实验6   弦线上的驻波

[实验目的]

1．   了解弦线上的驻波。

2．   通过弦线振动测定弦振动的频率。

3．   测量弦线上横波的传播速度。

[实验仪器]

XZDY-B型固定均匀弦振动仪、砝码等。

[仪器介绍]

XZDY-B型固定均匀弦振动仪是一种自带数字显示频率的高精确度仪器。调节面板上的频率旋钮，移动支撑弦线的劈尖的位置，能明显观察到驻波。实验装置如图象1所示。其中①、⑥香蕉插头座(接弦线)，②频率显示，③电源开关，④频率调节旋钮，⑤磁钢 ，⑦砝码盘，⑧米尺，⑨弦线，⑩滑轮及托架，A、B两劈尖(滑块)。

 

                       图1 XZDY-B型固定均匀弦振动仪示意图

将电源接通。这样，在磁场的作用下，通有正弦交变电流的弦线就会振动。根据需要，可以调节频率调节旋钮，从显示器上读出所需频率。移动磁铁的位置，使弦振动调整到最佳状态(使弦振动的振动面与磁场方向完全垂直)。移动劈尖的位置，可以改变弦线的长度。

注意：⑴、改变挂在弦线一端的砝码后，要使砝码稳定后再测量。

⑵、在移动劈尖调节驻波时用力要轻，磁铁应在两劈尖之间，且不能处于波节位置，不要将磁铁在槽外移动。

[实验原理]

    设一均匀弦线，一端由劈尖A支住，另一端由劈尖B支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动，于是波动就由A端朝B端方向传播，称为入射波，再由B端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖B到适合位置，弦线上将形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波腹。驻波的形成如图2所示。

下面用筒谐表达式对驻波进行定量描述。设有两列筒谐波沿X轴方向传播，它们的振幅相等，传播方向相反。其中沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在X=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的振动方程为：

                                          （1）

                                         （2）

式中A为筒谐波的振幅，为频率，为波长，为弦线上质点的坐标位置。

 

                         图2 入射波、反射波叠加及驻波

这两列波叠加后有

                                      （3）

（3）式中的第一个因子与时间无关，只是位置的余弦函数，第二个因子与位置无关，只是时间的余弦函数,这就是驻波的波动方程。从（3）式可以看出驻波不是波动，而是振幅随位置作余弦变化的振动。

当时，振幅的绝对值为零，即

  （=0、1、2、……）                                 （4）                              

这些点始终静止，它们就是波节。

当时，振幅的绝对值最大，等于2A，即

   （=0、1、2、……）                           （5）

这些点振幅最大，它们就是波腹。其余各点的振幅在零和最大值之间。相邻两节点或相邻两波腹之间的距离都是半个波长。

在实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点应为波节，所以，只有当弦线的两端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为

   （1、2、3、……）                                  （6）

为半波长的个数，即半波数。由（6）式可得沿均匀弦线传播的横波波长为

                                                         （7）

根据波动理论，弦线中横波的传播速度为

                                                         （8）

式中为弦线中的张力，为弦线单位长度的质量，即线密度。又根据波速、频率及波长的普遍关系式有

                                                         （10）

将（7）式代入（10）式可得

                                                        （11）

再由式（7）和式（10）可得

   （1、2、3、……）                               （12）

由（12）式可知，当给定、、，频率只有满足该式关系才能在弦线上形成驻波。同理，当用外力（例如流过金属弦线上的交变电流在磁场中受到交变安培力的作用）去驱动弦振动时，外力的频率必须与这些频率一致，才会促使弦振动的传播形成驻波。

[内容与步骤]

1．频率f不变，改变张力，测量弦线上横波传播的速度

选取频率f =75H_z，首先在砝码盘内加入20g砝码，以后逐次增加10g直到50g砝码为止在各张力的作用下调节弦长，使弦上出现一个波腹，两个波腹，记录相应的T、n、L，由（11）式求出弦线上横波的传播速度。

2．张力不变，改变频率f，测量弦线上横波传播的速度

在砝码盘内加40g砝码，改变频率，是频率从60Hz以后逐次增加20Hz直到140Hz为止在各频率下调节弦长，使弦上出现一个波腹，两个波腹，记录相应的T、n、L，由（11）式求出弦线上横波的传播速度。

3．线密度一定，改变张力T，测量弦振动的频率f

在75Hz～100Hz范围内任意选定一个频率，并在砝码盘内加入20g砝码，以后逐次增加10g直到50g砝码为止，调节弦线长度，使弦上出现=1，=2个半波，记录相应的、、，求出频率的平均值，并与选取的频率进行比较。

