运筹学课程设计报告
——求解线性规划问题
(MATLAB求解)
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20##-12-27
【空气污染问题】
某钢厂的钢铁生产对城市的空气造成污染,是该城市的主要污染源。钢厂主要有两个污染源:生产铁的高炉和将生铁炼成钢的平炉。造成空气中的污染成分有:微粒、硫氧化物和碳氢化合物。城市管理部门对该钢厂下达的3种污染物的减排任务见表1。
表1 3种污染物的减排任务表 (单位: kt)
有效的减少排污的方法有三种:
(1)增加高炉的高度。
(2)安装过滤器。
(3)在熔炉燃料中加入高级清洁材料。
每一种减少排污的方法都存在技术限制。3种减排方法的年减排量见表2。
表2 3种减排方法的年减排量表 (单位: kt)
各种减排方法的年成本见表3。
表3 各种减排方法的年成本 (单位: 百万元)
为了方便分析,假设各种方法也可以在技术允许的范围内,采取一部分程度的实施,从而达到一定程度的减少污染气体的效果。此外,各种方法在两个炉子上的实施比例可以不同,且在效果上也是互不影响的。设计一种排污方案,使其满足减排要求,并且成本最小。
【问题分析】
在分析了上面的数据之后,可以发现,没有一种方法可以实现全部的降污要求。而另一方面,在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合,会超额完成降污任务,但这样做的费用是昂贵的。不利于公司的产品保持竞争力。因此应该合理分配每一种减排方法的使用,达到最好的减排效果且成本最低。
由此,可以建立线性规划模型求解。
【数学模型的建立】
设变量是技术限制的最大量的百分比,具体设置见表4。
表4 各种减排方法的相关设置
满足减排要求的成本最小化的线性规划模型如下:
此问题有3类约束条件:
(1)减排量约束
(2)技术限制:
(3)非负约束:
化为适合求解的形式:
【求解代码及结果】
用MATLAB求解:
【结果分析】
由运算结果可知,此钢厂的最有策略是:高炉按技术限制的100%加高烟囱,平炉按技术限制的62.27%加高烟囱;高炉按技术限制的34.35%加过滤器;平炉按技术限制的100%加过滤器;高炉按技术限制的47.6%改进燃料,平炉按技术限制的100%改进燃料。应用这一策略的最低成本为3215.46万元。
成绩评定表
课程设计任务书
摘 要
运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象,应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。随着科学技术和生产的发展,运筹学已渗入很多领域里,发挥了越来越重要的作用。
此题研究的主要内容是根据保证居民生活用水和某些重要机关、企业、事业单位用水的基本需求进行合理规划。目的是依据各区的引水管理费,最高(低)需求规划各区自来水的使用情况,考虑各水库如何分配供水量达到最低需求,如何分配才能使公司获利最多,当各水库运输各区供水量一定时,又如何使各区的引水管理费最低,公司获利最多,这完全符合运筹学线性规划的理论。按照线性规划求解模式计算出既科学又合理的最优搭配方案:在使居民生活用水和某些重要机关、企业、事业单位用水的基本需求的情况下,用(单价-其他管理费)*总供水量-最低总的饮水管理费,计算出最大获利。根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件,运用运筹学计算软件(主要是指Lindo软件)求解所建立的运筹学模型。所以对基本情况的分析,经过抽象和延伸,建立起了水库供水运输的线性规划模型。结合模型的特点,对模型的求解进行了讨论和数据分析,将模型应用于案例的背景问题,得出相应的最优解决方案,就可以对问题一一进行解答。同时还可以用Lingo软件进行分配问题进行求解最优分配方案。
关键词:线性规划;Lindo软件;最优运输;数据分析
目 录
1 某城市自来水供水运输最优问题..................................... 1
1.1 问题的提出.................................................. 1
1.2 问题分析.................................................... 2
1.3 模型建立及求解.............................................. 2
1.3.1 设定变量.............................................. 2
1.3.2 建立模型.............................................. 3
1.3.3 Lindo数据输入与输出................................... 4
