实验**  弦线上的驻波实验

[引言]

弦线上波的传播规律的研究是力学中的重要内容。本实验重点在于观测弦线上形成的驻波，并用实验确定弦振动时，驻波波长与张力的关系，驻波波长与振动频率的关系，以及驻波波长与弦线密度的关系。常用的实验方法有两种：一是采用振动频率固定的电动音叉，通过改变弦线长度或张力，形成稳定驻波；二是采用频率连续可调的振动体，改变弦长或张力，形成稳定驻波从而验证弦线上驻波的振动规律。掌握驻波原理测量横波波长的方法。这种方法不仅在力学中有重要应用，在声学、无线电学和光学等学科的实验中都有许多应用。

[预习提示]

1． 波的叠加原理。

2． 驻波的形成原理。

3． 弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？

[实验目的]

1. 了解波在弦线上的传播及弦波形成的条件。

2．测量拉紧弦不同弦长的共振频率。

3. 测量弦线的密度。

4. 测量弦振动时波的传播速度。

[实验仪器]

DH4618型弦振动研究实验仪，DH4618型弦振动实验仪信号源，双踪示波器

 [实验原理]

由波动理论知道，两列振幅和频率均相同、振动方向一致且传播方向相反的简谐波叠加后会产生驻波。合成振幅为零的点称为波节，合成振幅最大的点称为波腹。相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。在弦乐器中，沿弦线传播的行波在乐器一端被反射，反射波与入射波相互叠加，形成驻波，如图**-1所示。

图**-1 驻波示意图

设沿轴正方向传播的波为入射波，沿轴负方向传播的波为反射波，则它们的波动方程可以写为。其中为简谐波的振幅，为频率，为波长，为弦线上质点的位置坐标。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

                  （**-1）

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为，只与质点的位置有关，与时间无关。

由于波节处振幅为零，可得波节的位置为

，                      （**-2）

因此相邻两波节之间的距离为。波腹处的质点振幅为最大，可得波腹的位置为

                                  （**-3）

因此相邻的波腹间的距离也是半个波长。

由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以只有当弦长等于半波长的整数倍时，即 （），才能形成驻波。由此可得沿弦线传播的横波波长为。根据波动理论，弦线横波的传播速度为，即，其中为弦线中张力，为弦线单位长度的质量，即弦线质量的线密度。由可得横波波速为。如果已知线密度和张力，则可得频率为

                                 （**-4）

　　以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。在实验中可以看到，接收波形往往并不是正弦波，而是带有变形，或没有规律振动，或不稳定性振动，这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。

[仪器描述]

实验仪器由测试架和信号源组成，测试架的结构如图**-2所示。

 

  1—调节螺杆   2—圆柱螺母    3—驱动传感器  4—弦线    5—接收传感器

6—支撑板     7—张力杆      8—砝码        9—信号源  10—示波器

图**-2 实验装置图

在研究弦振动实验时，需要功率信号源对弦线进行激励驱动，使其产生驻波。

[实验内容]

1.  实验前准备

    （1）信号源预热。打开信号源的电源开关，信号源通电。调节频率，频率表应有相应的频率指示。用示波器观察“波形”端，应有相应的正弦波；调节“幅度”旋钮，波形的幅度产生变化，当幅度调节至最大时，波形的峰-峰值应≥10V，这时仪器已基本正常，再通电预热10min左右，即可进行弦振动实验。

    （2）选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

（3）把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外，如图**-２；放置好驱动线圈和接收线圈，按图**-2所示连接实验装置。

（4）将砝码挂到张力杆上，然后旋动调节螺杆，使张力杆水平，如图**-3所示。利用杠杆原理，质量为“M”的重物若挂在张力杆的挂钩槽3处，弦的拉紧度为3M，如图**-3（a）；若挂在张力杆的挂钩槽4处，则弦紧度为4M，如图**-3（b），以此类推。

      