[实验数据]

砝码盘质量m=10g

表1测定弦线上横波波速

第2步和第3步请同学们自己设计表格。

[思考题]

1．      驻波的形成与A、B两劈尖间的振动源的位置是否有关，若有应怎样调节在最佳位置？

2．      弦线的粗细和弹性对实验有什么影响？应如何选择？

 

第二篇：线上的驻波实验

实验**  弦线上的驻波实验

[引言]

弦线上波的传播规律的研究是力学中的重要内容。本实验重点在于观测弦线上形成的驻波，并用实验确定弦振动时，驻波波长与张力的关系，驻波波长与振动频率的关系，以及驻波波长与弦线密度的关系。常用的实验方法有两种：一是采用振动频率固定的电动音叉，通过改变弦线长度或张力，形成稳定驻波；二是采用频率连续可调的振动体，改变弦长或张力，形成稳定驻波从而验证弦线上驻波的振动规律。掌握驻波原理测量横波波长的方法。这种方法不仅在力学中有重要应用，在声学、无线电学和光学等学科的实验中都有许多应用。

[预习提示]

1． 波的叠加原理。

2． 驻波的形成原理。

3． 弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？

[实验目的]

1. 了解波在弦线上的传播及弦波形成的条件。

2．测量拉紧弦不同弦长的共振频率。

3. 测量弦线的密度。

4. 测量弦振动时波的传播速度。

[实验仪器]

DH4618型弦振动研究实验仪，DH4618型弦振动实验仪信号源，双踪示波器

 [实验原理]

由波动理论知道，两列振幅和频率均相同、振动方向一致且传播方向相反的简谐波叠加后会产生驻波。合成振幅为零的点称为波节，合成振幅最大的点称为波腹。相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。在弦乐器中，沿弦线传播的行波在乐器一端被反射，反射波与入射波相互叠加，形成驻波，如图**-1所示。

图**-1 驻波示意图

设沿轴正方向传播的波为入射波，沿轴负方向传播的波为反射波，则它们的波动方程可以写为。其中为简谐波的振幅，为频率，为波长，为弦线上质点的位置坐标。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

                  （**-1）

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为，只与质点的位置有关，与时间无关。

由于波节处振幅为零，可得波节的位置为

，                      （**-2）

因此相邻两波节之间的距离为。波腹处的质点振幅为最大，可得波腹的位置为

                                  （**-3）

因此相邻的波腹间的距离也是半个波长。

由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以只有当弦长等于半波长的整数倍时，即 （），才能形成驻波。由此可得沿弦线传播的横波波长为。根据波动理论，弦线横波的传播速度为，即，其中为弦线中张力，为弦线单位长度的质量，即弦线质量的线密度。由可得横波波速为。如果已知线密度和张力，则可得频率为

                                 （**-4）

　　以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。在实验中可以看到，接收波形往往并不是正弦波，而是带有变形，或没有规律振动，或不稳定性振动，这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。

[仪器描述]

实验仪器由测试架和信号源组成，测试架的结构如图**-2所示。

 

  1—调节螺杆   2—圆柱螺母    3—驱动传感器  4—弦线    5—接收传感器

6—支撑板     7—张力杆      8—砝码        9—信号源  10—示波器

图**-2 实验装置图

在研究弦振动实验时，需要功率信号源对弦线进行激励驱动，使其产生驻波。

[实验内容]

1.  实验前准备

    （1）信号源预热。打开信号源的电源开关，信号源通电。调节频率，频率表应有相应的频率指示。用示波器观察“波形”端，应有相应的正弦波；调节“幅度”旋钮，波形的幅度产生变化，当幅度调节至最大时，波形的峰-峰值应≥10V，这时仪器已基本正常，再通电预热10min左右，即可进行弦振动实验。

    （2）选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

（3）把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外，如图**-２；放置好驱动线圈和接收线圈，按图**-2所示连接实验装置。

（4）将砝码挂到张力杆上，然后旋动调节螺杆，使张力杆水平，如图**-3所示。利用杠杆原理，质量为“M”的重物若挂在张力杆的挂钩槽3处，弦的拉紧度为3M，如图**-3（a）；若挂在张力杆的挂钩槽4处，则弦紧度为4M，如图**-3（b），以此类推。

      