1.4 结果分析.................................................... 8
2分配问题案例...................................................... 9
2.1 问题的提出................................................. 10
2.2 问题的分析及求解........................................... 10
2.2.1 问题分析............................................. 10
2.2.2问题求解.............................................. 10
2.3 结果分析................................................... 15
总 结............................................................ 16
参考文献.......................................................... 17
某城市自来水的水源地为A、B、C三个水库,分别由地下管道把水送往该市所辖甲、乙、丙、丁四个区。唯一的例外是C水库与丁区没有地下管道。由于地理位置的差别,各水库通往各区的输水管道经过的涵洞、桥梁、加压站和净水站等设备各不相同,因此该公司对各区的引水管理费(元/千吨)各不相同(见下表)。但是对各区自来水的其他管理费均为45元/千吨,而且对各区用户都按统一标准计费,单价为90元/千吨。目前水库将临枯水期,该公司决策机构正考虑如何分配现有供水量的问题。首先,必须保证居民生活用水和某些重要机关、企业、事业单位用水的基本需求,各区的这部分用水量由下表的“最低需求”行表示,但是拥有一个独立水源的丙区这部分水量可自给自足,无须公司供给。其次,除乙区外,其他三个区都已向公司申请额外再分给如下水量(千吨/天):甲区:20;丙区:30;丁区要求越多越好,无上限。这部分水量包含于“最高需求”行中。
该公司应如何分配供水量,才能在保障各区最低需求的基础上获利最多?并按要求分别完成下列分析:
(1)水库B供应甲区的引水管理费(元/千吨)在何范围内变化时最优运输方案不变?
(2)水库A的供水量在何范围内变化时最优基不变?
(3)乙区的日供水量为80千吨时的最优运输方案。
通过对题目的正确理解和分析,依据题意可以得到在保证各区最低供水量的基础上运费最低,也就是获利最大的模型,以这个模型为基础用Lindo 6.1进行求解,可以得到公司分配供水量的最优决策方案即A、B、C三个水库分别给甲、乙、丙、丁四个区的供水量和公司最小总的引水管理费用,则最大获利为:(用户单价-其他管理费)*总供水量-公司最小总的引水管理费用。然后通过灵敏度分析解决以下三个问题。
(1)水库B供应甲区的引水管理费(元/千吨)在何范围内变化时最优运输方案不变,即当目标函数的系数C在 [初始目标函数的系数-允许变量系数减少的范围,初始目函数的系数+允许变量系数增加的范围] 内变化时,最优基不变,最优解也不变,由于目标函数的系数发生改变了,所以最优值有可能改变。
(2)水库A的供水量在何范围内变化时最优基不变,当约束条件右端项的值在 [初始约束条件右端项的值-允许b值减少的范围,初始约束条件右端项的值+允许b值增加的范围] 内变化时最优基不变,最优解不变。
(3)乙区的日供水量为80千吨时的最优运输方案。乙区的日供水量是第5个约束条件的右端项,将b5改为等于80然后用Lindo 6.1进行求最优方案。
设表示从第i个水库输水到第j个区的供水量, 其中i=1、2、3(1、2、3分别代表A、B、C三个水库);j=1、2、3、4(1、2、3、4分别表示甲、乙、丙、丁四个区)
设Z为总的引水管理费;设Y表示公司的获利。根据题意推理:
A水库到甲区的引水管理费为:
A水库到乙区的引水管理费为:
A水库到丙区的引水管理费为:
A水库到丁区的引水管理费为:
B水库到甲区的引水管理费为:
B水库到乙区的引水管理费为:
B水库到丙区的引水管理费为:
B水库到丁区的引水管理费为:
C水库到甲区的引水管理费为:
C水库到乙区的引水管理费为:
C水库到丙区的引水管理费为:
A水库的供水量为:
B水库的供水量为:
C水库的供水量为:
甲区的最低需求为:
乙区的最低需求为:
丙区的最低需求为:无
丁区的最低需求为:
甲区的最高需求为:
乙区的最高需求为:
丙区的最高需求为:
丁区的最高需求为:无
则得该问题的LP问题为:
将原问题第一、二、三、四、六、七、八个约束条件添加松弛变量、、、、、、;
将原问题第四、五、六个约束条件添加人工变量、、;
将LP问题化为标准形式:
在模型编译框内输入语句如下:
