高阶导数的求导法则
对高阶导数的求导问题是数学分析中的一个重点及难点,对其求导数具有运算量大、技巧性强的特点,尤其值得归纳与研究,以便找到合适的求解方法,这样才能达到事半功倍,触类旁通的效果。下面就详细阐述几种求解高阶导数的常用方法,希望对大家有所帮助和启发。[7]
1 先拆项再求导法
这种方法适用于这样的一些函数,它们那些经拆项后,变成了易于求解高阶导数的一些基本形式之和,然后利用导数的四则运算中和的法则来分项求导。例如在求有理分式函数的高阶导数时,可先化为部分分式,然后求导。要想熟练的掌握这种方法,就要求我们记得一些基本函数的高阶导数的基本形式,例如下面这些基本形式
;
;
;
;
;
;
。
例3.1.1 求函数的n阶导数。
解 ∵
,
∴
。
例3.1.2 求函数的n阶导数。
解 ∵
;
∴
2 直接利用Leibniz公式求高阶导
Leibniz公式:设与都是阶可导函数,则它们的积函数也阶可导,且成立公式
这里是组合系数。
在利用Leibniz公式求解高阶导数时,要学会灵活地运用,其主要的思想就是将所要求导的函数,化成两个函数乘积的形式,然后利用Leibniz公式。
例3.2.1 验证函数 满足微分方程
并依此求。
解 ,
再两端求导,得
化简,可得
对上式两端求n 阶导数, 利用Leibniz公式, 有
。
可见函数满足所指的微分方程。
在上式中令得递推公式
,
注意到 和 ,
所以, 当为偶数时 ;
当 时, ;
综上, 。
3 用数学归纳法求高阶导数
在求高阶导数时,我们常常是由低阶到高阶逐步求导,先求出函数的前几阶导数,再观察思考,总结归纳,如果发现其中有递推的规律,就可以先列出递推公式,然后用数学归纳法加以证明。
例子3.3.1 试证明:试证明等式 。
证明 当 时, , 等式成立;
当 时 ,, 等式成立;
假设 时等式成立,即
;
;
现来验证时,等式也成立。
。
可见,时,等式也成立。
综上,由数学归纳法可知,等式成立。
4 用递推公式求高阶导
方法要点,当高阶导数无法直接求出时,可考虑先求出导数的递推公式,方法是先求前几阶的导数关系,然后设法将等式作适当处理,使两端同时求导时能得到一般的递推关系。
例3.4.1 设, 求。
解
化简,可得
, (1)
两边再求导并化简,得
, (2)
应用Leibni公式对(2)式两边求阶导数,得
; (3)
在(1)、(2)、(3)中,令,得
, ,
,
从而,有
,
。
综上,有
。
5 利用Taylor级数的展开式求导数
利用Taylor展开的唯一性,可以方便地求出函数在某一点的高阶导数。如果将按的冥展开成冥级数,那么它必定是的Taylor展开式
(1)
因此,若一旦得到展开式
(2)
比较(1)和(2)式,则有
。
例3.5.1 求 在处的阶导数
解 ,
将上式从0积分到,可得
(3)
又 (4)
比较(3)和(4)式 可得
。
考研数学中公式的理解、记忆是最基础的,其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式,希望能帮助考研生更好的复习。
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
其实,考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用,难题异题并不多,只要大家都细心、耐心,都能取得不错的成绩。考研生加油哦!
凯程考研:
凯程考研成立于20##年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;
凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里;
信念:让每个学员都有好最好的归宿;
使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;
激情:永不言弃,乐观向上;
敬业:以专业的态度做非凡的事业;
服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。
特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。
如何选择考研辅导班:
在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。
对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜,成功学员经验谈视频特别多,都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人,占五道口金融学院录取总人数的约50%,五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如,20##年状元武玄宇,20##年状元李少华,20##年状元马佳伟,20##年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连,总计达到150人以上,此外,还有考入北大清华人大法硕的张博等10人,北大法学考研王少棠,北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院,另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人,创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人,中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元,王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元,(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩,凯程辅导班班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。
考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。
王少棠
本科学校:南开大学法学
录取学校:北大法学国际经济法方向第一名
总分:380+
在来到凯程辅导之前,王少棠已经决定了要拼搏北大法学院,他有自己的理想,对法学的痴迷的追求,决定到最高学府北大进行深造,他的北大的梦想一直激励着他前进,在凯程辅导班的每一刻,他都认真听课、与老师沟通,每一个重点知识点都不放过,对于少棠来说,无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通,讲解了自己的考研经验,与广大考北大法学,人大法学、贸大法学等同学们进行了交流,录制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。
王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历,他说:“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方,我有明确的复习目标,有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理,每天6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读,8点开始单词与长难句测试,9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上11点30熄灯睡觉。”
这样的生活,贯穿了我在辅导班的整个过程,王少棠对他的北大梦想是如此的坚持,无疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。
龚辉堂
本科西北工业大学物理
考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)
作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。
在凯程考研辅导班,虽然学习很辛苦,但是每天他都能感觉到自己在进步,改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大,例如公司理财老师,推理演算,非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样,公司理财老师带过很多学生,考的非常好。在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅,经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。在辅导班里,学习成绩显著上升。
在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学习。
在经过暑期严格的训练之后,龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后,最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。
五道口成绩公布,龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训,优秀的学习氛围,让他感觉有质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。
另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。
黄同学(女生)
本科院校:中国青年政治学院
报考院校:中国人民大学金融硕士
总分:跨专业380+
初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力,离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。
黄同学是一个非常腼腆的女孩子,英语基础算是中等,专业课是0基础开始复习,刚刚开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。
初试成绩公布下来,虽然考的不错,班主任老师没有放松对复试的辅导,确保万无一失,拿到录取通知书才是最终的尘埃落地,开始了紧张的复试指导,反复的模拟训练,常见问题、礼仪训练,专业知识训练,每一个细节都训练好之后,班主任终于放心地让她去复试,果然,她以高分顺利通过复试,拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。
张博,从山东理工大学考入北京大学法律硕士,我复习的比较晚,很庆幸选择了凯程,法硕老师讲的很到位,我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功,也祝愿凯程越办越好。
张亚婷,海南师范大学小学数学专业,考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向,成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。
孙川川,西南大学考入中国传媒大学艺术硕士,播音主持专业。在考研辅导班,进步飞快,不受其他打扰,能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责,真的很感谢他们。
在凯程考研辅导班,他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说:考取人大,是我的梦想,我一直努力,肯定能够成功的,只要我们不放弃,不抛弃,并且一直在努力前进创造成功的条件,每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信,每个人都能够成功。
一总论一般来说,导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定,但有相当的规律可循,所以在此我进行了一个答题方法的总结。二…
《函数与导数解题方法知识点技巧总结》1.高考试题中,关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型:(1)求曲线y?f(x)在某点出…
函数与导数解题方法知识点技巧总结1.高考试题中,关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型:(1)求曲线y?f(x)在某点出的切…
导数的基础知识一导数的定义11函数yfx在xx0处的导数f39x0y39xxlimfx0xfx0xx02函数yfx的导数f39xy…
最精最全的函数与导数解题方法知识点技巧总结1高考试题中关于函数与导数的解答题从宏观上有以下题型1求曲线yfx在某点出的切线的方程2…