高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合

一、集合有关概念

1. 集合的中元素的三个特性：_________、_________、_________。 ◆ 注意：解决集合问题时要验证互异性。

2. 集合的表示方法：__________、__________、 __________。 ◆ 注意：看集合时要先看代表元素。 ? 注意：常用数集及其记法：

自然数集 记作：____; 正整数集 记作：____ 整数集 记作：____ 有理数集记作：____ 实数集记作：____ 3. 集合的分类：_______、________、__________. 4.集合的基本关系

① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作__________

③如果 A?B, B?C ,那么______

④如果A?B 同时 B?A 那么_______

5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为_____

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

◆ 注意：在遇到A?B、A?B=A、A?B=B、A?B=? 时，一定要考虑A是否为空集。? 有n个元素的集合，含有______个子集，_______个真子集

第二章 函数

一、函数的有关概念

1．判断一个对应关系是否为函数（映射），则需看A中的任何一个元素在B中是否有唯一的元素和它对应。 ◆ 注意：函数是两个非空数集的对应；

映射是两个非空集合的对应。

2．求函数定义域，其实就是求使函数式子有意义的x的范围，其准则有：

(1)分式的________________； (2)偶次方根的________________； (3)对数式的_________________；

(4)指数、对数式的底________________.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底____________，

3．两个函数是否为同一函数主要看定义域和对应关系是否相同，与自变量用什么字母表示没有关系。 二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

利用定义判断函数单调性的步骤为：

(1)取值：在给定区间上任取两个值x1、x2，且x1＜x2；

(2)作差变形：计算f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形； (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论； (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论．

◆ 注意：第二步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积的形式或几个完全平方的形式．

2.函数的奇偶性（整体性质）

（1）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于-_______对称；奇函数的图象关于_______对称． （2）判断函数奇偶性的步骤是：

(a)求函数的定义域，当定义域不关于原点对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，再判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；

(b)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数； 当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； 当f(－x)≠±f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数 ◆ 注意：奇偶函数的简单性质

(1)奇函数在x＝0处有定义时，必有f(0)＝0； (2)奇函数在关于原点对称的集合上单调性一致； 偶函数在关于原点对称的集合上单调性相反．

第三章 指数函数与对数函数

一、指数函数

（一）指数幂的运算 1．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a

m?__________(a?0,m,n?N*

,n?1)，

a

?

mn

?_____?_______(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2．实数指数幂的运算性质

（1）ar

·ar

?ar?s

(a?0,r,s?R)

（2）(ar)s?ars

(a?0,r,s?R)

（3）

(ab)r?aras(a?0,r,s?R) （4）arr?s

a

s?a

(a?0,r,s?R)

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数___________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为_______． ◆注意：指数函数的底数a?0,a?1 2、指数函数的图象和性质

3.y?ax(a?0,a?1)与y?bx(b?0,b?1)的图象关系

在第一象限，底大图高；在第二象限，底大图底。 4.比较两个幂的大小的常用方法：

(1)若底数相同，指数不同：则利用指数函数的单调性来判断．

(2)若底数不同，指数相同：则当指数大于零时，底大值大；当指数小于零时，底大值小。(3)若底数不同，且指数也不同：则可先化为同底或同指的两个幂，或者

通过中间值来比较。 二、对数函数

（一）对数 对数的概念：

一般地，如果ax

?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数记为________ ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数记为________．

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： ○

1 loga(M·N)?_____________； ○

2 logM

aN

?___________________； ○

3 lognaM=________________ (n?R)． 注意：换底公式

logab?__________

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?_______；（2）logab?________．

（三）对数函数 1、对数函数的概念：函数________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_________．

◆注意：指数函数的底数a?0,a?1，真数大于零。

3.?loga(?0,?1,?0)

y?logbx(b?0,b?1,x?0)的图象关系

当x>1时，底数越大，图象越接近x轴；

当0<x<1时，底数越小，图象越接近x轴。 ◆注意：指数函数

y?ax(a?0,a?1)与对数函数

y?logax(a?0,a?1)互为反函数。其图像关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，

其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 3.常见幂函数的图象

4.函数图象的变换 (1)平移变换： ①上下平移(b＞0)