（a）张力3M                  （b）张力4M

图 **-3  张力大小设置

2. 实验内容

（1）张力、线密度和弦长一定，改变驱动频率，观察驻波现象和驻波波形，测量共振频率。

① 放置两个劈尖至合适的间距，装上弦线，挂上砝码，旋动调节螺杆，使杠杆水平。驱动线圈放置在距离劈尖5～10cm处，接收线圈放在弦线中心位置。

② 驱动信号的频率调至最小，调节信号幅度，调节示波器的通道增益为10mV/div。

③ 缓慢升高驱动信号频率，观察波形的改变。同时观察弦线，当弦的振动幅度最大时，示波器中的波形振幅最大，该频率就是共振频率。

④ 记录共振频率、线密度、弦长、张力、弦线的波腹波节的位置和个数。

⑤ 增加输出频率，连续找出几个共振频率（3~5个）并记录。

（2）张力和线密度一定，改变弦长，测量共振频率。

保持弦线张力不变，移动劈尖至不同的位置改变弦长，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）弦长和线密度一定，改变张力，测量共振频率和横波在弦上的传播速度。

保持两劈尖间距不变，改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的线密度，弦长，张力等参数。

（4）张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。

保持两劈尖间距及弦线张力皆不变，换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的弦长，张力等参数。

3．选做内容

⑴聆听音阶高低及与频率的关系

① 对照表**-1，选定一个频率，选择合适的张力，通过移动劈尖的位置，改变弦长，在弦线上形成驻波，聆听声音的音调和音色。

② 依次选择其他频率，聆听声音的变化。

③ 换用不同的弦线，重复以上步骤。

⑵探究弦线的非线性振动

① 选择一定的张力、线密度、弦长和驱动频率，在示波器上观察驻波波形。

② 移动接收传感器的位置，注意驻波波形有无变化。

③ 移动接收传感器的位置，注意驻波频率有无变化。

 [注意事项]

    1．仪器的“激振”输出为功率信号，应防止短路。

    2．仪器的频率稳定度和显示准确度都较高，故使用前应预热。

3. 仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。

4. 弦线应可靠挂放，砝码的悬挂应动作轻小，以免使弦线崩断而发生事故。

[数据处理]

1．张力和弦长一定时，计算共振频率理论值，与实验得到的共振频率相比较，分析两者存在差异的原因。

2．张力和线密度一定时，作弦长与共振频率的关系图。

3．弦长和线密度一定时，作张力与共振频率的关系图。

根据计算波速理论值，与作比较，分析存在差别的原因。作张力与波速的关系图。

4、弦长和张力一定时，计算弦线的共振频率和线密度。

已知弦线的静态线密度（由天平秤称出单位长度的弦线的质量）为：弦线1：0.562g/m；弦线2：1.030g/m；弦线3：1.515g/m。比较测量所得的线密度与上述静态线密度有无差别，说明原因。

[讨论及拓展]

1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？

2、换用不同弦线后，共振频率有何变化？存在什么关系？

3、如果弦线有弯曲或者不是均匀的，对共振频率和驻波有何影响？

4、相同的驻波频率时，不同的弦线产生的声音是否相同？

5、试用本实验的内容阐述吉它的工作原理。

*6、移动接收传感器至不同位置时，弦线的振动波形有何变化？是否依然为正弦波？试分析原因。

[附录] 乐理分析

常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。

振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现的声音音色是不同的，而振动的频率则体现音调的高低。 Hz的音在音乐里用字母c¹表示。其相应的音阶表示为：c、d、e、f、g、a、b，在将c音唱成“do”时定为c调。人声及器乐中最富有表现力的频率范围约为60Hz~1000Hz。c调中7个基本音的频率，以“do”音的频率 Hz为基准，按十二平均律*的分法，其它各音的频率为其倍数，其倍数值如表**-1所示：

表 **-1

*注：常用的音乐律制有五度相生律、纯律（自然律）和十二平均律三种，所对应的频率是不同的。五度相生律是根据纯五度定律的，因此在音的先后结合上自然协调，适用于单音音乐。纯律是根据自然三和弦来定律的，因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐，适用于多声音乐。十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在乐器的演奏和制造上有着许多优点，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的，例如钢琴，竖琴，吉它等。