（a）张力3M                  （b）张力4M

图 **-3  张力大小设置

2. 实验内容

（1）张力、线密度和弦长一定，改变驱动频率，观察驻波现象和驻波波形，测量共振频率。

① 放置两个劈尖至合适的间距，装上弦线，挂上砝码，旋动调节螺杆，使杠杆水平。驱动线圈放置在距离劈尖5～10cm处，接收线圈放在弦线中心位置。

② 驱动信号的频率调至最小，调节信号幅度，调节示波器的通道增益为10mV/div。

③ 缓慢升高驱动信号频率，观察波形的改变。同时观察弦线，当弦的振动幅度最大时，示波器中的波形振幅最大，该频率就是共振频率。

④ 记录共振频率、线密度、弦长、张力、弦线的波腹波节的位置和个数。

⑤ 增加输出频率，连续找出几个共振频率（3~5个）并记录。

（2）张力和线密度一定，改变弦长，测量共振频率。

保持弦线张力不变，移动劈尖至不同的位置改变弦长，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）弦长和线密度一定，改变张力，测量共振频率和横波在弦上的传播速度。

保持两劈尖间距不变，改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的线密度，弦长，张力等参数。

（4）张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。

保持两劈尖间距及弦线张力皆不变，换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的弦长，张力等参数。

3．选做内容

⑴聆听音阶高低及与频率的关系

① 对照表**-1，选定一个频率，选择合适的张力，通过移动劈尖的位置，改变弦长，在弦线上形成驻波，聆听声音的音调和音色。

② 依次选择其他频率，聆听声音的变化。

③ 换用不同的弦线，重复以上步骤。

⑵探究弦线的非线性振动

① 选择一定的张力、线密度、弦长和驱动频率，在示波器上观察驻波波形。

② 移动接收传感器的位置，注意驻波波形有无变化。

③ 移动接收传感器的位置，注意驻波频率有无变化。

 [注意事项]

    1．仪器的“激振”输出为功率信号，应防止短路。

    2．仪器的频率稳定度和显示准确度都较高，故使用前应预热。

3. 仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。

4. 弦线应可靠挂放，砝码的悬挂应动作轻小，以免使弦线崩断而发生事故。

[数据处理]

1．张力和弦长一定时，计算共振频率理论值，与实验得到的共振频率相比较，分析两者存在差异的原因。

2．张力和线密度一定时，作弦长与共振频率的关系图。

3．弦长和线密度一定时，作张力与共振频率的关系图。

根据计算波速理论值，与作比较，分析存在差别的原因。作张力与波速的关系图。

4、弦长和张力一定时，计算弦线的共振频率和线密度。

已知弦线的静态线密度（由天平秤称出单位长度的弦线的质量）为：弦线1：0.562g/m；弦线2：1.030g/m；弦线3：1.515g/m。比较测量所得的线密度与上述静态线密度有无差别，说明原因。

[讨论及拓展]

1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？

2、换用不同弦线后，共振频率有何变化？存在什么关系？

3、如果弦线有弯曲或者不是均匀的，对共振频率和驻波有何影响？

4、相同的驻波频率时，不同的弦线产生的声音是否相同？

5、试用本实验的内容阐述吉它的工作原理。

*6、移动接收传感器至不同位置时，弦线的振动波形有何变化？是否依然为正弦波？试分析原因。

[附录] 乐理分析

常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。

振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现的声音音色是不同的，而振动的频率则体现音调的高低。 Hz的音在音乐里用字母c¹表示。其相应的音阶表示为：c、d、e、f、g、a、b，在将c音唱成“do”时定为c调。人声及器乐中最富有表现力的频率范围约为60Hz~1000Hz。c调中7个基本音的频率，以“do”音的频率 Hz为基准，按十二平均律*的分法，其它各音的频率为其倍数，其倍数值如表**-1所示：

表 **-1

*注：常用的音乐律制有五度相生律、纯律（自然律）和十二平均律三种，所对应的频率是不同的。五度相生律是根据纯五度定律的，因此在音的先后结合上自然协调，适用于单音音乐。纯律是根据自然三和弦来定律的，因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐，适用于多声音乐。十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在乐器的演奏和制造上有着许多优点，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的，例如钢琴，竖琴，吉它等。

金属弦线形成驻波后，产生一定的振幅，从而发出对应频率的声音。如果将弦线驱动频率设置为表**-1所定的值，通过调节弦线的张力或长度，形成驻波，就能听到与音阶对应的频率了（当然，这时候的环境噪音要小些）。这样做的特点是能产生准确的音调，有助于我们对音阶的判断和理解。

[参考文献]

1张三慧主编 大学物理学 第四册 波动与光学  清华大学出版社2003.78?83

2贾玉润等。大学物理实验。上海：复旦大学出版社，1987.130?132