滑块—木板模型的动力学分析

在高三物理复习中，滑块—木板模型作为力学的基本模型经常出现，是直线运动和牛顿运动定律有关知识的巩固和应用。这类问题的分析有利于培养学生对物理情景的想象能力，为后面的综合应用打下良好的基础。滑块—木板模型的常见题型及分析方法如下：

问题1 如图所示：A、B两物体叠放在一起，，它们之间的动摩擦因数为，地面光滑，开始时它们都静止，现给B施加一个水平恒力F，使它们一起向右运动。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

(1)B对A的最大静摩擦力是多少？最大静摩擦力能使A获得的加速度是多少？

 

（2）当F=1N时，B对A的摩擦力为多少？

（3）当F=10N时，B对A的摩擦力为多少？

（4）当F=14N时，B对A的摩擦力为多少？

(5）由以上计算可知：F增大，

(6) 当F=15N时，B对A的摩擦力为多少？你算出的结果是否符合实际？为什么？

（7）要使A相对B静止，F的取值范围是多少？（用表示）

（8）若B与地面之间的动摩擦因数为，要使A相对B静止，F的取值范围是多少？（用表示）；要使A相对B滑动，F的取值范围是多少？（用表示）

　　例1 如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

　

 

　变式1 例1中若拉力F作用在B上呢？如图2所示。

　

变式2 在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

　

　例2 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s通过的位移大小。（g取10m/s²）

 

　　

                                   

　　练习2 如图5所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数，取g=10m/s²，试求：若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

　　

 

方法总结：

　　从以上几例我们可以看到，无论物体的运动情景如何复杂，这类问题的解答有一个基本技巧和方法：在物体运动的每一个过程中，若两个物体的初速度不同，则两物体必然相对滑动；若两个物体的初速度相同（包括初速为0），则要先判定两个物体是否发生相对滑动，其方法是求出不受外力F作用的那个物体的最大临界加速度并用假设法求出在外力F作用下整体的加速度，比较二者的大小即可得出结论。

                                        

1．(多选)如图1所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦．现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为                                                       (　　)．

A．物块先向左运动，再向右运动

B．物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动

C．木板向右运动，速度逐渐变小，直到做匀速运动

D．木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零

2．如图3所示，一质量为mB＝2 kg的木板B静止在光滑的水平面上，其右端上表面紧靠一固定斜面轨道的底端(斜面底端与木板B右端的上表面之间有一段小圆弧平滑连接)，轨道与水平面的夹角θ＝37°.一质量也为mA＝2 kg的物块A由斜面轨道上距轨道底端x0＝8 m处静止释放，物块A刚好没有从木板B的左端滑出．已知物块A与斜面轨道间的动摩擦因数为μ1＝0.25，与木板B上表面间的动摩擦因数为μ2＝0.2，sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，g取10 m/s2，物块A可看作质点．请问：

(1)物块A刚滑上木板B时的速度为多大？

(2)物块A从刚滑上木板B到相对木板B静止共经历了多长时间？木板B有多长？

3．如图4所示，在光滑的水平面上停放着小车B，车上左端有一小物体A，A和B之间的接触面前一段光滑，后一段粗糙，且后一段的动摩擦因数μ＝0.4，小车长L＝2 m，A的质量m_A＝1 kg，B的质量m_B＝4 kg.现用12 N的水平力F向左拉动小车，当A到达B的最右端时，两者速度恰好相等，求A和B间光滑部分的长度．(g取10 m/s²)

 

4.如图所示，长L=1.6m，质量M=3kg的木板静放在光滑水平面上，质量m=1kg、带电量q=+2.5×10-4C的小滑块放在木板的右端，木板和物块间的动摩擦因数μ=0.1，所在空间加有一个方向竖直向下强度为E=4.0×104N/C的匀强电场，如图所示，现对木板施加一水平向右的拉力F．取g=10m/s2，求：
（1）使物块不掉下去的最大拉力F；
（2）如果拉力F=11N恒定不变，小物块所能获得的最大动能．

