时域采样与频域采样实验报告

姓名：   学号：

一、实验目的

时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

二、实验原理及方法

1、时域采样定理的要点：

①对模拟信号Xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率Ωs（Ωs=2π/T）为周期进行周期延拓。公式为：

  

②采样频率Ωs必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

 理想采样信号和模拟信号xa(t)之间的关系为：

           

对上式进行傅立叶变换，得到：

在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此：

上式中，在数值上xa(nT)＝x(n)，再将ω=ΩT代入，得到：

                                                        

上式的右边就是序列的傅立叶变换，即

上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ωΩ用ΩT代替即可。

2、频域采样定理的要点：

①对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到

则N点IDFT[XN(k)]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：

               

②由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[XN(k)]得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果N>M，xN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果N<M，z则xN(n)=IDFT[XN(k)]发生了时域混叠失真，而且xN(n)的长度N也比x(n)的长度M短，因此。xN(n)与x(n)不相同。

    在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。

    对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。

三、实验内容及步骤

1、时域采样理论的验证

给定模拟信号，

                     

式中A=444.128，α=50π，Ω0=50πrad/s。

现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1kHz，300Hz，200Hz。观测时间选Tp=64ms。

    为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)，x2(n)，x3(n)表示。

       

因为采样频率不同，得到的x1(n)，x2(n)，x3(n)的长度不同， 长度（点数）用公式N=Tp×Fs计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。

X(k)=FFT[x(n)] ，  k=0,1,2,3,-----,M-1

式中k代表的频率为 。

要求： 编写实验程序，计算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并绘图显示

析频谱混叠失真。

程序：

A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;

Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;

T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;

n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;

x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);

x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);

x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);

f1=fft(x1,length(n1));

f2=fft(x2,length(n2));

f3=fft(x3,length(n3));

k1=0:length(f1)-1;

fk1=k1/Tp;

k2=0:length(f2)-1;

fk2=k2/Tp;

k3=0:length(f3)-1;

fk3=k3/Tp;

subplot(3,2,1)

stem(n1,x1,'.')

title('(a)Fs=1000Hz');

xlabel('n');ylabel('x1(n)');

subplot(3,2,3)

stem(n2,x2,'.')

title('(b)Fs=300Hz');

xlabel('n');ylabel('x2(n)');

subplot(3,2,5)

stem(n3,x3,'.')

title('(c)Fs=200Hz');

xlabel('n');ylabel('x3(n)');

subplot(3,2,2)

plot(fk1,abs(f1))

title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

subplot(3,2,4)

plot(fk2,abs(f2))

title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

subplot(3,2,6)

plot(fk3,abs(f3))

title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')   

实验图像：

(1)采样频率Fs=1KHZ，图（a1）的横坐标是n，纵坐标是采样序列，图（a2）的横坐标是频率，纵坐标是幅度

 (2)采样频率Fs=300HZ，图（b1）的横坐标是n，纵坐标是采样序列，图（b2）的横坐标是频率，纵坐标是幅度

 (3)采样频率Fs=200HZ，图（c1）的横坐标是n，纵坐标是采样序列，图（c2）的横坐标是频率，纵坐标是幅度

结果分析：

由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。

由实验图像可以看出，时域非周期对应着频域连续。对连续时间函数对采样使其离散化处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则，必将引起频域的混叠。要满足要求信号的最高频率Fc不能采样频率的一半（Fs/2），不满足时域采样定理，频率将会在ω=π附近，或者f=Fs/2混叠而且混叠得最严重。

2、频域采样理论的验证

给定信号如下：

  

编写程序分别对频谱函数在区间[2,2π]上等间隔采样32点和16点，得到X32(k)和X16（k）：

再分别对X32(k)和X16（k）进行32点和16点IFFT，得到x32(n)和x16(n）：

分别画出、X32(k)和X16(k）的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n）的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。

（1）直接调用MATLAB函数fft计算X32(k)=FFT[x(n)]32就得到在[0,2π]的32点频率域采样

(2)抽取X32(k)的偶数点即可得到在[0,2π]的16点频率域采样X16(k)，即

X16(k)= X32(k),k=0,1,2,3,…..15。

(3) 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是在[0,2π]的16点频率域采样X16(k)。

程序：

M=27;N=32;n=0:M;

xa=0:floor(M/2);  xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];

Xk=fft(xn,1024);

X32k=fft(xn,32);

 x32n=ifft(X32k);

X16k=X32k(1:2:N);   

x16n=ifft(X16k,N/2); 

subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on

title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])

k=0:1023;wk=2*k/1024;    

subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');

xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])

k=0:N/2-1;

subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on

title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])

n1=0:N/2-1;

subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on

title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])

k=0:N-1;

subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on

title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])

n1=0:N-1;

subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on

title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])

实验图像

(1)  x(n)及其采样波形

(2)  16点的频域采样及其IDFT

(3)  32点的频域采样及其IDFT

结果分析：

该图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N点IDFT[XN(k)]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：

由于N<M，所以发生了时域混叠失真，因此，xN(n)与x(n)不相同，如图图3.3(c)和(d)所示。当N=32时，如图图3.3(c)和(d)所示，由于N>M，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此，xN(n)与x(n)相同。由实验内容2的结果可知，对一个信号的频谱进行采样处理时，必须严格遵守频域采样定理，否则，用采样的离散频谱恢复原序列信号时，所得的时域离散序列是混叠失真，得不到原序列

