数列知识点总结和训练题 

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.

3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.

4.数列的前项和与通项的公式①；  ②.

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何,均有.

②递减数列:对于任何,均有.

③摆动数列:例如:

④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数使.

⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.

  等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数

称为等差数列的公差.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式，为首项，为公差.

⑵前项和公式或.

3.等差中项

如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.

即：是与的等差中项，，成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等差数列；

⑵中项法：()是等差数列.

5.等差数列的常用性质

⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.

⑶；(,是常数)；(,是常数，)

⑷若，则；

⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；

⑹当项数为，则；

 当项数为，则.

⑺若等差数列的前项和，则、、、是等差数列.

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式：，为首项，为公比 .

⑵前项和公式：①当时，

②当时，.

3.等比中项

如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.

即：是与的等差中项，，成等差数列.

4.等比数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等比数列；

⑵中项法：()且是等比数列.

5.等比数列的常用性质

⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.

⑶

⑷若，则；

⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.

二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知为等差数列的前项和，，求；
2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.

2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知为等差数列的前项和，，则           ；

2、设、分别是等差数列、的前项和，，则      .

3、设是等差数列的前n项和，若（    ）

4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（    ）

5、已知为等差数列的前项和，，则         .

6、在正项等比数列中，，则_______。

7、已知数列是等差数列，若  ,且,则_________。

8、已知为等比数列前项和，，，则        .

9、在等差数列中，若，则的值为（    ）

10、在等比数列中，已知，，则       .

11、已知为等差数列，，则         

12、等差数列中，已知

B、求数列通项公式

1） 给出前几项，求通项公式

3，-33,333，-3333,33333……

2）给出前n项和求通项公式

1、⑴；  ⑵.

2、设数列满足，求数列的通项公式

3）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

例：已知数列中，，求数列的通项公式；

b、已知关系式，可利用迭乘法.

例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；

c、构造新数列

1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解

例、已知数列中，，求数列的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解

例、，求数列的通项公式.

3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解

例、已知数列中，，求数列的通项公式.

4°递推关系形如",两边同除以

例1、已知数列中，，求数列的通项公式.

例2、数列中，，求数列的通项公式.

d、给出关于和的关系

例1、设数列的前项和为，已知，设，

求数列的通项公式．

例2、设是数列的前项和，，.

⑴求的通项；

⑵设，求数列的前项和.

C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.

例2、已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n·S_n－1=0（n≥2），a₁=.

      求证：{}是等差数列；

2）证明数列等比

例1、设{a_n}是等差数列，b_n＝，求证：数列{b_n}是等比数列；

例2、数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}中，若a_n+S_n=n.设c_n=a_n－1，求证：数列{c_n}是等比数列；

例3、已知为数列的前项和，，.

⑴设数列中，，求证：是等比数列；

⑵设数列中，，求证：是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.

例4、设为数列的前项和，已知

⑴证明：当时，是等比数列；

⑵求的通项公式

例5、已知数列满足

⑴证明：数列是等比数列；

⑵求数列的通项公式；

⑶若数列满足证明是等差数列.

D、求数列的前n项和

基本方法：

1）公式法，

2）拆解求和法.

例1、求数列的前项和.

例2、求数列的前项和.

例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；

例1、求和：S=1+

例2、求和：.

3）倒序相加法，

例、设，求：

⑴；

⑵

4）错位相减法，

例、若数列的通项，求此数列的前项和.

5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n－n²，求数列{|a_n|}的前n项和T_n.

E、数列单调性最值问题

例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时，      .

例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；

例3、数列中，，求取最小值时的值.

例4、数列中，，求数列的最大项和最小项.

例5、设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

例6、已知为数列的前项和，，.

⑴求数列的通项公式；

⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

例7、非等比数列中，前n项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

F、有关数列的实际问题

例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、20##年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从20##年开始,计划每年将非绿化面积的

8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.

⑴设该县的总面积为1,20##年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示

；

⑵求数列的第项；

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)