?1?sin3?12

解：在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到

1

sin?1

△4=

sin?1?sin2?1

sin2?1?sin3?12

1sin?2

sin?2?sin2?2sin2?2?sin3?2

1sin?3

sin?3?sin2?3sin2?3?sin3?3

1sin?4

sin?4?sin2?4sin2?4?sin3?4

在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到

1

1sin?2sin2?2sin3?2

1sin?3sin2?3sin3?3

1

sin?4

=(sin?i?sin?j).

sin2?41??j?i?4sin3?4

△4=

sin?1

sin2?1sin3?12

法四 各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde行列式。下面用加边法。 例11 （缺行Vandermonde行列式[1]）

1x1?

Dn,i?x1i?1

x1i?1?x1n

1x2?

??

1xn?

i?1i?1x2?xni?1i?1x2?xn

?

nx2

??

nxn

.

解：注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于xj的幂跳过xij，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde行列式，故令

1x1

Vn?1(x1,x2,?,xn,z)?

?x1i?x1n

1x2?ix2?

?11z?zi?zn

?xn?i

?xn

?

nnx2?xn

=(z?x1)(z?x2)?(z?xn)?Vn(x1,x2,?,xn) =Vn(x1,x2,?,xn)??(?1)n?i?n?izi.

i?0n

另一方面，对Vn?1(x1,x2,?,xn,z)按最后一列进行Laplace展开，可知zi的代数余子式是Dn,i?(?1)n?i.因此视Vn?1(x1,x2,?,xn,z)为z的多项式，则Dn,i?(?1)n?i应是zi的系数，故

Dn,i?(?1)n?i?（z的系数）??n?iVn(x1,x2,?,xn)

??n?i

注1

缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermonde行列式。

i

1?j?i?n

?(x

i

?xj).

注2

① 利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超Vandermonde行列式，及其他行列式。

② 注意当xk?xi时，Dn,i?0，故Dn,i也含因子xk?xi。特别，知Dn,i?Vn(x1,x2,?,xn)?f(x1,x2,?,xn).因Dn,i和Vn(x1,x2,?,xn)都是齐次及对称多项式[12]，故f(x1,x2,?,xn)应是n?i次齐次对称多项式。按xn,xn?1,?,x1的次序排列时，Dn,i的首项为xnxn?1?xi?1`（Vn的首项），故知f的首项为xnxn?1?xi?1`，由此可得到f??n?i.

法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式性质将这一行（列）元素化为全是1的元素。

abc

b2c2. 例12 证明△3=a2

b?cc?aa?b

证：将△3的第1行加到第3行上，得到

abc11

b

b21c c2△3=a2b2c2=(a?b?c)aa?b?ca?b?ca?b?ca2

?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b).

3.4.3 Vandermonde行列式在多项式理论中的应用[8]

例13 设多项式f(x)??1xh1??2xh2????nxhn，?i?0，i?1,2,?,n；ki?kj,i?j，i,j?{1,2,?,n}，则f(x)不可能有非零且重数大于n?1的根。 证明：反设??0是f(x)的重数大于n?1的根，则f(?)?0,f'(?),?,f(n?1)(?)?0，

进而f(?)?0,?f'(?),?,?n?1f(n?1)(?)?0即

?a1?h1?a2?h2???an?hn?0?hhh

?k1a1?1?k2a2?2???knan?n?0?hh

?k1(k1?1)?(k1?n?2)a1?1?k2(k2?1)?(k2?n?2)a2?2????hn

?kn(kn?1)?(kn?n?2)an??0 （3） 把（3）看作以a1?h1，a2?h2，?，an?hn为未知量的齐次线性方程组，则（3）的系数行列式为

1k1

k1(k1?1)?

1k2

k2(k2?1)?

????

1kn

kn(kn?1)?

k1(k1?1)?(k1?n?2)k2(k2?1)?(k2?n?2)?kn(kn?1)?(kn?n?2)1?k1?k1n?1

1k2?

???

1

kn

??(ki?kj)?0. ?1?j?i?n

n?1n?1

k2?kn

故方程组（3）只有零解，从而ai?h?0,i?1,2,?,n，因此必须??0，这与??0矛盾，故f(x) 没有非零且重数大于n?1的根。 4 小结

以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步系统的阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。 参考文献:

[1]张贤科，许甫华.高等代数[M].清华大学出版社，1998 [2]卢刚，冯翠莲.线性代数[M].北京大学出版社，2006.6

[3]Bernard Kolman,David R.Hill.Linear Algebra, High Education Press，2005,7. [4]樊恽，郑延履，刘合国.线性代数学习指导[M].北京:科学出版社，2003.2

[5]万勇，李兵.线性代数[M].上海：复旦大学出版社，2006.8

[6]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2000.3

[7]苏醒侨，卢陈辉.线性代数.冶金工业出版社，2004.9

[8]王新长， Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J]，井冈山师范学院学报（自然科学），20xx年23（5），54-58.

[9]Linear Algebra and It’s Applications，David C.Lay[美]沈复兴，傅莺莺，莫单玉等译.人民邮电出版社.2007.7

[10]宴林，范德蒙行列式的应用[J],文山师范高等专科学校学报，2001，13（2），55-57.

[11]刘建中，范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用[J],河北大学学报（自然科学版），2000，20（1），84-85.

[12]张禾瑞, 高等代数[M],北京：高等教育出版社，1989，7.

[13]Chongying Dong,Fu-an Li. Recent Developments in Algebra and Related Areas.High Education Press,2009.1.