导  学  案  设  计                                                          

 

第二篇：第六章平方根与立方根 导学案模板

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­__6.1 平方根（1）____ 课型    新授      ­­__七_年级   教者  张强    

教学目标：

知识与能力：1．理解算术平方根及其相关概念；

2. 会用根号表示数的算术平方根；

3. 会求能开的尽平方的数的算术平方根

过程与方法：从实际问题出发，揭示算术平方根概念，领会算术平方根的求法

情感态度价值观：使学生初步体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯

教学重点：理解算术平方根概念，会用根号表示一个正数的算术平方根

教学难点：理解算术平方根的意义

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

1.章前介绍：我们早就熟知圆周率不属于有理数，它其实属于无理数，现实世界存在着许多无理数，有理数和无理数合起来形成更大的数域——实数。本章将从平方根与立方根学起，学习实数的初步知识，并用这些知识解决一些实际问题。

2.问题：小明家装修新居，计划用100块地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算：每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？

3.填表：

三、自主探究，展示汇报

（一）、算术平方根概念

上面的问题，实际上是知道一个正数的平方，求这个正数的问题一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数规定：0的算术平方根是0. 如9的算术平方根可以表示为，读作“根号9”.又因为32=9，所以3是9的算术平方根，从而

（二）、例题讲解

1.求下列各数的算术平方根：

 (1) 100；     (2)        (3)0.0001

2．求下列各式的值：

(1)    (2)   (3)   (4)

3：“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远。如图，若观测点的高度为h，观测者能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径（通常取6400km）.小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为4m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该船离小丽约有多远？

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．填空：

(1)若     .(2) 的算术平方根是 __    .

(3)的算术平方根是_      .

(4) 若一个数的算术平方根为x-5，则x的取值范围是_      .

(5) 若a +1有算术平方根，则a的取值范围是__    .

(6) 若2a+b的算术平方根是3，a+b-1的算术平方根是2，则ab的算术平方根是_      .

2．求下列各数的算术平方根:

（1）625； （2）0.0081； （3）6；  （4）0

1．下列各式中没有意义的是______，并说明另外三个式子的意义：_______________________；

_______________________________________；____________________________________.

A．-　　　　     B．       C．　　　      D．

2．求下列各式的值：

(1)         (2)     (3)         (4)

若，求a、b的值.

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­_6.1 平方根（2）_ 课型    新授          ­­__七_年级   教者  张强   

教学目标：

知识与能力：1了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；

3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.

过程与方法：通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小

情感态度价值观：认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情

教学重点：初步感受无理数，能进行比较

教学难点：探究大小

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.

三、自主探究，展示汇报（核心板：教师明确目标——学生自学——小组交流讨论——分组展示和汇报——强化训练）

1.拼法：

按下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.

2．问题：

①拼成的大正方形的边长是多少？

②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为，那么是多大呢？

3.两端逼近法探究的大小：

∵1²=1,2²=4，

∴1<<4；

∵1.4²=1.96，1.5²=2.25，

∴1.4<<1.5；

∵1.41²=1.988,1.42²=2.0164，

∴1.41<<1.42；

∵1.414²=1.999396,1.415²=2.002225，

∴1.414<<1.415；

……如此进行下去，可以得到的更精确地近似值.事实上，=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？

得到：小数位数无限且小数部分不循环的小数叫无限不循环小数.像这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数.

4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()

用计算器计算，并将计算结果填在表中.

观察上表，你发现什么了吗？

(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？(2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：

5.例题讲解

用一块面积为400cm²的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm²的长方形纸片，  使它的长宽之比为3：2？

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．已知，则      ，      .

2．一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则它的边长扩大为原来的    倍.

3．与最接近的两个整数是        .

4．比较大小：    12；.

5．一个数的算术平方根大于2小于3，那么它的整数位上可能取到的数值为___________________．

6．的整数部分是   ，小数部分可表示为     .

7．若a<<b，则整数a的最大值为_____；整数b的最小值为　  　．

8．用计算器计算：=______(精确到0.001)

9. ，那么与最接近的两个数是7和8，与哪一个更接近呢？

可以这样考虑：，因为56<56.25，所以<7.5，那么更应靠近7.按以上的方法判断：与最接近的一个数是什么？

五、板书设计

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­_6.1 平方根（3）_ 课型  新授          ­­__七_年级   教者  张强   

教学目标：

知识与能力：1．理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算.

2. 会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根.

3. 知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义

过程与方法：类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.

情感态度价值观：使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯

教学重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根

教学难点：理解平方根的意义

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

通过前面的学习，我们已经知道3的平方等于9，3是9的算术平方根，那么，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？

三、自主探究，展示汇报

 1．填表：

2. 问题：如果不论正负，所有平方等于9的数都叫做9的平方根，你能类比算术平方根的定义，给平方根下定义吗？.

