时域采样与频域采样

10.2.1 实验指导

1.       实验目的

 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

2.       实验原理与方法

 时域采样定理的要点是：

a)       对模拟信号以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率（）为周期进行周期延拓。公式为：

  

b)  采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的

   频谱不产生频谱混叠。

 利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

 理想采样信号和模拟信号之间的关系为：

          

对上式进行傅立叶变换，得到：

          

          

在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此：

           

上式中，在数值上＝，再将代入，得到：

                                           

上式的右边就是序列的傅立叶变换，即

                                            

上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用代替即可。

   频域采样定理的要点是：

a)       对信号x(n)的频谱函数X(e^jω)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到

则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：

               

b)       由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果N>M，比原序列尾部多N-M个零点；如果N<M，z则=IDFT[]发生了时域混叠失真，而且的长度N也比x(n)的长度M短，因此。与x(n)不相同。

   在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。

   对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。

3.       实验内容及步骤

（1）时域采样理论的验证。

给定模拟信号，                     

式中A=444.128，=50π，=50πrad/s，它的幅频特性曲线如图10.2.1

          

                  图10.2.1  的幅频特性曲线

    现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

    安照的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即=1kHz，300Hz，200Hz。观测时间选。

   为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用，，表示。

       

因为采样频率不同，得到的，，的长度不同， 长度（点数）用公式计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。

X(k)=FFT[x(n)] ，  k=0,1,2,3,-----,M-1

式中k代表的频率为 。

要求： 编写实验程序，计算、和的幅度特性，并绘图显示。观察分析频谱混叠失真。

（2）频域采样理论的验证。

给定信号如下：

  

编写程序分别对频谱函数在区间上等间隔采样32

和16点，得到：

             

   

再分别对进行32点和16点IFFT，得到：

   

   

分别画出、的幅度谱，并绘图显示x(n)、的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。

① 直接调用MATLAB函数fft计算就得到在的32点频率域采样

② 抽取的偶数点即可得到在的16点频率域采样，即。

3 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是在的16点频率域采样。

   4．思考题：

 如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱在上的N点等间隔采样，当N<M时， 如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？

5. 实验报告及要求

a)       运行程序打印要求显示的图形，。

        b) 分析比较实验结果，简述由实验得到的主要结论

c) 简要回答思考题

d) 附上程序清单和有关曲线。

10.2.2 实验程序清单

1 时域采样理论的验证程序清单

% 时域采样理论验证程序exp2a.m

Tp=64/1000;                  %观察时间Tp=64微秒

%产生M长采样序列x(n)

% Fs=1000;T=1/Fs;     

Fs=1000;T=1/Fs;

M=Tp*Fs;n=0:M-1;

A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;

xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);

Xk=T*fft(xnt,M);  %M点FFT[xnt)]

yn='xa(nT)';subplot(3,2,1);

tstem(xnt,yn);               %调用自编绘图函数tstem绘制序列图

box on;title('(a) Fs=1000Hz');

k=0:M-1;fk=k/Tp;

subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])

%=================================================

% Fs=300Hz和 Fs=200Hz的程序与上面Fs=1000Hz完全相同。

2 频域采样理论的验证程序清单

%频域采样理论验证程序exp2b.m

M=27;N=32;n=0:M;

%产生M长三角波序列x(n)

xa=0:floor(M/2);  xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];

Xk=fft(xn,1024);     %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF

X32k=fft(xn,32)      ;%32点FFT[x(n)]

x32n=ifft(X32k);     %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)

X16k=X32k(1:2:N);         %隔点抽取X32k得到X16(K)

x16n=ifft(X16k,N/2);      %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)

subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on

title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])

k=0:1023;wk=2*k/1024;        %

subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');

xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])

k=0:N/2-1;

subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on

title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])

n1=0:N/2-1;

subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on

title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])

k=0:N-1;

subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on

title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])

n1=0:N-1;

subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on

title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])

10.2.3 实验程序运行结果

1 时域采样理论的验证程序运行结果exp2a.m如图10.3.2所示。由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。

图10.2.2

2 时域采样理论的验证程序exp2b.m运行结果如图10.3.3所示。

图10.3.3

该图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(e^jω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N点IDFT[]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：

由于N<M，所以发生了时域混叠失真，因此。与x(n)不相同，如图图10.3.3(c)和(d)所示。当N=32时，如图图10.3.3(c)和(d)所示，由于N>M，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此。与x(n)相同。

         10.2.4  简答思考题

 先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，

再计算N点DFT则得到N点频域采样：

 

第二篇：实验二时域采样与频域采样

实验二：时域采样与频域采样

一  实验目的

时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用

二  实验原理 

1 时域采样定理

对模拟信号以T进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率为周期进行周期延拓，公式为：

利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。

理想采样信号和模拟信号之间的关系为：

          

对上式进行傅里叶变换，得到：

在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此:

