小船渡河问题

小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

【例1】一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若，怎样渡河位移最小？

（3）若，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：。

此时，实际速度（合速度）

实际位移（合位移）

（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速度v_合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。因为θ为锐角，，所以只有在时，船头与河岸上游的夹角，船才有可能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即。实际速度（合速度），运动时间

（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如右图所示，设船头v_船与河岸成θ角。合速度v_合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v_水的矢尖为圆心，v_船为半径画圆，当v_合与圆相切时，α角最大，根据，船头与河岸的夹角应为，此时渡河的最短位移：

渡河时间：，

船沿河漂下的最短距离为：

误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。

【练习1】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（    ）

A. 小船渡河的轨迹为曲线

B. 小船到达离河岸处，船渡河的速度为

C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸处，船的渡河速度为

【练习2】小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对岸,试问河宽有多少米?

【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。

图1

解：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图1所示，由此可得。

    【练习3】如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v₁和v₂,则下面说法正确的是(    )

A.物体m 做匀速运动且v₁=v₂

B.物体m 做减速运动且v ₁<v ₂

C.物体m 做匀加速运动且v₁>v₂

D.物体m 做加速运动且v₁>v₂

【练习4】如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为                  （用v、θ表示）

 

【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v₀与v的大小关系是：

A、v₀>v          B、v₀<v  

C、v₀=v          D、以上答案都不对。

 

第二篇：小船过河问题

小船渡河

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

例 1。 一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若v船?v水，怎样渡河位移最小？

（3）若v船?v水，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图1所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1?v船sin?，渡河所需要的时间为t?LLsin??1，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当??90?时，?v1v船sin?

L。

v船（最大）。所以，船头与河岸垂直tmin?

图1

（2）如图2所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cos??v水，即??v水

v船。

图2

因为0?cos??1，所以只有在v船?v水时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若v船?v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图3所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos

??v船

v水

图3 v船船头与河岸的夹角应为??，船沿河漂下的最短距离为： v水

xmin?(v水?v船cos?)?L v船sin?

Lv水L此时渡河的最短位移：s? ?cos?v船

误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。

【模型要点】

处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：

（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。 功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。

【模型演练】

1.（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水?kx，k?4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水d

速度为v0，则下列说法中正确的是（ ）

A. 小船渡河的轨迹为曲线

B. 小船到达离河岸d处，船渡河的速度为2v0 2

C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为v0

答案：A

2．(湖南长沙一中09～10学年高一下学期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是( )

A．河水流动速度对人渡河无任何影响

B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的

C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同

D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移

答案：D

3．(河北正定中学08～09学年高一下学期月考)某河水的流速与离河岸距离的变化关系

如图所示．河宽300，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示．若要使船以最短时间渡河，则(

)

A．船渡河的最短时间是75s

B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C．船在河水中航行的轨迹是一条直线

D．船在河水中的最大速度是5m/s

答案：BD

4．有一小船欲从A处渡河，如图所示，已知河宽为400m，其下游300m处是暗礁浅滩的危险水域，水流速度恒为5m/s，欲使小船能安全到达对岸，求：船相对静水的最小速度应是多少？此时船头的指向与河岸的夹角又是多大？

答案：4m/s 37°

解析：小船要想在到达危险区域之前恰好到达对岸，则其合位移必为OA，如图所示，设水速为v1，小船速度为v2，由平行四边形和几何知识知v2⊥v时v2有最小值，方向如图所示，由图知v2＝v1cosθ，cosθ＝400＝0．

8，即θ＝37°v1＝4m/s. 300＋400