3.归纳：① 的平方根或二次方根.的定义＿＿＿＿＿＿＿＿； 即如果，那么叫做的平方根. 用符号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方这两种运算互为逆运算.

基本运算一共有六种：加、减、乘、除、乘方、开方.

③结合上表可以看出正数，0，负数的平方根各有什么特点？

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

于是，当≥0时有意义，＜0时，无意义.

4.例题讲解

例1.求下列各数的平方根：

(1)16      (2)0      (3)15

例2.求下列各式的值：

(1)     (2)     (3)

例3.已知，求x，y的值

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．7的平方根是_______.

2．如果数a只有一个平方根，则a=______.

3．如果数b没有平方根，则b_______.

4．如果23是的一个平方根，那么=     ，的另一个平方根是      .

5．若一个正数的一个平方根是a，则它的另一个平方根是_____.

6．若a的两个平方根分别为m、n，则m+n=_____.

7．若，则=______.

8．一个负数的平方等于1225，这个数是______.

9．下列式子中正确的是（   ）

A.            B.

 C.         D.

10．下列说法正确的有（  ）

A．是3的平方根

B．3的平方根是

C．是的平方根

D．是-3的一个负的平方根

11．求下列各数的负的平方根：

(1)  256      (2)324       (3)137

12．下列各式如果有意义请说明它表示的意义，并求值。

(1)   (2)    (3)

13、若，

则=________.

14.，则____

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­_6.2 立方根（1）_课型  新授          ­­__七_年级   教者  张强  

教学目标：

知识与能力：1.了解立方根的概念；

2.掌握立方根的特性，会用符号表示一个数的立方根；

3.会求一个立方数的立方根.

过程与方法：从实际问题出发，揭示立方根概念，领会立方根的求法.

情感态度价值观：使学生进一步体验立方与开立方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯

教学重点：理解立方根概念，会用根号表示一个数的立方根

教学难点：理解立方根的意义

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

要制作一种容积为27m³的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

三、自主探究，展示汇报

㈠立方根的概念

1.抛开实际问题，不考虑正负，立方等于27的数有几个？

这种求一个数x使它的立方等于a的运算，与立方运算是什么关系？

2.类比前面的知识，猜想：如果，那么___是____的立方；____是____的立方根.

3.你能类比平方根的内容，对立方根的概念、运算关系作出归纳吗？

4.你能像归纳平方根的特性那样，通过探究归纳出立方根的特性吗？

得到：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根或三次方根. 即如果，那么叫做的立方根.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 正如开平方和平方互为逆运算一样，开立方与立方这两种运算也互为逆运算.

㈡例题讲解

例1.求下列各数的立方根

1000； 0.125；； 0； -8； 

归纳：

①  与求平方根类似，求一个数的立方根实质就是求哪个数的立方等于这个数.

②  任何一个数都有唯一的一个立方根，且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

③  一个数的立方根用符号“”表示，读作“三次根号”其中是被开方数，3是根指数.例如表示8的立方根，；表示-8的立方根，

注意：① 取任意数，都有意义;

②根指数3不可以省略不写.

例2 求下列各式的值：

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

 ㈢立方根与平方根的异同.

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．-27的立方根是      .

2．如果0.2是x的立方根，那么=     .

3．整数a是整数b的平方根，又是整数c的立方根，且c是b的2倍，则a=____；b=____；c=____.

4．64的立方根的算术平方根是______.

5．8的立方是8的立方根的______倍.

6．下列说法正确的是（  ）

A. 27的立方根是±3    B. 的立方根是 C. -5是-125的立方根   D. -6的立方根是-216

7．下列说法正确的是（  ）

A．-3是-9的立方根    B．是27的立方根C．12的立方根是4    D． 3的立方根是

8．下列说法中，不正确的是（　）

A．任何一个数都有立方根　       　B．一个数只有一个立方根

C．正、负数的立方根与被开方数同号　D．立方根与本身相等的数只有0和1

9.  的值大约在（　　）

A．11~12之间　　　B．12~13之间C．13~14之间　　　D．14~15之间

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­___6.2 立方根（2）_______课型  新授        __七_年级   教者  张强  

教学目标：

知识与能力：1.会用计算器求一个数的立方根.2.知道互为相反数的两个数的立方根之间的关系.3.知道被开方数与立方根的小数点移动规律

过程与方法：经历从特殊到一般的探究过程，通过计算，观察，分析，讨论，进行归纳

情感态度价值观：向学生渗透从特殊到一般的研究方法和转化思想

教学重点：公式；被开方数与立方根的小数点移动规律

教学难点：理解公式

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

1.复习提问：立方根；开立方；立方根的特征；立方根和平方根的异同.

2.计算：       ，        ，       ，         .

通过计算，你发现了什么？

三、自主探究，展示汇报

㈠、探究公式：

1．若数的立方根是7，则的立方根是____.