Min 16X11+13X12+22X13+17X14+14X21+13X22+19X23+15X24+19X31+20X32+23X33
ST
X11+X12+X13+X14<50
X21+X22+X23+X24<60
X31+X32+X33<50
X11+X21+X31>30
X12+X22+X32>70
X14+X24>10
X11+X21+X31<50
X13+X23+X33<30
END
选择"是(Y)" 表示同意做敏感性分析运行结果如下图所示:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1480.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 2.000000
X12 50.000000 0.000000
X13 0.000000 22.000000
X14 0.000000 2.000000
X21 30.000000 0.000000
X22 20.000000 0.000000
X23 0.000000 19.000000
X24 10.000000 0.000000
X31 0.000000 5.000000
X32 0.000000 7.000000
X33 0.000000 23.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 50.000000 0.000000
5) 0.000000 -14.000000
6) 0.000000 -13.000000
7) 0.000000 -15.000000
8) 20.000000 0.000000
9) 30.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X11 16.000000 INFINITY 2.000000
X12 13.000000 0.000000 INFINITY
X13 22.000000 INFINITY 22.000000
X14 17.000000 INFINITY 2.000000
X21 14.000000 2.000000 14.000000
X22 13.000000 7.000000 0.000000
X23 19.000000 INFINITY 19.000000
X24 15.000000 2.000000 15.000000
X31 19.000000 INFINITY 5.000000
X32 20.000000 INFINITY 7.000000
X33 23.000000 INFINITY 23.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 50.000000 20.000000 0.000000
3 60.000000 INFINITY 0.000000
4 50.000000 INFINITY 50.000000
5 30.000000 0.000000 30.000000
6 70.000000 0.000000 20.000000
7 10.000000 0.000000 10.000000
8 50.000000 INFINITY 20.000000
9 30.000000 INFINITY 30.000000
b5改为“”然后用Lindo 6.1运行结果如下图所示:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1660.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 2.000000
X12 50.000000 0.000000
X13 0.000000 27.000000
X14 0.000000 2.000000
X21 20.000000 0.000000
X22 30.000000 0.000000
X23 0.000000 24.000000
X24 10.000000 0.000000
X31 10.000000 0.000000
X32 0.000000 2.000000
X33 0.000000 23.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 5.000000
3) 0.000000 5.000000
4) 40.000000 0.000000
5) 0.000000 -19.000000
6) 0.000000 -18.000000
7) 0.000000 -20.000000
8) 20.000000 0.000000
9) 30.000000 0.000000
