高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；

②若，则；③若，则．

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

19、若等差数列的首项是，公差是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；

④；⑤．

21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

22、等差数列的前项和的公式：①；②．

23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

26、若等比数列的首项是，公比是，则．

27、通项公式的变形：①；②；③；④．

28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

29、等比数列的前项和的公式：．

30、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．

③，，成等比数列．

31、；；．

32、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

42、均值不等式定理： 若，，则，即．

43、常用的基本不等式：①；②；

③；④．

44、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

 

第二篇：高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列?an?，若an?1?an?d(常数)，则数列?an?

③等差中项：对于数列?an?，若2an?1?an?an?2，则数列?an?是等差数列

知识点3、:

④如果等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为

an?a1?(n?1)d 该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和: ⑤Sn?n(a1?an)n(n?1)d ⑥Sn?na1?22

对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、:

⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项A?a?b或2A?a?b 2

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公差为d，则有an?am?(n?m)d

⑧ 对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq 也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

⑨若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????

SkS2k?SkS3k?S2k

10、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??*?，则S2n?n?an?an?1?，且

S奇a?nS偶?S奇?nd，S偶an?1*．②若项数为2n?1n??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，??

S奇n?（其中S奇?nan，S偶??n?1?an）． S偶n?1

1

二、题型选析：

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )

A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （ ）

A．49 B．50 C．51 D．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A．92 B．47 C．46 D．45

4、已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是( )

( )

C 31 D 64

） A 15 B 30 5. 首项为－24的等差数列，从第

10

888A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3 333

6、.在数列{an}中，a1?3，且对任意大于1的正整数n，点(an,an?1)在直x?y?3?0 上，则an=_____________.

7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．

8、等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?1,a3?3,则S4＝（ ） （A）12 （B）10

9、设数列?an?的首项a1??7,且满足an?1（D）6 ?an?2 (n?N)，则a1?a2???a17?______. （C）8

10、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a511、已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= .

12、设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4＝14，S10?S7?30，则S9＝. 题型二、等差数列性质

1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

2、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5

3、 若等差数列?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,则a7?__________.

4、记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（ ）

A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5、等差数列{an}中，已知a1?1，a2?a5?4，an?33，则n为（ ） 3

（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

7、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若a55S?,则9?（ ） a39S5

2

A．1 B．－1 C．2 D．1 2

8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51

9、如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则( )

（A）a1a8?a4a5 （B）a8a1?a4a5 （C）a1+a8?a4+a5 （D）a1a8=a4a5

10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ ）

（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项

题型三、等差数列前n项和

1、等差数列?an?中，已知a1?a2?a3?

Sn? ． ?a10?p，an?9?an?8??an?q，则其前n项和

2、等差数列?2,1,4,?的前n项和为 （ ） 1111A. n?3n?4? B. n?3n?7? C. n?3n?4? D. n?3n?7? 2222

3、已知等差数列?an?满足a1?a2?a3???a99?0，则 （ ）

A. a1?a99?0 B. a1?a99?0 C. a1?a99?0 D. a50?50

4、在等差数列?an?中，a1?a2?a3?15,an?an?1?an?2?78，Sn?155，

则n? 。

5、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于（ ）

A．12 B．18 C．24 D．42

6、若等差数列共有2n?1项n?N*，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

7、 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?

aS7n8、 若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn，Tn，已知n?，则5等于（ ） b5Tnn?3

22721Ａ．7 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 843??

题型四、等差数列综合题精选

1、等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10?30,a20?50.

（Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n.

2、已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。

（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值。

3

3、设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S7?7，

S15?75，Tn为数列?

?Sn??的前n项和，求Tn。 ?n?

4、已知?an?是等差数列，a1?2，a3?18；?bn?也是等差数列，a2?b2?4，b1?b2?b3?b4?a1?a2?a3。

（1）求数列?bn?的通项公式及前n项和Sn的公式；

（2）数列?an?与?bn?是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

6、已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn?m3?,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数m； 20anan?1

五、等差数列习题精选

1、等差数列{an}的前三项依次为x，2x?1，4x?2，则它的第5项为（ ）

A、5x?5 B、2x?1 C、5 D、4

2、设等差数列{an}中，a4?5,a9?17,则a14的值等于（ ）

A、11 B、22 C、29 D、12

3、设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，

则a11?a12?a13?( )

A．120 B．105 C．90 D．75

4

4、若等差数列{an}的公差d?0，则 （ ）

（A） a2a6?a3a5 （B） a2a6?a3a5

（C） a2a6?a3a5 （D） a2a6与a3a5的大小不确定

5、 已知?an?满足，对一切自然数n均有an?1?an，且an?n2??n恒成立，则实数?的取值范围是（ ）

Ａ．??0 Ｂ．??0 Ｃ．??0 Ｄ．???3

6、等差数列?an?中，a1?1,公差d?0,若a1,a2,a5成等比数列，则d为 （ ）

(A) 3 (B) 2 (C) ?2 (D) 2或?2

7、在等差数列?an?中，ap?q,aq?p(p?q)，则ap?q?

