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授课人：公 开 课 教 案

学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？

稍作提示容易发现中心对称性。

教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是xa22+yb22=1。

教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。 教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。

为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）

教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？

学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明----- 学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。

教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。

请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。

教师对学生的证明进行评价。

教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示对称性并总结：方程xa22+yb22=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称

中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).

教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。

投影显示下图及问题

问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？

指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。

2.顶点的发现与确定

1

教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=±a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。

3.图形的范围

教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、 B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？

学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆 是有范围的。 教师：下面我们想办法再用方程xa22+yb22=1(a>b>0)来证明这一结论的正确

性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。

从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。 由xa22+yb22=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，

x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。

4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗？

同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。

请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？

课件动画演示

此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。 通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。

教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形 里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。 即当比值ba越小，椭圆越扁；比值越大，椭圆越接近于圆。 ab

2

由于

c

ba

=

a?ca

22

=

a?ca

2

22

=?()2，所以当

a

cca

越大时，越小，椭圆

a

ca

b

越扁；当越小时，越大，椭圆越接近于圆。把比值e=

a

a

b

叫椭圆的离心率，

分析出离心率的范围：0＜e＜1。

结论：椭圆在- a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。

由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什

a

ab

c

么定义

ca

是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定

c

椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到还有更重要的几何意义。

a

三．巩固与创新应用 例1求椭圆

x

2

25

+

y

2

16

=1的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。

本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师

介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。

解：由于a=5, b=4 ，c=25?16=3

椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8 离心率e=

ca

3

=

5

因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是

(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)

教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）

首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。

教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。 学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。

教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法 画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。

练习：如果把例1中的椭圆方程改为

x

2

16

+

y

2

25

=1，则长轴长、短轴长、离心

率和顶点有什么变化。

此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过与上题做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐标系的选取无关。

3

学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书）

例2 我国发射的“神舟五号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦 点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、

A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）

设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。

师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。

教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。

怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为xa22+yb22=1

(a>b>0)。

下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？

学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。

｜F2 A｜=6371+200 ，｜F2 B｜=6371+350

又∵｜F2 A｜=｜o A｜-｜oF2｜=a-c

因此,有 a-c=｜o A｜-｜oF2｜=｜F2 A｜=6371+200=6571

同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721

解得 a=6646， c=75

b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飞船的轨道方程为x2

26646+y226645.58=1

学生可能出现的另一种解法：

由2a =｜AB｜=｜BN｜+｜NM｜+｜MA｜

=350+2×6371+200

∴ a =6646

c =｜oF2｜=｜o A｜-｜F2 A｜

=6646-6371-200=75

以下做法同上。

计算过程由学生用计算器求得。

教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的

轨迹。

四．总结提炼

教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识）

1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。

2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中

4

注意运用。

3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。

五．研究性作业

(1).以椭圆这部分内容为知识背景,以自述体的形式写一篇200字左右数学小短文,题目为《我的自述》，下次课进行展读。（本作业意图是，通过短文的形式让学生反思学习过程，增强对椭圆知识的理解与领悟，提高学生数学表达能力，拓展思维，彰显个性。）

(2).在生活中搜集椭圆图形，把你最喜欢的两个图形建立两种不同形式的标 准坐标系，写出标准方程,指出它们的性质。

(3).自己查阅相关数据，编拟题目，利用椭圆的性质解决一个天体运行中的实际问题。（此题为增强学生的应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。）

六.课外阅读

推荐一本科普读物《探索形状奥秘》。

（本书知识性、趣味兴很强，它图文并茂地揭示了人们日常目睹的各种形状 中蕴涵的科学道理，其中包括椭圆、抛物线等多种曲线。通过阅读欣赏,进一步激发学生对数学的兴趣和探索的欲望，培养学生的科学素养。）

板书设计

5

 

第二篇：椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列命题是真命题的是                                                                                      （    ）

      A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

      B．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆

      C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆

D．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆

2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是  （    ）

A．         B．         C．         D．

3．若方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为                   （    ）

A．（0，+∞）        B．（0，2）           C．（1，+∞）        D．（0，1）

4．设定点F₁（0，－3）、F₂（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是                                                    （    ）

A．椭圆             B．线段           C．不存在               D．椭圆或线段

5．椭圆和具有                                                        （    ）

A．相同的离心率  B．相同的焦点        C．相同的顶点     D．相同的长、短轴

6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为                       （    ）

A．                      B．                    C．                    D．

7．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是                                               （    ）

 A．                   B．                     C．                     D．

8．椭圆上的点到直线的最大距离是                                 （    ）

 A．3                      B．                   C．                   D．

9．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是                                                                                 （    ）

A．               B．                      C．3                  D．4

10．过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P，设直线m的斜率为k₁（），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂的值为        （    ）A．2          B．－2              C．    D．－

二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）

11．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为          ___________     .

12．与椭圆4 x² + 9 y ² = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．

13．已知是椭圆上的点，则的取值范围是________________     ．

14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．(12分)

 

16．已知A、B为椭圆+=1上两点，F₂为椭圆的右焦点，若|AF₂|+|BF₂|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．(12分)

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．  12．   13．      14．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分)  [解析]:由   ，∴椭圆的方程为：或.

16．(12分)  [解析]：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由焦半径公式有a－ex₁+a－ex₂=，∴x₁+x₂=，

即AB中点横坐标为，又左准线方程为，∴，即a=1，∴椭圆方程为x²+y²=1．