由输出结果可知:“LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4”表示 LINDO在(用单纯形法)四次迭代或旋转后得到最优解。“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1480.000”表示最优目标值为1480。“VALUE”给出最优解中各变量的值即最优分配供水量方案为:,,,,其余变量的值为0;即A水库输水到乙区50千吨,B水库输入到甲区30千吨,到乙区20千吨,到丁区10千吨。 此时,即最低总的引水管理费为1480元,则最大获利为:。 “REDUCED COST” 给出最优单纯形表中第0行中变量的系数 ( Max型问题). 其中基变量的“REDUCED COST”值应为0,对于非基变量, 相应的“ REDUCED COST”值表示当该非基变量增加一个单位时目标函数增加的量。如本例题中第一行表示“A水库输水到甲区每增加1千吨则公司的引水管理费增加2元”。“SLACK OR SURPLUS” 给出松驰变量的值: 第2、3、5、6、7行松驰变量均为0, 说明对于最优解来讲,五个约束(第2、3、5、6、7行)均取等号。“DUAL PRICES” 给出对偶价格的值: 第2、3、5、6、7行对偶价格分别为 0,0,-14.000000,-13.000000,-15.000000。“DUAL PRICES”值表示当该松驰变量增加一个单位时目标函数增加的量。如本例题中第5行松驰变量增加一个单位时即B水库运输到甲区每增加1千吨则公司的引水管理费减少14元。
灵敏度分析:CURRENT COEF:初始目标函数系数;ALLOWABLE INCREASE:允许变量系数增加的范围;ALLOWABLE DECREASE:允许变量系数减少的范围;CURRENT RHS:初始约束条件右端项的值;ALLOWABLE INCREASE:允许b值增加的范围;ALLOWABLE DECREASE:允许b值减少的范围。当目标函数的系数在 [初始目标函数的系数-允许变量系数减少的范围,初始目函数的系数+允许变量系数增加的范围] 内变化时,最优基不变,最优解也不变。当约束条件右端项的值在 [初始约束条件右端项的值-允许b值减少的范围,初始约束条件右端项的值+允许b值增加的范围] 内变化时最优基不变,最优解不变。
由输出结果可知:(1)水库B供应甲区的引水管理费为,由上列计算结果可得初始目标函数系数为14,允许变量系数增加的范围为:,允许变量系数减少的范围:,所以水库B供应甲区的引水管理费在范围内变化时最优基不变,最优解也不变即最优方案不变。(2)水库A的供水量年是第1个约束条件的右端项,即该问题求的是b1的变化范围,由上列计算结果可得初始约束条件右端项的值为50,允许b值增加的范围为:,允许b值减少的范围为:0,所以水库A的供水量在范围内变化时最优基不变。
由输出结果可知:“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1660.000”表示最优目标值为1660即公司最小总的引水管理费用minZ= 1660.000。“VALUE”给出最优解中各变量的值即最优分配供水量方案为:,,,,,其余变量的值为0即A水库输水到乙区50千吨,B水库输入到甲区30千吨,到乙区20千吨,到丁区10千吨,C水库输水到甲区10千吨。
某大学图书馆聘用四名大学生A,B,C,D值班。大学生值班报酬为10元/小时。该图书馆开放时间为上午9:00至晚上8:00,开放时间内须有且仅须一名学生值班,每名学生每周值班不超过5次,每次值班不少于2小时,每天安排值班的学生不超过3人。已知每人每天最多可安排的值班时间见下表。
该图书馆如何安排人员值班表,使得支付的报酬最少?
通过对题目的正确理解和分析,依据题意可以得到在保证图书馆的规定要求和学生值班时间最少,也就是图书馆支付报酬最少的模型,以这个模型为基础用Lingo进行求解,可以得到学生值班最优分配方案和图书馆支付最少报酬。
用LINGO解决分配问题,在LINGO中输入程序如下:
model:
sets:
xuesheng/1..4/:;
week/1..7/:;
worktime(xuesheng,week):wtime,x,y;
endsets
data:
wtime = 5 8 6 0 7 4 8
5 6 0 6 0 8 5
4 4 3 8 5 8 0
5 3 6 2 4 2 8;
enddata
min = 10 * @sum(worktime(i,j):x(i,j)) ;
@for(worktime: x >= y * 2);
@for(xuesheng(i):@sum(week(j):y(i,j)) <= 5);
@for(week(j):@sum(xuesheng(i):y(i,j)) <= 3);
@for(week(j):@sum(xuesheng(i):x(i,j)) >= 11);
@for(worktime:x <= wtime);
@for(worktime:@gin(x));
end
运行后得到输出结果如下:
Global optimal solution found.
