不等式的证明及重要公式总结
几个常应用的不等式
1、
2、
3、)
4、,;
5、,
6、(柯西不等式)
证明方法
法一:作差:
例一:,求证:。
证:左-右=
法二:作商;设a、b、c,且,求证:
证:
当a>b>0时
当0<a<b时
∴ 不论a>b还是a<b,,同理可证,,,……
法三:公式法:例二:a>0,b>0,且a+b=1,求证:
① ②
证①由公式:得:
证②由
∴ 左 (*)
∵
∴ (*)
不等式的证明方法
【摘要】不等式是数学中的重要工具,不等式的证明方法比较多,本文给出了不等式的常规证法,同时结合导数与积分知识给出两种证明不等式的方法。
【关键词】不等式证明;常用证明方法;函数单调性;定积分
不等式是高中数学的重要组成部分,也是数学中的一个重要工具,而不等式的证明是高中数学中难点之一。由于其题型广泛,涉及面广,技巧性强,证法灵活,本文通过一些例子,归纳整理了一些证明不等式时的常用方法和技巧,并且结合高等数学知识,来证明一些比较困难的不等式,使之过程更加简洁、易懂。
一、初等数学中常用来证明不等式的方法
1.比较法。这是一种证明不等式的最基本的方法,具体有“作差法”和“作商法”两种。此法体现了化归的思想方法,其基本证明思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小,或者其商与1比较大小。一般情况下,若求证的不等式两端是分式时,常用作差法;若求证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常用作商法来比较。
2.综合法。由已知条件出发,借助某些已经证明过的不等式和不等式的性质及其有关定力,经过逐步的逻辑推理,到处所要证明的不等式成立。此法的特点是“由因导果”,即从“已知”看“已知”,逐步推向“未知”。
3.分析法。从结论出发,寻找命题成立的充分条件,知道这个条件是可以证明或已经证明的不等式,或者是已经成立的结论,由此便可推到出原不等式成立。此法的特点是“执果索因”,常用的形式是“欲证…,只需证…”。
4.换元法。这是一种使许多实际问题解决中祈祷化难为易,化繁为简作用的方法,有些问题直接证明较为困难,若通过换元的方法去解则很方便,常用于条件不等式的证明,常见的是“三角换元法”和“比值换元法”。
①三角换元法:这是一种常用的换元方法,在解决代数问题时,使用适当的三角函数进行换元,把代数问题转化为三角问题,再充分利用三角函数的性质去解决问题,常见的有如下几种形式: 则令则令则令②比值换元法:此法对于在已知条件中含有许多个等比式的问题,通常可先设一个辅助未知数表示这个比值,然后代入要求证的式子即可。
5.放缩法。这种方法是在证明不等式时,把不等式一边适当放大或缩小,利用不等式的传递性来证明不等式。此法是证明不等式的重要方法,技巧性强。一般用到的技巧有:①舍去一些正项或负项。②在和或积中换大或换小某些项。③扩大或缩小分式的分子或分母等。
6.反证法。某些不等式从正面出发,不容易下手,可以考虑反证法。即先否定结论不成立,然后再依据已知条件及其相关定义、定理、公理等,逐步推导出与这些相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原有结论是正确的。一般情况下,凡是出现“至少”、“唯一”或者含有否定的命题,适用反证法。此法的步骤为:反设结论找出矛盾肯定结论。
7.数学归纳法。此法一般用来证明与自然数N有关的不等式,在证明过程中需要分两个步骤,这两个缺一不可。
8.判别式法。此法借助于二次函数中,判别式恒小于0,得出二次函数恒大于0,或者恒小于0。
二、高等数学中用来证明不等式的方法
1.利用函数单调性证明。理论依据:若函数在区间内可导,则在内单调递增(或单调递减)的充要条件是(或)。
由于不等式与函数有密切关系,因此,据求证的不等式构造出函数,利用函数的单调性可以证明某些不等式,此方法尤其适用于函数不等式的证明。
例如:证明当时,证明:设,这里,由于,则有,从而在内单调递增,则有,即 ,也即。证毕
2.利用定积分的性质证明不等式。理论依据:设f,g为定义[a,b]在上两个可积函数,若,则有。
定积分是借助于积分学的知识,证明不等式的一种方法,它主要利用积分的基本公式、基本性质、基本定理证明不等式。
例如:已知x>1,求证:。证明:构造函数,取,则,从而由此可得:即: ,证毕.
此题如果要用作差法来证明,困难较大,中间还要用到判别式法等综合知识,具体证明过程如下:
先证明 =
其中,这根据,可得.
因此,对于x>1,则有.
下证
其中,这根据,可得.
因此,对于x>1,则有.
综上所述,结论得到证明。
不等式的证明这类题型,不仅能检验学生的数学基础知识掌握程度,又能衡量学生的数学水平,本文只是粗略的归纳了一些常用方法,通过不断的深入学习,知识的不断积累,相信以后有更多的方法来解决此类问题。
参考文献:
[1]郭大钧.非线性泛函分析(第二版)[M].济南:山东科学技术出版社,20xx.等
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