曲线运动习题课

一、船过河模型

1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。

2、若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：

3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间 (d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。

二、绳端问题（绳子末端速度分解）

绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v匀速拉绳子时，求船的速度。

解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：

a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v；

b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为 , 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A却在做变速运动。

绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。 例1、如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大？

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小船渡河问题

小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

【例1】一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若，怎样渡河位移最小？

（3）若，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：。

此时，实际速度（合速度）

实际位移（合位移）

（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速度v_合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。因为θ为锐角，，所以只有在时，船头与河岸上游的夹角，船才有可能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即。实际速度（合速度），运动时间

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【例】

一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是V_水，小船在静水中的速度是v_船，求：

（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？

（2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河？最短位移多大？

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河问题是常见的运动的合成与分解的典型问题，又是小蜡块实验的拓展与延伸。但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。所以使得这部分知识学起来很困难。

在此之前，学生已经必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：

（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

【分析】

小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。但是在现实中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。

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（1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2）三种速度：v₁（船在静水中的速度）、v₂（水流速）、v（船的实际速度）。

（3）三种情景：

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。

②过河路径最短（时）：合速度垂直于河岸，航程最短，。

③过河路径最短（时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v₂矢量末端为圆心，以v₁矢量的大小为半径画弧，从v₂矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。

由图可知：，最短航程：

问题3：小船渡河的最值问题：

一小船渡河，河宽d=180m，水流速度。

（1）若船在静水中的速度为，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

解析：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移。

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小船渡河问题

小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

【例1】一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若，怎样渡河位移最小？

（3）若，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：。

此时，实际速度（合速度）

实际位移（合位移）

（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速度v_合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。因为θ为锐角，，所以只有在时，船头与河岸上游的夹角，船才有可能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即。实际速度（合速度），运动时间

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小船渡河问题

对于平面直角坐标系的建立及应用，在前面教学中多处地方都已经给学生提到，学生已经熟悉。所以说对于刚接触矢量学习不久的高一学生来说，利用平行四边形法则去求解相关问题，就不如利用平面直角坐标系直观、简单。下面我们就利用平面直角坐标系来解决船头不朝河对岸的小船渡河问题。从而让看似学生没有接触过的问题简化成学生已知的问题。

（1）小船船头朝向上游与河岸成

立平面坐标系，把速度夹角，如图8（甲）所示。沿着河岸和垂直河岸方向建分解到坐标轴上，如图8（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度，在Y轴上具有速度。而小船的实际运动是以速度做匀速直线运动到达对岸O点。

注：

（2）小船船头朝向下游与河岸成夹角，如图9（甲）所示。同样的沿着河岸和垂直= 河岸方向建立平面坐标系，把速度

后，小船在X轴上具有速度

速直线运动到达对岸O点。

分解到坐标轴上，如图9（乙）所示。经过标量计算。而小船的实际运动是以做匀，在Y轴上具有速度

注：

总之，万变不离其宗，一切教学活动都应该从学生角度去考虑。让学生从现象去认识本质，又从本质去发现现象。

小船渡河

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

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　　一、按照研究物理问题的方法，先从简单的情况入手

　　在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动（如图1所示）；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动（如图2所示）。而实际上小船的实际运动是这两个运动的合成。但是在现实中由于船头方向的不确定性（如图1所示），使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定（如图3所示），从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。根据研究物理问题的方法，我们从简单的情况入手，先研究船头垂直河岸渡河的问题，如图4所示。

　　二、借助小蜡块实验，从学生已知的实例入手

　　小蜡块的实验是新人教版物理必修2课本上关于运动的合成与分解的演示实验，学生已经掌握，借助它来研究小船渡河问题无疑又给学生铺设了一级台阶。如下图所示。

　　我们根据研究小蜡块的方法与步骤，取地面为参考系，以小船为研究对象来研究小船渡河问题。第一步：如图5（乙）所示，小船在静水中，由动力装置提供速度，垂直河岸做匀速直线运动。第二步：如图6（乙）所示，小船在关闭动力装置的前提下，垂直河岸停靠由于水流作用而具有了速度，从而沿河岸做匀速直线运动。第三步：如图7（乙）所示，我们让小船同时参与上面两个运动，也就是让小船既具有垂直河岸的速度又具有沿河岸的速度。而小船的实际运动是这两个运动的合运动。根据运动的合成与分解，小船的实际运动是以速度做匀速直线运动，从而到达河对岸O点。在这一步教学中，我们还可以借助小蜡块实验的可操作性，类比性地给学生展示小船渡河的各个环节。

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小船渡河问题讲解

一、按照研究物理问题的方法，先从简单的情况入手

在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度V船方向的运动（如图1所示）；另一个是受水流作用使得小船具有速度V水方向的运动（如图2所示）。而实际上小船的实际运动是这两个运动的合成。但是在现实中由于船头方向的不确定性（如图1所示），使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定（如图3所示），从而导致小船渡河问题的复杂化。根据研究物理问题的方法，我们从简单的情况入手，先研究船头垂直河岸渡河的问题，如图4所示。

二、借助小蜡块实验

小蜡块的实验是新人教版物理必修2课本上关于运动的合成与分解的演示实验。如下图所示。

我们根据研究小蜡块的方法与步骤，取地面为参考系，以小船为研究对象来研究小船渡河问题。第一步：如图5（乙）所示，小船在静水中，由动力装置提供速度V船，垂直河岸做匀速直线运动。第二步：如图6所示，小船在关闭动力装置的前提下，垂直河岸停靠由于水流作用而具有了速度V水，从而沿河岸做匀速直线运动。第三步：如图7（乙）所示，我们让小船同时参与上面两个运动，也就是让小船既具有垂直河岸的速度V船又具有沿河岸的速度V水。而小船的实际运动是这两个运动的合运动。根据运动的合成与分解，小船的实际运动是以速度V合做匀速直线运动，从而到达河对岸O点。

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