Objective value: 770.0000
Objective bound: 770.0000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
WTIME( 1, 1) 5.000000 0.000000
WTIME( 1, 2) 8.000000 0.000000
WTIME( 1, 3) 6.000000 0.000000
WTIME( 1, 4) 0.000000 0.000000
WTIME( 1, 5) 7.000000 0.000000
WTIME( 1, 6) 4.000000 0.000000
WTIME( 1, 7) 8.000000 0.000000
WTIME( 2, 1) 5.000000 0.000000
WTIME( 2, 2) 6.000000 0.000000
WTIME( 2, 3) 0.000000 0.000000
WTIME( 2, 4) 6.000000 0.000000
WTIME( 2, 5) 0.000000 0.000000
WTIME( 2, 6) 8.000000 0.000000
WTIME( 2, 7) 5.000000 0.000000
WTIME( 3, 1) 4.000000 0.000000
WTIME( 3, 2) 4.000000 0.000000
WTIME( 3, 3) 3.000000 0.000000
WTIME( 3, 4) 8.000000 0.000000
WTIME( 3, 5) 5.000000 0.000000
WTIME( 3, 6) 8.000000 0.000000
WTIME( 3, 7) 0.000000 0.000000
WTIME( 4, 1) 5.000000 0.000000
WTIME( 4, 2) 3.000000 0.000000
WTIME( 4, 3) 6.000000 0.000000
WTIME( 4, 4) 2.000000 0.000000
WTIME( 4, 5) 4.000000 0.000000
WTIME( 4, 6) 2.000000 0.000000
WTIME( 4, 7) 8.000000 0.000000
X( 1, 1) 5.000000 10.00000
X( 1, 2) 8.000000 10.00000
X( 1, 3) 6.000000 10.00000
X( 1, 4) 0.000000 10.00000
X( 1, 5) 7.000000 10.00000
X( 1, 6) 4.000000 10.00000
X( 1, 7) 8.000000 10.00000
X( 2, 1) 5.000000 10.00000
X( 2, 2) 3.000000 10.00000
X( 2, 3) 0.000000 10.00000
X( 2, 4) 6.000000 10.00000
X( 2, 5) 0.000000 10.00000
X( 2, 6) 7.000000 10.00000
X( 2, 7) 3.000000 10.00000
X( 3, 1) 0.000000 10.00000
X( 3, 2) 0.000000 10.00000
X( 3, 3) 3.000000 10.00000
X( 3, 4) 5.000000 10.00000
X( 3, 5) 4.000000 10.00000
X( 3, 6) 0.000000 10.00000
X( 3, 7) 0.000000 10.00000
X( 4, 1) 1.000000 10.00000
X( 4, 2) 0.000000 10.00000
X( 4, 3) 2.000000 10.00000
X( 4, 4) 0.000000 10.00000
X( 4, 5) 0.000000 10.00000
X( 4, 6) 0.000000 10.00000
X( 4, 7) 0.000000 10.00000
Y( 1, 1) 0.000000 0.000000
Y( 1, 2) 0.000000 0.000000
Y( 1, 3) 0.000000 0.000000
Y( 1, 4) 0.000000 0.000000
Y( 1, 5) 0.000000 0.000000
Y( 1, 6) 0.000000 0.000000
Y( 1, 7) 0.000000 0.000000
Y( 2, 1) 0.000000 0.000000
Y( 2, 2) 0.000000 0.000000
Y( 2, 3) 0.000000 0.000000
Y( 2, 4) 0.000000 0.000000
Y( 2, 5) 0.000000 0.000000
Y( 2, 6) 0.000000 0.000000
Y( 2, 7) 0.000000 0.000000
Y( 3, 1) 0.000000 0.000000
Y( 3, 2) 0.000000 0.000000
Y( 3, 3) 0.000000 0.000000
Y( 3, 4) 0.000000 0.000000
Y( 3, 5) 0.000000 0.000000
Y( 3, 6) 0.000000 0.000000
Y( 3, 7) 0.000000 0.000000
Y( 4, 1) 0.000000 0.000000
Y( 4, 2) 0.000000 0.000000
Y( 4, 3) 0.000000 0.000000