金属弦线形成驻波后，产生一定的振幅，从而发出对应频率的声音。如果将弦线驱动频率设置为表**-1所定的值，通过调节弦线的张力或长度，形成驻波，就能听到与音阶对应的频率了（当然，这时候的环境噪音要小些）。这样做的特点是能产生准确的音调，有助于我们对音阶的判断和理解。

[参考文献]

1张三慧主编 大学物理学 第四册 波动与光学  清华大学出版社2003.78?83

2贾玉润等。大学物理实验。上海：复旦大学出版社，1987.130?132

 

第二篇：10.7 驻波

10.7  驻波

教学目的

1．知道驻波现象及什么是波节、波腹，驻波是一种特殊的干涉现象．

2．理解驻波的形成过程，理解驻波与行波的区别，理解空气柱共鸣的条件．

引入新课

一列波在向前传播的途中遇到障碍物或者两种介质的分界面时，会发生反射，如果反射波和原来向前传播的波相互叠加，会发生什么现象呢？

一、驻波

1、驻波的演示:

如课本图10－31所示，把弦线的一端A固定在电磁打点计时器的振针上，另一端跨过定滑轮拴一个砝码盘，盘上放砝码，将弦线拉平．在靠近定滑轮的B处，用一个尖劈把弦线支起来．接通电磁打点计时器的电源，振针振动时，有一列波向定滑轮的一侧传播，并在B处发生反射．改变尖劈的位置，来调节AB的长度，当尖劈调到某适当位置时，可以看到，弦线会分段振动起来．

2、几个概念：

①波节——弦线上有些点始终是静止不动的，这些点叫做波节．

波腹——在波节和波节之间的那段弦线上，各质点以相同的频率、相同的步调振动，但振幅不同，振幅最大的那些点叫做波腹．

在相邻的两段弦线上，质点的振动方向是相反的．相邻的两个波节(或波腹)之间的距离等于半个波长，即等于λ/2．

②驻波——波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，这种现象叫做驻波．波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。"驻"字的第一层含义。

行波——驻波跟前面讲过的波形向前传播的那种波显然是不同的，相对于驻波来说波形向前传播的那种波叫行波．

     ③驻波与行波的区别

A物理意义不同：驻波是两列波的特殊干涉现象，行波是一列波在介质中的传播．

B质点振动不同：相邻波节间质点运动方向一致．波节两侧质点振动方向总相反．

C波形不同：波形向前传播的是行波，波形不向任何方向传播的是驻波．

3、驻波的形成

两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时形成的叠加波。

①两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加，形成驻波．

②振幅相同、频率相同波的叠加．

三、驻波的特点

课本10－33中用虚线表示两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同波的叠加，用实线表示这两列波叠加后形成的合成波．图中画出了每隔T/8周期波形的变化情况．由图可以看出，合成波在波节的位置(图中的“·”表示)，位移始终为零．在两波节之间，各质点以相同的步调在振动，两波节之间的中点振幅最大，就是波腹(图中用“＋”表示)．

驻波不是振动状态的传播，也没有能量的传播。媒质中各质点都作稳定的振动。

1.频率特点：由图及方程知，各质元以同一频率作简谐振动。

2.振幅特点：

(1)各点的振幅：和位置 x 有关，振幅大小按余弦规律随 x 变化

     (2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节。波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。

相邻两波节间的距离为

          

(3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹。波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。

相邻两波腹间的距离为

          

相邻波腹与波节之间的距离为

               

