第5讲 对数与对数函数

基础巩固

1.已知a,b为实数,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )

A.充分不必要条件

C.充要条件

【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】因为由2a>2b?a>blog2a>log2b(不一定满足a>b>0),而由log2a>log2b?a>b>0?2a>2b,所以“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.

2.已知1<x<10,那么lg2x,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( )

A.lg2x<lg(lg x)<lg x2 B.lg2x<lg x2<lg(lg x)

C.lg x2<lg2x<lg(lg x) D.lg(lg x)<lg2x<lg x2

【答案】D

【解析】∵1<x<10,∴0<lg x<1.于是lg(lg x)<0,0<lg2x<2lg x.故lg(lg x)<lg2x<lg x2.

3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( )

A. B.2x-2 C.lox D.log2x

【答案】D

【解析】因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2. 故f(x)=log2x,应选D.

4.函数y=lo(x2-3x+2)的递增区间是( )

A.(-∞,1)

C. D.

【答案】A

【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2.

当x∈(-∞,1)时,函数f(x)=x2-3x+2单调递减, 而0<<1,由复合函数单调性可知函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,而在(2,+∞)上是单调递减的.

5.函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数y=lof(x)的图象大致是( )

【答案】C

【解析】由函数y=f(x)的图象可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知,函数y=lof(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,应选C.

6.(2013届·山东枣庄阶段测试)设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2?x2 013)=8,则

f()+f()+?+f()=( )

A.4 B.8 C.16 D.2loga8

【答案】C

【解析】依题意有loga(x1x2?x2 013)=8,

从而f()+f()+?+f()

=loga+loga+?+loga=loga(x1x2?x2 013)2

=2loga(x1x2?x2 013)=2×8=16.

7.(2012·辽宁锦州一模)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )

A.(-∞,0) B.(0,+∞)

C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)

【答案】C

【解析】 f(x)<0?loga(a2x-2ax-2)<0?loga(a2x-2ax-2)<loga1,因为0<a<1,所以a2x-2ax-2>1,即(ax)2-2ax+1>4?(ax-1)2>4?ax-1>2或ax-1<-2,于是ax>3或ax<-1(舍去).因此x<loga3,应选C.

8.|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02的值为 . B.(2,+∞)

【答案】 6

【解析】原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6.

9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .

【答案】{x|-1<x<0或x>1}

【解析】由已知条件可得,函数f(x)的图象如下图所示,

其解析式为f(x)=

由函数图象可得不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0或x>1}.

10.若函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .

【答案】[-8,-6]

【解析】设g(x)=3x2-ax+5,由已知得

解得-8≤a≤-6.

11.求值:.

【解】方法一:原式=.

方法二:原式=

=. 12.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x值.

【解】因为f(x)=x2-x+b,

所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b.

又知(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.

因为a≠1,所以log2a=1,即a=2.

又log2f(a)=2,所以f(a)=4.

因此a2-a+b=4,b=4-a2+a=2.

故f(x)=x2-x+2.

从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.

故当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.

13.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

【解】(1)因为f(1)=1,

所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,

这时f(x)=log4(-x2+2x+3).

由-x2+2x+3>0得-1<x<3,

所以函数f(x)的定义域为(-1,3).

令g(x)=-x2+2x+3,

则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,

又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,

所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).

(2)假设存在实数a使函数f(x)的最小值为0,

则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,

因此应有解得a=.

故存在实数a=使函数f(x)的最小值等于0.

拓展延伸

14.设a,b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(-b,b)上有定义.

(1)求a的值;

(2)求b的取值范围;

(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.

【解】(1)∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x),即lg=-lg,

即,整理得1-a2x2=1-4x2.

从而可得a=±2.

又a≠2,故a=-2.

(2)∵函数f(x)=lg的定义域是, ∴0<b≤.

(3)∵f(x)=lg=lg=lg,

∴函数f(x)在区间(-b,b)上是单调递减的.

 

第二篇：【设计—赢在高考】20xx届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第二章 函数2.6

第6讲 二次函数、幂函数

基础巩固

1.“a=0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】由“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”可知,对称轴x=-≤0,即a≥0,所以“a=0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件.