例1       分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。

　　       解答：物块A能获得的最大加速度为：．

　　       ∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

　　        ．

变式1   解答：木板B能获得的最大加速度为：。

　　      ∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

　　       ．

 变式2   解答：木板B能获得的最大加速度为：

　　设A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为F_m，则：

　　   解得： 

例2    解答：物体放上后先加速：a₁=μg=2m/s²

　　此时小车的加速度为：       

　　当小车与物体达到共同速度时：v_共=a₁t₁=v₀+a₂t₁        　解得：t₁=1s   ，v_共=2m/s

以后物体与小车相对静止： （∵，物体不会落后于小车）

物体在t=1．5s内通过的位移为：s=a₁t₁²+v_共 （t－t₁）+ a₃（t－t₁）²=2．1m

 练习2

    解答略）答案如下：（1）t=1s

课后练习答案

1.解析　由题意，撤掉拉力后，物块和木板系统最终一起匀速运动．因为撤掉拉力时，物块和木板仍有相对运动，说明物块向右的速度比木板的速度小，所以物块水平方向仍受木板向右的滑动摩擦力而向右加速直到匀速运动，A错误，B正确；根据牛顿第三定律可知，木板开始受到物块向左的滑动摩擦力而向右减速直到匀速运动，C正确，D错误．

答案　BC

2、解析　(1)物块A从斜面滑下的加速度为a1，则

mAgsin θ－μ1mAgcos θ＝mAa1，解得a1＝4 m/s2

物块A滑到木板B上的速度为

v1＝＝ m/s＝8 m/s.

(2)物块A在木板B上滑动时，它们在水平方向上的受力大小相等，质量也相等，故它们的加速度大小相等，数值为a2＝＝μ2g＝2 m/s2，

设木板B的长度为L，二者最终的共同速度为v2，在达到最大速度时，木板B滑行的距离为x，利用位移关系得v1t2－a2t－a2t＝L.对物块A有v2＝v1－a2t2，v－v＝－2a2(x＋L)．对木板B有v＝2a2x，联立解得相对滑行的时间和木板B的长度分别为：t2＝2 s，L＝8 m.

答案　(1)8 m/s　(2)2 s　8 m

3.解析　小车B从开始运动到小物体A刚进入小车B的粗糙部分的过程中，因小物体A在小车B的光滑部分不受摩擦力作用，故小物体A处于静止状态．设小车B此过程中的加速度为a1，运动时间为t1，通过的位移为x1，运动的最终速度为v1，则有：a1＝

v1＝a1t1，x1＝a1t

当小物体A进入到小车B的粗糙部分后，设小车B的加速度为a2，小物体A的加速度为a3，两者达到相同的速度经历的时间为t2，且共同速度v2＝a3t2，则有a2＝

a3＝μg，v1＋a2t2＝a3t2

v1t2＋a2t－a3t＝L－x1

综合以上各式并代入数据可得A和B间光滑部分的长度：x1＝0.8 m.

答案　0.8 m

4.解：（1）F最大的时候物块不掉下，必是物块与木板具有共同的最大加速度a1
对物块，最大加速度，a1 =
对整体F =（M+m）a1= 8N   
（2）木板的加速度m/s2=3 m/s2
由
得物块滑过木板所用时间t =s
物块离开木板时的速度v1=a1t =m/s              

 

第二篇：滑块与长木板模型20xx

滑块与长木板模型2014

【例1】木板M静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m能从M上滑落下来，求下列各种情况下力F的大小范围。

【例2】如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量M=4kg，长L=1.4m.木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg，其尺寸远小于L，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，

2g=10m/s，

（1）现用水平向右的恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上滑落下来，求F的大小范围.

（2）若其它条件不变，恒力F=22.8N，且始终作用在M上，求m在M上滑动的时间.

