怎样学好线性代数？

感觉概念好多，非常讨厌。

满意答案：

线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易.

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数

上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

 

第二篇：线性代数学习总结

数学四 线 性 代 数 总 结

一、 行列式

1．n阶行列式的概念 a11 a12 …… a1n (1) n阶行列式的递归定义 a21 a22 …… a2n

有n ^ 2个数组成的n阶列式是一个算式，当 ……………… n=1时 an1 an2 …… ann

la11l=a11。当n≥2时

n

D=a11A11 + a12A12 + … + a1A1n=∑a1j A1j j=1

其中A1j=( -1 ) ^ 1+ j M1j ，为a1j的代数余子式。 a21… a2j-1 a2j+1… a2n a31… a3j-1 a3j+1… a3n

为a1j的余子式。 …………………… an1… anj-2 an j+1… ann

(2) n阶行列式的逆序定义

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

∑( -1 )^σ(i1,i2…in) a1i1 a2i2…anin ………………

an1 an2 …… ann （i1,i2…in）

2．行列式的性质

性质一 行列式的行和列互换后，行列式的值不变。

性质二 行列式的两行（或两列）互换，行列式改变符号。

推论 如果行列式中有两行（或列）的对应元素相同，则此行列式为零。 性质三 用数k乘以行列式的一行（列），等于以数k乘以此行列式。

推论 如果行列式某行（列）的所有元素的公因子，则公因子可以提到行 列式外面。

推论 如果行列式有两行（或两列）的对应元素成比列，则行列式等于零。 推论 如果行列式中以行（或一列）全为零，则行列式的值必为零。

性质四 如果行列式中的某行（或某列）均为两项之和，则行列式等于两个行列式之和。

推论 如果将行列式某一行（或某一列）的每一个元素都写成M（M≥2）个元素的和，则此行列式可以写成M个行列式的和。

性质五 将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

性质六 如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分别乘一常数后各对应元素之和，则行列式的值为零。

性质七 行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零。

ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a1nAjn = 0 ( i≠j )

3．拉普拉斯展开式

行列式按k行（或列）展开，则 c

D = ∑ MiAi ( Mi为k阶子式，Ai为k阶代数余子式)

i=1

4． 利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况

a11 … a1n 0 … 0 ………………………… a11 … a1n an1 … ann 0 … 0 ………… c11 … c1n b11 … b1n an1 … ann …………………………

cm1 …cmn bm1 …bmn

0 … 0 a11 … a1n ………………………… … ann =（ -1 ）^(mn) 0 … 0 a n1

c11 … c1n b11 … b1n ………………………… cm1…cmn bm1 …bmn

5． 重要公式及结论

b11 … b1n …………… bm1 …bmn

a11 … a1n …………… an1 … ann b11 … b1n …………… bm1 …bmn

(1)如果A,B均为n阶矩阵，则lABl = lAllBl，但AB≠BA。 (2) 如果A,B均为n阶矩阵，则lA±Bl ≠ lAl±lBl。 (3) 如果A为n阶矩阵，则lkAl = k^n lAl。 (4) 如果A为n阶矩阵，则lAl = lA′l

(5) 如果A为n阶可逆矩阵，则lAˉ；ˉ l =k^n / lAl 。 (6) 如果A*为A的伴随矩阵，则lA*l = lAl^(n-1)

lAl （ i = j ）

(7) 如果A为n阶矩阵,则ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a

0 （ i≠j ）

A C A O O A

(8) O B = lAl lBl ；（ -1 ）^(mn) lAl C B B O

O A

B C

=（ -1 ）^(mn) lAl lBl。

(9) a11 X a11 O a22 a22

= = O ann X ann

=a11 a22 … ann 。

O a1n O a1n 2n-1 = a 2n-1 = a an1 O an1 X

a11 O a22

O ann

X a1n a2n-1

an1 O

=( -1 ) ^ [n (n+1) / 2] a1n a2n-1 … an1 。 (10) 范德蒙行列式

1 1 1 … 1

a1 a2 a3 … an

a1^2 a2^2 a3^2 … an^2 = ∏ ( aj – ai ) 其中 ( ai≠aj) (i≠j) …………………………… 1≤i≤j≤n

a1^n-1 a2^n-1 a3^n-1 … an^n-1

6． 行列式的求值方法

（1）一般行列式的求值方法

将行列式化为上、下三角行列式；

将行列式中一列的其余元素化为零，在按该列展开，不断降阶计算； （2）n阶行列式的求值方法

行列式中较多元素是零时，利用行列式的定义计算；

当各行（或列）诸元素之和相等时，可将各行（或列）加到同一行（或列）中去； 各行（或列）加减同一行（或列）的倍数，适用于可变为三角形式或提取公因子的； 观察一次因式法； 升阶法； 降阶法； 拆项法；

递归法（归纳法）；