§4　关于三棱镜最小偏向角的证明

图8－19所示表示某三棱镜之主截面，A为棱镜的顶角，令射入棱镜的光线和射出棱镜之光线均在主截面上，并没有构成棱镜的物质的折射率为n, 棱镜周围的物质是空气。

由几何关系可得偏向角：

又

∴

因为A为定值，所以偏向角的大小由而定，

i和i^/的关系可由折射定律得：　……　（1）

　　　　　　　　　　　　　　……（2）

（1）＋（2）得：

根据三角函数的和差化积公式将上式变为：

因为：

上式变为：

　……　（3）

因为γ及i^/与γ^/分别对同一情况的单折射平面的入射角与折射角，根据（1）有：

　……　（4）

同理根据（2）有：

　……　（5）

∵

当

于是：

所以：

即：

于是：　　　

当

同理可得：　　　

此时均为负值，在取绝对值的条件下，仍有：

于是：

从以上讨论中可知：只有当时，（此时）

有极小值1。

依（3）式得：人极小值。就是有极小值。故最小偏向角：

由上式可知，发生最小　向角时的入射角：

因为：

所以发生最小向角时：

又因为：　……　（6）

若能测得最小向角及棱镜的顶角A，便可应用（6）式求得棱镜的折射率。

若棱镜的顶角甚小，此时三棱镜接近于两块平行板，于是也必然最小。

故：

或：

 

第二篇：三棱镜最小偏向角公式的推导