2.函数f(x)=x3与函数y=的图象( )

A.关于原点对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称

【答案】D

【解析】∵函数f(x)=x3与y=互为反函数,

∴它们的图象关于直线y=x对称.

3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )

A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2)

C.f(2)<f(0)<f(-2)

【答案】D

【解析】由f(1+x)=f(-x)知函数f(x)的图象关于直线x=对称,又抛物线开口向上,结合图象可知f(0)<f(2)<f(-2).

4.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( )

【答案】D

【解析】∵a>b>c,且a+b+c=0,

∴a>0,c<0.结合题中图象可知应选D.

5.若函数f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值( )

A.是正数

C.是非负数

【答案】B

【解析】方法一:∵函数f(x)=x2-x+a的对称轴为x=,

而-m,m+1关于对称,∴f(m+1)=f(-m)<0.

方法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0.

故f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0.

6.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值是( )

A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1

【答案】B

【解析】∵幂函数y=(m2-3m+3)中的系数m2-3m+3=1,

∴m=2或1.

又y=(m2-3m+3)的图象不过原点,

∴m2-m-2≤0,即-1≤m≤2.

故m=2或1.

7.(2013届·山东泰安阶段检测)已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( ) B.是负数 D.与m有关 D.f(0)<f(2)<f(-2)

A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3

C.a≤-3或a≥-2 D.-3≤a≤-2

【答案】A

【解析】由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数,则需所给区间在对称轴的同一侧,即a≤2或a≥3.

8.(2012·浙江温州测试)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

【答案】C

【解析】函数f(x)=的图象如图.

由图可知函数f(x)在R上为增函数.

∵f(2-a2)>f(a),

∴2-a2>a,解得-2<a<1.

9.已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是 .

【答案】 1≤m≤2

【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴其对称轴方程为x=1.∵f(1)=2,∴m≥1.又由f(x)max=x2-2x+3=3得x=2或x=0(舍),故m的取值范围为1≤m≤2.

10.对于函数y=x2,y=有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图象关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0),(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物线型.

其中正确说法的序号是 .

【答案】①②⑤⑥

【解析】从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.

11.已知幂函数f(x)=为奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(m∈N*,m≥2).

(1)求f(x); (2)比较f(-2 013)与f(-2)的大小.

【解】(1)∵函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,

∴m2-m-3<0.

解得<m<.

又∵m∈N*,且m≥2,∴m=2.

故f(x)=x-1,符合题意.

(2)∵函数f(x)为奇函数,

∴f(-2 013)=-f(2 013)=-,

f(-2)=-f(2)=-.

∵->-,

∴f(-2013)>f(-2).

12.已知二次函数f(x)的图象过A(-1,0),B(3,0),C(1,-8)三点.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值;

(3)求不等式f(x)≥0的解集.

【解】(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3),

将C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),解得a=2.

故f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.

(2)f(x)=2(x-1)2-8,

当x∈[0,3]时,由二次函数图象(图略)知

f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.

(3)由图象(图略)知,f(x)≥0的解集为{x|x≤-1或x≥3}.

13.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

(1)当a=-2时,求f(x)的最值;

(2)求实数a的取值范围,使函数y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;

(3)当a=1时,求函数f(|x|)的单调区间.

【解】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

∵x∈[-4,6],

∴函数f(x)在区间[-4,2]上单调递减,在区间[2,6]上单调递增.

故函数f(x)的最小值是f(2)=-1.

又f(-4)=35,f(6)=15,故函数f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,

因此,要使f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.

(3)∵当a=1时,f(x)=x2+2x+3,

∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时函数f(|x|)的定义域为x∈[-6,6],

且f(|x|)=

故函数f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].

拓展延伸

14.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).

(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值.

(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.

【解】(1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.

于是知f(x)=(x+1)2.

因此F(x)=

故F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.

(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在x∈(0,1]上恒成立, 即b≤-x且b≥--x在x∈(0,1]上恒成立,

根据单调性可得y=-x的最小值为0,

y=--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.