A、p?q B、?(p?q) C、0 D、pq

8、设数列?an?是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是

A、1 B、2 C、4 D、8

9、已知为等差数列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99，则a20等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

10、已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝

11 C. D.2 22

11、在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ） A.－2 B.－

A．18 B 27 C 36 D 9

12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27

13、在等差数列?an?中，a1?a2?a3?15,an?an?1?an?2?78，Sn?155，

则n? 。

14、数列?an?是等差数列，它的前n项和可以表示为 （ ）

A. Sn?An2?Bn?C B. Sn?An2?Bn

C. Sn?An2?Bn?C?a?0? D. Sn?An2?Bn?a?0?

5

小结

1、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?

a?b

2

2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）

3、当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

4、当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap. 5、若{an}、则{kan}、{ap?nq}(p,q?N*)、{bn}是等差数列，{kan?pbn} (k、p是非零常数)、

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列，而{aan}成等比数列；

等差数列参考答案

题型一：计算求值

题型二、等差数列的性质

6

1、C 2、D 3、12（a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12）

4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B

10、A

题型三、等差数列前n项和

1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24

6、S奇/S偶=n/n-1=4/3, n=4

7、45 8、D（a5/b5=S9/T9）

题型四：等差数列综合题精选

1、解：（Ⅰ）由an?a1?(n?1)d,a10?30,a20?50,得方程组

??a1?9d?30,

?19d?50. ……4分 解得a1?12,d?2. 所以 an?2n?10. ?a1

（Ⅱ）由Sn(n?1)

n?na1?2d,Sn?242得方程

12n?n(n?1)

2?2?242. ……10分 解得n?11或n??22(舍去).

2、解：（Ⅰ）设?a?a1?d?1

n?的公差为d，由已知条件，得?a，

?1?4d??5

解出a1?3，d??2．所以an?a1?(n?1)d??2n?5． （Ⅱ）Sn(n?1)

n?na1?2d??n2?4n?4?(n?2)2．

所以n?2时，Sn取到最大值4．

3、解：设等差数列?a1

n?的公差为d，则 Sn?na1?2n?n?1?d

∵ S7?7，S15?75，

∴ ??7a1?21d?7 ,?

?15a?a1?3d?1 ,

1?105d?75 , 即 ?a1?7d?5 ,

解得 a ∴ Sn11

1??2，d?1。 n?a1?2?n?1?d??2?2?n?1?，

∵ Sn?1S1?S?1

?1?n

n?2，∴ 数列?n

n?n??是等差数列，其首项为?2，公差为2，

∴ T19

n?4n2?4n。

4、解：（1）设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得 da3?a1

1?2?8

所以an?2?8(n?1)?8n?6，所以a2=10, a1+a2+a3=30

7

?b1?d2?6

依题意，得??解得?

??b1?3，所以bn?4b4?3

1?2d2?30?d2?3=3+3(n-1)=3n

Sn(b?

n?1bn)2?3

2n2?3

2n.

（2）设a则8n-6=3m, 既n?3(m?2)

n=bm,8①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需 m+2=8k,k?N?,所以m=8k-2 ，k?N?②

②代入①得，n=3k, k?N?,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切k?N?都成立。

所以，数列?an?与?bn?有无数个相同的项。

令24k-6<100,得k?53

12,又k?N?，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

5、解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0，故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

?S14?77,?2a1?13d?11,?2a1?13d?11,

（Ⅱ）由??a 得??a, 即?

11?0, 1?10d?0??2a1?20d?0,

??a1?6??a1?6???2a1??12

由①+②得－7d＜11。即d＞－11

7。由①+③得13d≤－1 即d≤－1

13 于是－11

7＜d≤－1

13，又d∈Z, 故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.

又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x?)的图像上，所以S?n＝3n2－2n.

当n≥2时，a2n＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（3n?1)2?2(n?1)＝6n－5.

当n＝1时，a?1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知b3311

n?aa＝n?5)6(n?1)?5＝2(6n?5?1

6n?1)，

nn?1(6

故Tn＝?n

b?

i＝1

i?12??(1?1

7)?(1

7?1

13)?...?(1

6n?5?1

6n?1)???＝1

2（1－1

6n?1）. 因此，要使11m1m

2（1－6n?1）<20（n?N?）成立的m,必须且仅须满足2≤20，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10

题型五、精选练习

8

9