其它点的振幅为0～2A之间。

振幅分布的这一特征可以用来测量波长，通过驻波实验测出波节或波腹间的距离，即可得到波长。

3.相位特点

在形成驻波时，波线上各质元都以同一频率作简谐振动，但是不同质元的振幅随其位置作周期性的变化。

(1) 两相邻波节间的点（同一段的点），   符号相同，相位相同。

(2) 波节两边的点（相邻段的点），       符号相反，相位相反。

在两个波节之间，cos2πx/λ有相同的符号，因而两个相邻波节间的所有质点的振动相位相同；在波节的两侧，cos2πx/λ有相反的符号，即波节两侧质点的振动相位相反。即当驻波形成时，介质在作分段振动。同一段内各质点的振动步调一致，同时达到正向最大位移，同时通过平衡位置，同时达到负向最大位移，只是各个质点的振幅不一样；相邻两段质点的振动步调相反。同时沿相反的反向通过最大位移，同时沿相反的反向通过平衡位置。每一段中质点都以确定的振幅在各自的平衡位置附近独立地振动着。只有段与段之间的相位突变，没有象行波那样的相位和波形的传播，故称为驻波。严格地说，驻波不是波动，而是一种特殊形式的振动。

驻波相位不传播---"驻"字的第二层含义。

4.能量特点

(1)动能：当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。

 (2)势能：当各质点同时到达最大位移时：动能为零，此时驻波能量为势能。波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。

(3)结论：动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转换，能量交替传递，介质在振动过程中动能和势能不断转换，在转换过程中，能量不断地由波腹附近转移到波节附近，再由波节附近转移到波腹附近。由于原来形成驻波的两列相干波的能流密度值相等，但是传播方向相反，因此合成波的能流密度为零，即不存在沿单一方向的能流。这就是说驻波不能传播能量。---“驻”字的第三层含义。

驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的 λ /4 的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能量不能越过波腹和波节传播,驻波没有单向的能量传输。

能量在驻波中的分布是不均匀的，振动的能量在波节处的分布相对更为集中。

（驻波有如下特点：驻波也是一种波的干涉现象，但是一种特殊的干涉现象．其特殊性表现在两个方面：

①波源特殊：驻波是由频率相同，振幅相同，振动方向相同，而传播方向相反的两列波叠加而成的．

②波形特殊：波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，相邻两波节间质点运动方向一致，但振幅不同，波节两侧的质点振动方向总是相反．）

四、半波损失

1．实验现象：

实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。

①波在固定端的反射(如一端固定的弹性绳)，反射点是波节(和固定点情况吻合)。

②波在自由端的反射 ，反射点是波腹。

③在两个介质分界面上，反射点形成波节还是波腹，取决于该处两种介质的密度的大小、入射角的大小和波速等。

2．波疏介质与波密介质：

    介质的密度ρ与波速u的乘积ρu（有时把Z=ρu定义为阻抗）较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称为波疏介质。

3．相位突变与半波损失

    在波垂直于界面入射时，若从波疏介质传向波密介质，并在界面处反射，则在反射处形成波节；相反，若从波密介质传向波疏介质，并在界面处反射，则在反射处形成波腹。要在两种介质的分界面处形成波节，入射波和反射波必须在此处的相位相反，即反射波在分界面上相位突变了π。由于在同一波线上相距半个波长的两点相位差为π，因此波从波密介质反射回波疏介质时，如同损失（或增加）了半个波长的波程。我们常常将这种相位突变π的现象形象地叫做半波损失。

五、应用

外界策动源频率与系统某本征频率相同时，激起高强度的驻波，也叫共振或谐振。

1、乐器

弦乐器发声原理：从上述弦线上驻波的形成来看，可以认为驻波是一种特殊的干涉现象．从驻波的振动情况来看，可以认为驻波是组成弦线的无数有相互联系的质点的一种振动模式．实际上，只要设法激起弦线的振动(弹、拉、打击等)，就能在弦线上产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是弦乐器发声的原理．当拨动琴弦，产生一个波，遇到两个固定端后发生反射，形成驻波。无论是提琴还是古筝，它的每一根弦在特定的长度和张力下，都会有自己的固有频率。当弦以固有频率振动时，两端被固定振幅最小，但振动方向的张力最大（波节）。中间振幅最大，但弦最松弛，即振动张力最小（波腹）。

