小船渡河问题讲解

一、按照研究物理问题的方法，先从简单的情况入手

在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度V船方向的运动（如图1所示）；另一个是受水流作用使得小船具有速度V水方向的运动（如图2所示）。而实际上小船的实际运动是这两个运动的合成。但是在现实中由于船头方向的不确定性（如图1所示），使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定（如图3所示），从而导致小船渡河问题的复杂化。根据研究物理问题的方法，我们从简单的情况入手，先研究船头垂直河岸渡河的问题，如图4所示。

二、借助小蜡块实验

小蜡块的实验是新人教版物理必修2课本上关于运动的合成与分解的演示实验。如下图所示。

我们根据研究小蜡块的方法与步骤，取地面为参考系，以小船为研究对象来研究小船渡河问题。第一步：如图5（乙）所示，小船在静水中，由动力装置提供速度V船，垂直河岸做匀速直线运动。第二步：如图6所示，小船在关闭动力装置的前提下，垂直河岸停靠由于水流作用而具有了速度V水，从而沿河岸做匀速直线运动。第三步：如图7（乙）所示，我们让小船同时参与上面两个运动，也就是让小船既具有垂直河岸的速度V船又具有沿河岸的速度V水。而小船的实际运动是这两个运动的合运动。根据运动的合成与分解，小船的实际运动是以速度V合做匀速直线运动，从而到达河对岸O点。

问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？

例1：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小时间是多少，小船实际渡河的位移为多大？

问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？

例2：一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是4m/s，求：（1）欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？

问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？

例3：如图3的乙，一条小船位于100m宽的河岸A点处，从这里向下游1003米处有一危险区，若水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？

三、利用平面直角坐标系入手

（1）小船船头朝向上游与河岸成夹角，如图8（甲）所示。沿着河岸和垂直河岸方向建立平面坐标系，把速度V船分解到坐标轴上，如图8（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度V1，在Y轴上具有速度V水-2。而小船的实际运动是以速度V合做匀速直线运动到达对岸O点。

注： V水-2?V水-V2

例4:一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是4m/s，求：（2）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？

（2）小船船头朝向下游与河岸成?夹角，如图9（甲）所示。同样的沿着河岸和垂直河岸方向建立平面坐标系，把速度V船分解到坐标轴上，如图9（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度V1，在Y轴上具有速度V水?2。而小船的实际运动是以V合做匀速直线运动到达对岸O点。

注：V水?2?V水?V2

课后练习：

1、一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是4m/s，求：欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？

2、在船头始终垂直对岸的情况下，在行驶到河中间时，水流速度突然增大，过河时间如何变化？

3、为了垂直到达河对岸，在行驶到河中间时，水流速度突然增大，过河时间如何变化？

4、如图所示，纤绳以恒定速率V沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，绳与水面夹角为θ时，则船靠岸的速度是 ，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是 。（填：匀速、加速、减速）

5、如图2乙所示，河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？

例1解析：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最小， d即最小时间为tmin?。 v船

d60 ∴tmin??s?15s。 v船4

小船实际渡河的位移SAB?V合tmin?5×15?75(m).

例2解析：当v船>v水时，最短航程等于河宽d。

设船头指向与上游河岸成θ：cos??v水

v船

解：当船头指向斜上游，与岸夹角为?时，合运动垂直河岸，航程最短，数值等于河宽100米。

则cos ? = v13? v24

22合速度：v?v2?v1?42?32?7 过河时间：t?d100100?s? v77

例3解析：为了使小船避开危险区沿直线AB到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB直线时，船速最小，即最小船速为V船?V水sinθ。 由几何关系可知：tan??, θ=300。 3

∴V船?4?sin30??2(m/s).

而船速与水速方向的夹角为90??arcsin

例4解析：

V船?120?。 V水

课后练习参考答案

1、解:当船头垂直河岸时，所用时间最短 时间最短tmin?d100?s?25s v24

22此时合速度v?v1?v2?32?42?5 此时航程s?vt?5?25m?125m

2、不变

3、变长

4、船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形

V定则，有V船cosθ=v，则V船=，即V船 。 加速 减速 cos?

5、解析：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，

小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，

Smin=d=60m。

而V船与河岸的夹角??arccosV船?53?。 V水

这时小船实际渡河的时间t?dd60???15s. V2V船sin?6

 

第二篇：小船渡河