四、实验思考及解答

如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱在[0，2π]上的N点等间隔采样，当N<M时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？

答：由实验内容2的结果可得：对于求频域采样点数N小于原时域序列长度M的N点离散频谱时，可先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列

再计算N点DFT则得到N点频域采样：

但是，所求的N点离散频谱对应的时域离散序列是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，而不是原序列x(n)

五、实验小结

通过此次实验，对时域采样和频域采样的理论、定理的理解更加深入。采样是模/数中最重要的一步，采样方法的正确与否，关系到信号处理过程的成功与否。所以，无论是在时域还是频域，对信号采样必须仔细考虑采样的参数：采样频谱、采样周期、采样点数。对一个域进行采样，必将引起另一个域的周期延拓，所以，我们要做，就是选取好采样的参数，避免另一个域周期延拓时发生混叠，否则，我们采样所得的数据肯定丢失一部分原信号的信息，我们便无法对原信号对原信号进行恢复和正确分析。

此次实验所遇到的问题：主要是时域非周期对应频域连续，频域周期对应着时域离散（DFT隐含周期性），频域非周期对应时域连续。对时域与频域的关系，还没彻底弄懂，stem和plot绘图函数有时会用错。

 

第二篇：实验二 时域采样与频域采样

实验二  时域采样与频域采样

一  实验目的

1 掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解

2 理解频率域采样定理，掌握频率域采样点数的选取原则

二  实验原理

1 时域采样定理

对模拟信号以T进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率为周期进行周期延拓，公式为：

利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。

理想采样信号和模拟信号之间的关系为：

          

对上式进行傅里叶变换，得到：

在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此:

上式中，在数值上，再将代入，得到：

上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量用代替即可。

2 频域采样定理

对信号的频谱函数在[0，2]上等间隔采样N点，得到

                

则有：        

即N点得到的序列就是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列，

因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M（即）。在满足频率域采样定理的条件下，就是原序列。如果，则比原序列尾部多个零点，反之，时域发生混叠，与不等。

对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。

三  实验内容

1 时域采样定理的验证

给定模拟信号，式中，A=444.128，，，其幅频特性曲线如下图示：

选取三种采样频率，即，300Hz，200Hz，对进行理想采样，得到采

样序列：。观测时间长度为。N=Fs*Fa=64，n=0:63.个样值。分别绘出三种采样频率得到的序列的幅频特性曲线图，并进行比较。

clc;

A=444.128;

alph=50*2^(0.5)*pi;

w=50*2^(0.5)*pi;

tp=0.064;

fs=1/1000;                  %²ÉÑùÖÜÆÚÊÇ1000HZ

T=1/fs;

m=tp*T;

n=0:m-1;

xn1=A*exp(-alph*n*fs).*sin(w*n*fs);

subplot(3,2,1);

stem(n,xn1,'.');

title('xn1')

xlabel('n');ylabel('xn1');

xk1=fft(xn1,m).*T;

k=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1);

subplot(3,2,2);

plot(k,abs(xk1));           %»­³ö·ùƵÌØÐÔ

title('xk1')

xlabel('w');ylabel('xk1');

fs=1/300;                   %²ÉÑùÖÜÆÚÊÇ300HZ

T=1/fs;

m=tp*T;

n=0:m-1;

xn2=A*exp(-alph*n*fs).*sin(w*n*fs);

subplot(3,2,3);

stem(n,xn2,'.');

title('xn2')

xlabel('n');ylabel('xn2');

xk2=fft(xn2,m).*T;

k=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1);    %¹éÒ»»¯´¦Àí

subplot(3,2,4);

plot(k,abs(xk2));           %»­³ö·ùƵÌØÐÔ

title('xk2');

xlabel('w');ylabel('xk2');

fs=1/200;                   %²ÉÑùÖÜÆÚÊÇ200HZ

T=1/fs;

m=tp*T;

n=0:m-1;

xn3=A*exp(-alph*n*fs).*sin(w*n*fs);

subplot(3,2,5);

stem(n,xn3,'.');

title('xn3')

xlabel('n');ylabel('xn3');

xk3=fft(xn3,m).*T

k=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1);

subplot(3,2,6);

plot(k,abs(xk3));           %»­³ö·ùƵÌØÐÔ

title('xk3')

xlabel('w');ylabel('xk3');

 

2 频域采样定理的验证

给定信号：，对的频谱函数在

[0，2]上分别等间隔采样16点和32点，得到和，再分别对和进行IDFT，得到和。分别画出、和的幅度谱，并绘图显示、和的波形，进行对比和分析。

clc;

xn1=1:14;

n=0:13;

subplot(4,2,1);

stem(n,xn1,'.');

title('xn1')

xlabel('n');ylabel('xn1');

xn2=13:-1:1;

n=14:26;

subplot(4,2,2);

stem(n,xn2,'.');

title('xn2')

xlabel('n');ylabel('xn2');

xn=[xn1,xn2];

n=0:31;

subplot(4,2,3);

stem(n,xn,'.');

title('xn')

xlabel('n');ylabel('xn');

xk32=fft(xn,32);

xk16=xk32(1:2:32);

xn3=ifft(xk32)

四 思考题

如果序列的长度为M，希望得到其频谱在[0，2]上N点等间隔采样，当时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？

五 实验报告及要求

1 编写程序，实现上述要求，打印要求显示的图形

2 分析比较实验结果，简述由实验得到的主要结论

3 简要回答思考题

4 附上程序清单和有关曲线