Y( 4, 4) 0.000000 0.000000
Y( 4, 5) 0.000000 0.000000
Y( 4, 6) 0.000000 0.000000
Y( 4, 7) 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 770.0000 -1.000000
2 5.000000 0.000000
3 8.000000 0.000000
4 6.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 7.000000 0.000000
7 4.000000 0.000000
8 8.000000 0.000000
9 5.000000 0.000000
10 3.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 6.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 7.000000 0.000000
15 3.000000 0.000000
16 0.000000 0.000000
17 0.000000 0.000000
18 3.000000 0.000000
19 5.000000 0.000000
20 4.000000 0.000000
21 0.000000 0.000000
22 0.000000 0.000000
23 1.000000 0.000000
24 0.000000 0.000000
25 2.000000 0.000000
26 0.000000 0.000000
27 0.000000 0.000000
28 0.000000 0.000000
29 0.000000 0.000000
30 5.000000 0.000000
31 5.000000 0.000000
32 5.000000 0.000000
33 5.000000 0.000000
34 3.000000 0.000000
35 3.000000 0.000000
36 3.000000 0.000000
37 3.000000 0.000000
38 3.000000 0.000000
39 3.000000 0.000000
40 3.000000 0.000000
41 0.000000 0.000000
42 0.000000 0.000000
43 0.000000 0.000000
44 0.000000 0.000000
45 0.000000 0.000000
46 0.000000 0.000000
47 0.000000 0.000000
48 0.000000 0.000000
49 0.000000 0.000000
50 0.000000 0.000000
51 0.000000 0.000000
52 0.000000 0.000000
53 0.000000 0.000000
54 0.000000 0.000000
55 0.000000 0.000000
56 3.000000 0.000000
57 0.000000 0.000000
58 0.000000 0.000000
59 0.000000 0.000000
60 1.000000 0.000000
61 2.000000 0.000000
62 4.000000 0.000000
63 4.000000 0.000000
64 0.000000 0.000000
65 3.000000 0.000000
66 1.000000 0.000000
67 8.000000 0.000000
68 0.000000 0.000000
69 4.000000 0.000000
70 3.000000 0.000000
71 4.000000 0.000000
72 2.000000 0.000000
73 4.000000 0.000000
74 2.000000 0.000000
75 8.000000 0.000000
由Lingo输出表“Objective value: 770.0000”可知图书馆安排人员值班支付报酬最少为:770(元)。
本次研究结果表明只要经过合理与科学的预测和计算,并对各种约束条件进行全面考虑,剩下的繁琐的计算工作可由计算机完成,不仅速度快,而且精确度高。从结果可以看出,公司不会因为各种原料用多还是用少,运输成本变化,供需变化而困惑。在现代社会中,信息与科学是最重要的,在预测时我们用到了信息,在调查基础数据和求解规划中我们做到了科学。因此该研究不仅解决了提出的问题,而且在一定程度上对其它相关方面的规划有所启示,从而可以带动公司的发展。
在实施方案的过程中,一定要根据各个约束条件的限制结合各种需求的实际情况进行搭配。公司可以根据要求进行运输计划及分配计划,达到成本最低,但一切事物总是在变化发展中前进的,如生产量和需求量会出现变化,如果遇到未曾预料到的事情,那也是无可厚非的,对于出现的事情要进行客观分析,寻求最优解决方案(使用Lindoor、Lingo软件)。
[1]教材编写组.运筹学.第三版.北京:清华大学出版社,2001
[2]韩中庚.实用运筹学 模型、方法与计算.北京:清华大学出版社,2007
[3]谢金星,等.优化模型与LINDO/LINGO软件.北京:清华大学出版社,2005
[4]胡运权,等.运筹学基础及应用.第五版.北京:高等教育出版社,2008
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