选修2-1、2-2知识点

选修2-1

第一章常用逻辑用语

1.    命题及其关系

①       四种命题相互间关系： 

②       逆否命题同真同假

2.    充分条件与必要条件

是的充要条件：

是的充分不必要条件：

是的必要不充分条件：

是的既充分不必要条件：

3.    逻辑联结词  “或”“且”“非”

4.    全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.

例：“a=1”是“”的（   ）

A．充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

第二章圆锥曲线与方程

1.              三种圆锥曲线的性质（以焦点在轴为例）

2.     “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3.         直线与圆锥曲线的位置关系

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.

应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)

常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；

②点差法

（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：）

（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）

① 直线具有斜率，两个交点坐标分别为

 

② 直线斜率不存在,则.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（）

注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）

（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

例1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；

A．   B．  C．   D．

例2已知双曲线的离心率为2，F₁、F₂是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）

例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.

（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。（答：）

例4过点A（2，1）的直线与双曲线相交于两点P₁、P₂，求线段P₁P₂中点的轨迹方程。

第三章空间向量与立体几何

1.       空间向量及其运算

①           ,

②           共线向量定理：

③           共面向量定理：；

四点共面 

④           空间向量基本定理 （不共面的三个向量构成一组基 

底，任意两个向量都共面）

2.       平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（是a,b的方向向量，是平面的法向量）

线线平行：

线面平行： 或 ， 或 是内不共线向量）

面面平行：

3.       垂直

线线垂直：

线面垂直：  或  是内不共线向量）

面面垂直：

4.       夹角问题

线线角   （注意异面直线夹角范围）

线面角 

二面角  （一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））

5.       距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）

P到平面的距离  （其中是平面内任一点，为平面的法向量）

6.       立体几何解题一般步骤

坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

几何法：作、证、求

异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；

线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；

二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

选修2-2

第一章导数及其应用

1.       平均变化率            

2.       导数（或瞬时变化率）

导函数(导数)：       

3.       导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x₀处的导数(x₀)就是曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线的斜率，即k＝(x₀)．

应用：求切线方程，分清所给点是否为切点

4.       导数的运算：

(1)几种常见函数的导数：

①(C)′＝0(C为常数)；  ②()′＝(x＞0，)；   ③(sinx)′＝cosx；

④(cosx)′＝－sinx；     ⑤(e^x)′＝e^x；             ⑥(a^x)′＝a^xlna(a＞0，且a≠1)；

⑦；         ⑧(a＞0，且a≠1)．

(2)导数的运算法则：

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；          ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③.

5.  设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且 或。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

6.  定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理.

物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。

7.  函数的单调性

（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数；

（2）如果在某区间内恒有，则为常数。

★★★反之，若已知可导函数在某个区间上单调递增，则，且不恒为零；可导函数在某个区间上单调递减，则，且不恒为零.

求单调性的步骤：

①  确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；

②  解不等式；

③  确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。

8.  极值与最值

对于可导函数，在处取得极值，则.

最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.

若在开区间有唯一的极值点，则是最值点。

求极值步骤：

①  确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；

②  解不等式；

③  检验的根的两侧的符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.

求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最小。

9.  恒成立问题 “”和“”，注意参数的取值中“=”能否取到。

例1  ，过的切线方程为                                    

例2 设函数在处取得极值。

（1）求的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。

（答：(1)a=-3,b=4;(2)）

例3 设函数

     （1）求函数的单调区间、极值.

（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.

（答：（1）在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；时，，时， （2）a的取值范围是）

第二章 推理与证明

1.   分清概念：合情推理与演绎推理

2.   综合法 分析法的步骤规范

3.   反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论

4.   数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤

（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1）（2），结论对于(或者其他)成立，必不可少）

例1 用综合法和分析证明

例2 已知

例3 ，求的值，由此猜想的通项公式，并证明。

（答：）

第三章 数系的扩充与复数的引入

1.   复数的概念 三种表示形式：代数形式：，复平面内点Z(a,b)，向量.

2.   区分实数，虚数，纯虚数，复数

3.   复数的四则运算及其几何意义

4.   复数的模

例1（）的充要条件是_________________________

例2 设复数满足条件那么的最大值是（    ）

（A）3      （B）4           （C）     （D）

例3 实数为何值时，复数．

（1）为实数；

（2）为虚数；

（3）为纯虚数；

（4）对应点在第二象限.

例4．已知为实数．（1）若，求；（2）若，求，的值．

 

第二篇：高中数学选修1-2知识点、考点、附典型例题

第一部分 统计案例

知识点：

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：y?bx?a（最小二乘法）

n?xiyi?nxy??i?1??b?n2 注意：线性回归直线经过定点(x,y)。 2?x?nx?i?i?1???a?y?bx?2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r??(xi?1ni?x)(yi?y)

n?(x

i?1n i?x)2?(yi?y)2i?1

注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；

⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：?(y

i?1ni?y)⑵残差：ei?yi?yi；⑶残差平方和：?(yi?yi)2 ；⑷回归平方和：2i?1??n?

?(y

i?1ni?y)－?(yi?yi)2；⑸相关指数R2?1?2i?1n??(y?(y

i?1i?1nni?yi)2 。 ?i?yi)2

注：①R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②R越接近于1，，则回归效果越好。

4．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 222

考点：无

第二部分 推理与证明

知识点：

一．推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后

提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明 ⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

考点：无

第三部分 复数及数域的扩充

知识点：

1．概念：

(1) z=a+bi∈R?b=0 (a,b∈R)?z=? z2≥0；

(2) z=a+bi是虚数?b≠0(a,b∈R)；

(3) z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)?z＋＝0（z≠0）?z2<0；

(4) a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i；

(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；

(3) z1÷z2 =(a?bi)(c?di)?bdbc?ad (z≠0) ; ? ac?i2(c?di)(c?di)c2?d2c2?d2

3．几个重要的结论：

(1) (1?i)2??2i；⑷1?i?i;1?i??i; 1?i1?i

4n4n?1(2) i性质：T=4；i?1,i?i,i4n?2??1,i4n?3??i；i4n?i4n?1?i4?2?i4n?3?0; (3) z?1?zz?1??

4．运算律：（1）zm1。 zmm?zn?zm?n;(2)(zm)n?zmn;(3)(z1?z2)m?z1z2(m,n?N);

5．共轭的性质：⑴(z1?z2)?z1?z2 ；⑵z1z2?z1?z2 ；⑶(z1z)?1 ；⑷ z?z。 z2z2

6．模的性质：⑴||z1|?|z2||?|z1?z2|?|z1|?|z2|；⑵|z1z2|?|z1||z2|；⑶|z1|z1|；⑷|zn|?|z|n； |?z2|z2|考点：复数的运算

2?i★1．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 2?i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ★2、设i是虚数单位，复数1?ai

2?i为纯虚数，则实数a为

(A)2 (B) -2 (C) ?1

2 ★3、若复数z?1?i，i为虚数单位，则(1?i)?z?

A．1?3i B．3?3i C．3?i

★4．复数5i

1?2i?

A．2?i B．1?2i C． ?2?i

(D)12 D．3 D．?1?2i