上式中，在数值上，再将代入，得到：

上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量用代替即可。

2 频域采样定理

对信号的频谱函数在[0，2]上等间隔采样N点，得到

                

则有：        

即N点得到的序列就是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列，

因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M（即）。在满足频率域采样定理的条件下，就是原序列。如果，则比原序列尾部多个零点，反之，时域发生混叠，与不等。

对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。

三  实验内容

1.时域采样实验:

%时域采样实验

A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;

Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;      %观察时间，Tp=64ms

T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;               %不同的采样频率

n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;  %产生不同的长度区间n1,n2,n3

x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);       %产生采样序列x1(n)

x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);       %产生采样序列x2(n)

x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);       %产生采样序列x3(n)

f1=fft(x1,length(n1));                   %采样序列x1(n的FFT变换

f2=fft(x2,length(n2));                   %采样序列x2(n)的FFT变换

f3=fft(x3,length(n3));                   %采样序列x3(n)的FFT变换

k1=0:length(f1)-1;

fk1=k1/Tp;                               %x1(n)的频谱的横坐标的取值

k2=0:length(f2)-1;

fk2=k2/Tp;                               %x2(n)的频谱的横坐标的取值

k3=0:length(f3)-1;

fk3=k3/Tp;                               %x3(n)的频谱的横坐标的取值

subplot(3,2,1)

stem(n1,x1,'.')    %此处也可用stem(n1,x1,'.')

title('(1)Fs=1000Hz');

xlabel('n1');

ylabel('x1(n)');

grib on;                                 %添加网络线

subplot(3,2,3)

stem(n2,x2,'.')

title('(3)Fs=300Hz');

xlabel('n2');

ylabel('x2(n)');

grib on;

subplot(3,2,5)

stem(n3,x3,'.')

title('(5)Fs=200Hz');

xlabel('n3');

ylabel('x3(n)');

grib on;

subplot(3,2,2)

plot(fk1,abs(f1))

title('(2) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');

xlabel('f(Hz)');

ylabel('幅度')

grib on;

subplot(3,2,4)

plot(fk2,abs(f2))

title('(4) FT[xa(nT)],Fs=300Hz');

xlabel('f(Hz)');

ylabel('幅度')

grib on;

subplot(3,2,6)

plot(fk3,abs(f3))

title('(6) FT[xa(nT)],Fs=200Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

grib on;

时域采样波形：

2. 频域采样实验:

%频域采样实验

M=27;N=32;n=0:M;  %产生M长三角波序列x(n) 

xa=0:floor(M/2); %floor是向下取整 例如floor(2.5)=2

xb= ceil(M/2)-1:-1:0; %ceil(M/2)是取大于等于M/2的最小整数

xn=[xa,xb]; 

Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF

X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)] 

x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)

X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)

x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)

subplot(3,2,2);

stem(n,xn,'.');

box on 

title('(2) 三角波序列x(n)');

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

axis([0,32,0,20])

k=0:1023;

wk=2*k/1024;

subplot(3,2,1);

plot(wk,abs(Xk));

title('(1)FT[x(n)]'); 

xlabel('\omega/\pi');

ylabel('|X(e^j^\omega)|');

axis([0,1,0,200])

k=0:N/2-1; 

subplot(3,2,3);

stem(k,abs(X16k),'.');

box on 

title('(3) 16点频域采样');

xlabel('k');

ylabel('|X_1_6(k)|');

axis([0,8,0,200])

n1=0:N/2-1; 

subplot(3,2,4);

stem(n1,x16n,'.');

box on 

title('(4) 16点IDFT[X_1_6(k)]');

xlabel('n');

ylabel('x_1_6(n)');

axis([0,32,0,20])

k=0:N-1; 

subplot(3,2,5);

stem(k,abs(X32k),'.');

box on 

title('(5) 32点频域采样');

xlabel('k');

ylabel('|X_3_2(k)|');

axis([0,16,0,200])

n1=0:N-1; 

subplot(3,2,6);

stem(n1,x32n,'.');

box on 

title('(6) 32点IDFT[X_3_2(k)]');

xlabel('n');

ylabel('x_3_2(n)');

axis([0,32,0,20])

频域采样波形：

 

    

    

四 思考题

如果序列的长度为M，希望得到其频谱在[0，2]上N点等间隔采样，当时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？

答：n<m时，频域抽样不够密，（x）n以周期进行延拓，频域产生混叠，抽样信号不能还原原信号。可将m分为n长度的k段，不足时域补零。分段进行DFT。此时DFT点数最少为N次。

五 实验报告及要求

（1）由上图可得：时域采样，对连续的信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱已采样信号为周期进行周期性的延拓形成的。

（2）由上图可得：时域采样，采样频率越高，时域内信号分辨率就越高，采集到的信号就越接近原始信号，在频谱上的频带就越宽。

这有利于后期频域分析相位分量的相位改变是不影响该波的频率成分和幅值大小，也就是说，在幅频内的本质是没有发生改变的，所以最终合成的波形幅值频谱是不会改变的