管乐器发声原理：

【演示】在盛有水的容器中插入一根粗玻璃管，管口上方放一个正在发声的音叉，慢慢向上提起玻璃管，当管内空气柱达到一定长度时，可听到空气柱发出较强的声音，

这时，从音叉发出并进入玻璃管的声波和经水面反射回来的反射波相互叠加，在空气柱内产生驻波，玻璃管开口处为波腹，水面处为波节，空气柱的长度  l＝λ/4、 l＝3λ/4、l＝5λ/4时．课本图10－34(乙、丙、丁)，都会产生驻波．

空气柱产生驻波条件l＝(2n＋1)/4(n＝0，1，2，3……)

空气柱内的驻波可看作空气柱的一种振动模式，所以上述现象可看作音叉和空气柱发生了共鸣．实际上，只要设法激起空气柱的振动(如吹奏)，就能使空气柱产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是管乐器发声的原理．

在上述实验中，如果测出空气柱的长度l，就可以测出声波的波长λ．如果已知音叉的频率f，还可测出声波的速度 v＝λf．

2、在无线电技术中的重要应用

在发射过程中要使无线电波以尽量大的功率传输。只有阻抗完全匹配，才能达到最大功率传输。这在高频更重要！发射机、传输电缆（馈线）、天线阻抗都关系到功率的传输。驻波比就是表示馈线与天线匹配情形。

不匹配时，发射机发射的电波将有一部分反射回来，在馈线中产生反射波，反射波到达发射机，最终产生为热量消耗掉。接收时，也会因为不匹配，造成接收信号不好。

 

如上图所示前进波（发射波）与反射波以相反方向进行。

完全匹配，将不产生反射波，这样，在馈线里各点的电压振幅是恒定的 .不匹配时，在馈线里产生驻留在馈线里的电压波形,即驻波。

我们可以引入驻波比的概念来表示阻抗的匹配情况:

驻波比（VSWR）的值的计算公式如下:

驻波比的值在1到无穷大之间。驻波比为1，表示完全匹配；驻波比为无穷大表示全反射，完全失配。

在移动通信系统中，一般要求驻波比小于1.5，但实际应用中VSWR应小于1.2。过大的驻波比会减小基站的覆盖并造成系统内干扰加大，影响基站的服务性能。

3、音响与驻波

现在许多人在家庭装修时都会考虑购买音响,而音响技术中有一个最难对付的祸害--驻波。下面我们来讨论一下音响学中的驻波。

声音虽然是纵波，但它与横波一样同样存在驻波现象。波节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点密集区，半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。

类比水波，对于声波，假设它在一个密闭的矩形房间里传播。考虑两堵平行的墙壁，对于恒定的波源，特定频率的波，某些恒定的点会成为波腹和波节。在波节的点就始终听不到这一频率的声音，而在波腹的点声音频率特别高。

实际上，不管声源在什么地方，只要有二个平行平面存在，声音最终都会在平行的二个面之间来回反射。所以，凡是两个平行面间的距离是某些频率的半波长或半波长的整数倍，那么，这些频率都是这个房间的驻波频率。这些频率在空间的各点会表现出非常不同的性质。

对于矩形房间，要考虑３对驻波：

第一种轴向驻波，是最强的驻波。是由二二相对的前后、左右、上下六个平面形成的。

第二种切向驻波，强度次之。是在相对的棱线间发生的 。

第三种为斜向驻波，作用最弱。是对角到对角。

与驻波有关的平面越多，驻波的强度就越弱，对声场频响的影响就越小。如果是一个球体空间，驻波就不会发生。房间各个平面都不平行，驻波也不会发生。这就是音乐厅和电影院都建设成扇形空间的原因 。

对于一般家庭的矩形房间，设一对墙面距离为d，波速按340m/s计，那么半波长频率f=0.5×340÷d。所有半波长的整数倍频率都有驻波发生，但波腹与波节的位置不同，而频率为半波长频率的声音驻波反映最强，所以一般越小的房间，音响效果越差。