1.     注意矩阵之间常见的几种关系：

（1）       可交换

（2）       等价

（3）       相似

（4）       合同

其中，等价与相似的符号都是“～”，但他们含义不同，需注意。

另外，（2）（3）（4）都具有反身性，对称性和传递性。

                  

2.     注意常见的几种矩阵：

（1）       对称矩阵与反对称矩阵

（2）       非奇异矩阵与奇异矩阵

（3）       满秩矩阵与降秩矩阵

（4）       可逆矩阵

（5）       单位矩阵

（6）       对角矩阵

（7）       数量矩阵

3.     正交矩阵既要是正交的也要是规范的，但

   正交向量组仅需要是正交的即可

4.       含参数的线性方程组（方程数等于未知量个数），求参数为何值时，有唯一解，无解，无穷解的做法：

（1）系数矩阵的行列式不为零时，有唯一解

（2）系数矩阵的行列式为零时，有无穷解或无解。

此时解出参数值，带入系数矩阵求秩，即可判断出何时无解，何时有无穷解。

5.  证明α1, α2, ……αn  线性无关的标准思路：

        令a1α1+a2α2+ ……+anαn=0,  再证明  a1= a2=……=an=0

6. 求正交矩阵P将矩阵A对角化的方法：

（1）求出A的各特征值

（2）求个特征值对应的特征向量

（3）若某特征值仅对应一个特征向量，则将它单位化；

若某特征值对应多个特征向量，则将这一组向量用施密特正交法正交化，再单位化

（4）将（3）中求得的各向量组合在一起即为P

另外，若题目只说求矩阵P将矩阵A对角化，并未要求P是正交矩阵，则做完（2）后，直接将各个特征向量组合在一起即可，（3）（4）步就不用做了

7.  求正交变换化二次型为标准型的方法：

   先将二次型对应的矩阵写出，之后的做法与将矩阵对角化的方法相似

 

第二篇：线代总结

20xx年X1 特征值，特征向量，线性无关

X2 伴随矩阵，初等变换（初等矩阵）

T1 矩阵行列式，运用矩阵乘法公式 B=AX，则{B}={A}{X}

F1（1）已知二次型的秩，求参数A。

（2）运用正交变换，化为标准形（求特征值，特征向量，构造正交矩阵）

（3）求方程的解（可用配方法）

F2 已知ＡＢ＝Ｏ，讨论ＡＸ＝Ｏ的通解（ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ，Ｂ的列向量

为ＡＸ＝Ｏ的通解）。

20xx年X1 线性无关 线性相关

X2 矩阵变换的初等矩阵表示（左行右列），矩阵的等价性

T1 矩阵的行列式ＢＡ＝B+2E，已知A，求B

F1 （1） 线性方程组系数中含有参数，验证秩为2.

（2）求解参数以及方程组的解。

F2 实对称矩阵，求解特征值，特征向量。构造正交矩阵Q进行对角化。

20xx年X1 已知线性无关，验证线性相关。

X2 合同，相似的条件。（实对称矩阵A和B相似，则A和B合同）

T1 已知A，求A的三次方构成的矩阵的秩。

F1 已知两个方程组有公共解，求参数a和所有公共解。

F2 已知A的特征值，B为A的函数，求B的特征值，并求B的特征向量和矩阵B

本身。（A为实对称矩阵，则B也为实对称矩阵。实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正

交）。

20xx年X1 判断矩阵E+A（E-A）的可逆性

X2 利用图形推出二次型的标准形式，判断正特征值的个数。

T1 求解特征值

F1 判断秩的大小，运用线性相关进一步讨论秩的大小。

F2（1）运用数学归纳法（迭代形式），讨论n阶矩阵的行列式

（2）方程组有唯一解，判断参数，并求解X1.（克拉莫法则）

（3）方程组有无穷多解，判断参数，并求通解（注意解的结构）

20xx年X1 两组机之间的过渡矩阵A=BX

X2 讨论分块矩阵（副对角线）的伴随矩阵

T1 求解特征值

F1 （1）求解非齐次线性方程组的通解

（2）判断三个三维向量的线性无关性

F2 （1）二次型中带有参数，求所有的特征值

（2）已知规范形（即正负惯性指数），确定参数A。

20xx年X1 考察矩阵的秩

X2求解A的相似矩阵（利用实对称矩阵A的特征值）

T1 利用向量空间的维数确定向量中的参数

F1 （1）已知方程解的个数，求解系数矩阵中的参数

( 2 )求解非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ的通解

F2 （１）已知Ａ的特征值和特征向量，反求矩阵Ａ。

（２）验证A+ E的正定性（利用特征值）

20xx年X1 考察初等变换的矩阵表示形式

X2 考察矩阵A和伴随矩阵之间秩的关系，进而讨论基础解系。

T1 已知标准型（即特征值），利用矩阵特征值和行列式之间的关系，反求矩阵中的参数。

F1（1）已知向量组A不能由向量组B线性表示，反求参数

（2）求解两个向量组A和B的线性表示。

F2 （1）求解实对称矩阵A的特征值和特征向量

(2 )利用特征值和特征向量，反求矩阵A。

20xx年X1 考察三个三维向量的线性相关性

X2 考察矩阵的相似性

T1 求解矩阵A-B的秩（利用相似性）

F1（1）计算四阶矩阵的行列式（带有参数A）

（2）非齐次线性方程组无穷多解，反求参数，并求通解

F2 （1）已知二次型的秩，反求参数A

（2）求正交变换，化为标准形。

20xx年X1已知矩阵方程ＡＢ＝Ｃ，考察向量组的等价性

X2两矩阵相似的充要条件

T1已知代数余子式及其关系，求矩阵Ａ的行列式

F1矩阵方程AC-CA=B，确定Ａ，Ｂ矩阵中的参数，并求矩阵Ｃ。

F2 （1） 求二次型的矩阵（对称）表示形式

（2）验证二次型在正交变换下的标准形（运用特征值）。