向上平移

y＝f(x)的图像―――――→ y＝f(x)＋b的图像．

b个单位

向下平移

y＝f(x)的图像―――――→ y＝f(x)－b的图像．

b个单位

②左右平移(b＞0)

向左平移

y＝f(x)的图像―――――→ y＝f(x＋b)的图像．

b个单位

向右平移

y＝f(x)的图像

――――――→ y＝f(x－b)的图像．

b个单位

(2)对称变换：

关于y轴对称

y＝f(x)的图像――――――――――→ y＝f(－x)的图像． 关于x轴对称y＝f(x)的图像――――――――――→y＝－f(x)的图像． 关于原点对称

y＝f(x)的图像

―――――――――――→y＝－f(－x)的图像．

(2)翻折变换：

保留y轴右边部分，并作其关于y轴对称图像

y＝f(x)的图像――――――――――――――――――――――――――→y＝f(|x|)的图像．去掉原图像y轴左边部分保留x轴上方图像

y＝f(x)的图像

――――――――――――――→y＝|f(x)|的图像．

将x轴下方图像翻折上去

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：函数y?f(x)的图像与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点

?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）不能求根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，或利用函数的零点存在性定理找零点个数．

4、二次函数的零点：二次函数y?ax2

?bx?c(a?0)． （1）△＞０，方程ax2

?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax2

?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程ax2?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

 

第二篇：高一数学必修二各章知识点总结1

数学必修2知识点

1. 多面体的面积和体积公式

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.

4、平面的基本性质：

公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.             

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.             

5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

数学符号表示：

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

数学符号表示：

7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

数学符号表示：

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.                             符号表示：

（3）平行于同一个平面的两个平面平行.                             符号表示：

面面平行的性质定理：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.

（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

数学符号表示：

（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.       

（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.   

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.            

9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

数学符号表示：

10、直线的倾斜角和斜率：

（1）设直线的倾斜角为，斜率为，则.当时，斜率不存在.

（2）当时，；当时，.

（3）过，的直线斜率.

11、两直线的位置关系：

两条直线，斜率都存在，则：

（1）∥且

（2）（当的斜率存在的斜率不存在时）

（3）与重合且

12、直线方程的形式：

（1）点斜式：（定点，斜率存在）  （2）斜截式：（斜率存在，在轴上的截距）

（3）两点式：（两点）  （4）一般式：

（5）截距式：（在轴上的截距，在轴上的截距）

13、直线的交点坐标：

设，则：

（1）与相交；（2）∥  ；（3）与重合.

14、两点，间的距离公式

原点与任一点的距离

15、点到直线的距离

（1）点到直线的距离

（2）点到直线的距离

（3）点到直线的距离

16、两条平行直线与间的距离

17、过直线与交点的直线方程为

18、与直线平行的直线方程为

与直线垂直的直线方程为

19、中心对称与轴对称：

（1）中心对称：设点关于点对称，则

（2）轴对称：设关于直线对称，则：

a、时，有且；          b、时，有且

c、时，有

20、圆的标准方程：（圆心，半径长为）

圆心，半径长为的圆的方程。

21、点与圆的位置关系：

设圆的标准方程，点，将M带入圆的标准方程，结果>r2在外，<r2在内

22、圆的一般方程：

（1）当时，表示以为圆心，为半径的圆；

（2）当时，表示一个点；（3）当时，不表示任何图形.

23、直线与圆的位置关系：

几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算△>0、=0、<0

.

24、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）

（1）相离；   （2）外切；   （3）相交；
（4）内切；  （5）内含.

25、过两圆与交点的圆的方程.

当时，即两圆公共弦所在的直线方程.

26、点，间的距离，