第二篇：分治法之汉诺塔实验报告

陕西师范大学实验报告

课题名称 算法分析与设计

项目名称 分治法  汉诺塔问题

学    院 计算机科学学院

专    业 计算机科学与技术

指导老师    王小明  

  小组人员  刘永军高富雷武子超 

        

报告时间  2013/11/28  

                                   2013/11/28

分治法之汉诺塔问题

目录

一、       设计目的... 3

二、       设计内容... 3

1．     任务描述... 3

i.     汉诺塔问题简介... 3

ii.    设计任务简介... 3

2．     分治法算法的实现过程... 4

三、       流程图... 6

四、       测试结果... 7

五、       总结... 7

附：程序源代码... 7

一、   设计目的

1、掌握分治法的思想；

2、掌握分治法的典型问题，如汉诺塔问题以及其他问题；

3、进一步多级调度的基本思想和算法设计方法；

4、提高分析与解决问题的能力。

二、            设计内容

1．     任务描述

                       i.              汉诺塔问题简介

在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神大梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从大梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

             ii.          设计任务简介

其实算法非常简单，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2^n - 1（有兴趣的可以自己证明试试看）。后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C；
若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。
（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。
（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。
（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。
所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：
如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C。

2．     分治法算法的实现过程

首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：

若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C；

若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。
（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。
（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。
（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。
所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

如是解决，我们就可以将n个盘分治成1个，2个，3个盘来讨论，

如1阶汉诺塔的移动： A→C；

如2阶汉诺塔的移动：A→B, A→C, B→C;
如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C。

通过最简单的，最少阶数汉诺塔的移动，我们更具上面的讲解，联想到更多的阶数，不难看出其中的规律！

因此，我们通过将多阶汉诺塔分解成少数像3阶一样的汉诺塔，从繁化简，分而治之。解决汉诺塔问题。

算法如下：

void move(char a,int n,char c)

{

     printf("%c-->%c\n",a,c);

}

void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time)

{ 

     if (n==0)   

         return;

     if (n==1)  

     { 

         move(a,1,c);

         time++;

     }

     else

     {  

         hanoi(n-1,a,c,b, time);  

         move(a,n,c);

         time++;       

         hanoi(n-1,b,a,c, time);

     }   

}

int  main()

{ 

     int n;         

     printf("请输入汉诺塔的盘数:  "); 

     scanf("%d",&n);

     int time = 0;

     printf("%d个盘的汉诺塔移动方法是\n：",n);

     hanoi(n,'a','b','c',time);

     printf("移动了%d次\n", time);

     getchar();

     getchar();

     return 0;

}

算法分析：

我们通过递归调用，主函数main()调用hanoi()函数，hanoi（）函数在调用move()函数，以及hanoi()函数对自身的调用，在hanoi()函数自身调用中参数a,b的交换，实现了品字形排列，顺序逆序的实现，从而解决问题。

通过time参数的计算，我可可以知道该函数的时间复杂度是o(2^n)。

其实我们通过数学归纳法就可以知道N阶汉诺塔需要移动的次数为2^n-1。

三、            流程图

四、            测试结果

五、            总结

这次的设计的主要内容是分治算法，汉诺塔问题不难，但却是典型的分治算法中递归调用案例之一。因此通过这次练习，让我们小组更加深刻的认识到分治法的优越性以及优中求优，对算法加以修正，做到最好。

附：程序源代码

// 汉罗塔.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//

#include"stdafx.h"

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

void move(char a,int n,char c)

{

     printf("%c-->%c\n",a,c);

}

void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time)

{ 

     if (n==0)   

         return;

     if (n==1)  

     { 

         move(a,1,c);

         time++;

     }

     else

     {  

         hanoi(n-1,a,c,b, time);  

         move(a,n,c);

         time++;      

         hanoi(n-1,b,a,c, time);

     }   

}

int  main()

{ 

     int n;         

     printf("请输入汉诺塔的盘数:  "); 

     scanf("%d",&n);

     int time = 0;

     printf("%d个盘的汉诺塔移动方法是\n：",n);

     hanoi(n,'a','b','c',time);

     printf("移动了%d次\n", time);

     getchar();

     getchar();

     return 0;

}