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滑块与长木板模型2014

【例3】质量m=1kg的滑块放在质量为M=1kg的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板长L=75cm，开始时两者都处于静止状态，如图所示，试求：

（1）用水平力F0拉小滑块，使小滑块与木板以相同的速度一起滑动，力F0的最大值应为多少？

（2）用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，在t=0.5s内使滑块从木板右端滑出，力F应为多大？

（3）按第（2）问的力F的作用，在小滑块刚刚从长木板右端滑出时，滑块和木板滑行的距离各为多少？（设m与M之间的最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等）。（取

2g=10m/s）.

【例4】如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为mA＝2.0kg的薄木板A和质量为mB=3 kg的金属块B．A的长度L=2.0m．B上有轻线绕过定滑轮与质量为mC=1.0 kg的物块C相连．B与A之间的滑动摩擦因数 ? =0.10，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力．忽略滑轮质量及与轴间的摩擦．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图），然

2后放手，求经过多长时间t后 B从 A的右端脱离（设 A的右端距滑轮足够远）（取g=10m/s）．

2

滑块与长木板模型2014

例1解析（1）m与M刚要发生相对滑动的临界条件：①要滑动：m与M间的静摩擦力达到最大静摩擦力；②未滑动：此时m与M加速度仍相同。受力分析如图，先隔离m，由牛顿第二定律可得：a=μmg/m=μg

再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a

解得：F0=μ(M+m) g

所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)g

（2）受力分析如图，先隔离M，由牛顿第二定律可得：a=μmg/M

再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a

解得：F0=μ(M+m) mg/M

所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)mg/M

例2[解析]（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力

f=μFN=μmg=4N…………①

滑动摩擦力f是使滑块产生加速度的最大合外力，其最大加速度

a1=f/m=μg=4m/s2 …②

当木板的加速度a2> a1时，滑块将相对于木板向左滑动，直至脱离木板

F-f=m a2>m a1 F> f +m a1=20N …………③

即当F>20N，且保持作用一般时间后，小滑块将从木板上滑落下来。

（2）当恒力F=22.8N时，木板的加速度a2＇，由牛顿第二定律得F-f=Ｍa2＇ 解得：a2＇＝4.7m/s2………④

设二者相对滑动时间为t，在分离之前

小滑块：x1=? a1t2 …………⑤

木板：x1=? a2＇t2 …………⑥

又有x2－x1=L …………⑦

解得：t=2s …………⑧

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滑块与长木板模型2014

例3解析：（1）对木板M，水平方向受静摩擦力f向右，当f=fm=μmg时，M有最大加速度，此时对应的F0即为使m与M一起以共同速度滑动的最大值。

对M，最大加速度aM，由牛顿第二定律得：aM= fm/M=μmg/M =1m/s2 要使滑块与木板共同运动，m的最大加速度am=aM，

对滑块有F0－μmg=mam

所以 F0=μmg+mam=2N 即力F0不能超过2N

（2）将滑块从木板上拉出时，木板受滑动摩擦力f=μmg，此时木板的加速度a2为 a2=f/M=μmg/M =1m/s2. 由匀变速直线运动的规律，有（m与M均为匀加速直线运动）木板位移 x2= ?a2t2 ① 滑块位移 x1= ?a1t2 ②

位移关系 x1－x2=L ③

将①、②、③式联立，解出a1=7m/s2

对滑块，由牛顿第二定律得:F－μmg=ma1 所以 F=μmg+ma1=8N

（3）将滑块从木板上拉出的过程中，滑块和木板的位移分别为

x1= ?a1t2= 7/8m x2= ?a2t2= 1/8m

例四：以桌面为参考系，令aA表示A的加速度，aB表示B、C的加速度，sA和sB分别表示 t时间 A和B移动的距离，则由牛顿定律和匀加速运动的规律可得

mCg-?mBg=（mC+mB）aB

? mBg=mAaA

sB=?aBt2 sA=?aAt2 sB-sA=L

由以上各式，代入数值，可得:t=4.0s

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