2．若已知，则=____；=____.

3．各表示什么意义？

4. 是否对于任意数a都成立？

得到：（是任意数）.

即：一个数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数.

㈡、用计算器计算求一个数的立方根

实际上，同平方根一样，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，，等都是无限不循环小数，为了需要，通常可以用有理数近似的表示它们.

㈢、被开方数与立方根的小数点移动规律

1．计算：

      ;      ;      ;       ;         .

2．化简：

   ;    ;    ;        ;        .

3．归纳：你发现了什么规律？

得到：被开方数的小数点向左（或右）移动三位，它的立方根的小数点就相应的向左（或右）移动一位.

㈣、例题讲解

求下列各式中的值：

(1) ³=0.125；     (2)  (-4)³+64=0

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．的值是的值的      倍.

2．比较3，4，的大小             .

3．与最接近的整数是        .

4．的整数部分是   ，小数部分可表示为     .

5．已知一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的边长扩大为原来的    倍.

6．下列各组的两个数中，互为相反数的是（  ）

A． 与      B．与

C．与   D．与 

7．若和都是5的立方根，你能求a、b的值吗？说明你的理由.

8．一个正方体纸箱，体积是7000cm³，这个纸箱能否装得下长为20cm、宽为20cm、高为10cm的长方体包裹

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­__6.3  实数（1）________课型  新授        __七_年级   教者  张强

教学目标：

知识与能力：1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2知道实数与数轴上的点具有一一对应关系

过程与方法：让学生经历对实数进行分类的过程，通过无理数的引入使学生对数的认识由有理数扩充到实数，借助数轴对无理数研究，从形的角度体会无理数，同时感受实数与数轴的一一对应关系

情感态度价值观：发展学生的分类意识，体会数系扩充，进一步渗透数形结合思想

教学重点：了解无理数和实数的概念；掌握实数的分类

教学难点：了解无理数和实数的概念；掌握实数的分类

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

1．任何有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，利用计算器，尝试把下列分数化为小数：=______；=________；=________.

2.       反过来，任何有限小数也都能化成分数：0.7=________；1.23=_______；3.141=_______.

3．无限循环小数是不是也能化成分数呢？

事实上，任何一个无限循环小数都能化成分数，

分子是小数部分与不循环部分的差，分母是“几位循环几个9，不循环位数用0补”.如：

，，

尝试一下：=________，=________.

由上面的探究可以知道，有限小数(包括整数)和无限循环小数都是有理数，那么，像π，这样的无限不循环小数又是什么数呢？

三、自主探究，展示汇报

㈠、无理数概念及实数分类

1.无限不循环小数又叫做无理数.常见的无理数：①无限不循环小数，如：0.1010010001…；②圆周率π；③开方开不尽的数，如、、等.

2.有理数和无理数统称为实数.

3.实数可以按以下两种方式分类：

㈡例题讲解：

1.把下列各数填入相应的集合内：

，，，，0.35， -π，0.3131131113…

①有理数集合；②无理数集合；

③正实数集合；④负实数集合

㈢实数与数轴上的点的关系

问题：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点表示出来？你能在数轴上找到表示π、的点吗？

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．下列说法中错误的是（ 　 ）

A．3.14是无理数　　　B．π是无理数   C．是无理数   　　D．是实数

2．下列说法中正确的是（　　）

A．小数都是有理数　　B．有理数是实数 C．无限小数都是无理数　　D．实数是无理数

3． 下列说法中正确的有（  　）

A．数轴上的每一个点都表示一个有理数B．数轴上的每一个点都表示一个无理数

C．数轴上的每一个点都表示一个整数  D．数轴上的每一个点都表示一个实数

4．下列说法中正确的有（ 　 ）①带根号的数是无理数②无理数是带根号的数③每个实数都有平方根　④每个实数都有立方根

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

5．比较它们的大小（用“<”号连接）：

-1.4， 3.3，  π， ，1.5，　

1．在数轴上作出线段：“”. 

2．实数、在数轴上的位置如图所示，

    请化简：

五、板书设计：

六、课后反思？

分组合作，自信高效”导学案

课题:­­­­­­­_6.3 实数（2）_________课型  新授        __七_年级   教者  张强

教学目标：

知识与能力：

过程与方法：

情感态度价值观：

教学重点：

教学难点：

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

通过上节课的学习，我们已经知道实数与数轴上点是一一对应的，也就是说有理数和无理数都能用数轴上的点来表示，而且同有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大，那么有理数范围内的相反数和绝对值的意义以及运算法则和性质，在实数范围内还适用吗？

三、自主探究，展示汇报

㈠、实数范围内的相反数和绝对值意义

填空：的相反数是    ，的相反数是        ，

的相反数是          ，0的相反数是          .

=       ，=      ，=      ，=     .

得到：①数的相反数是，这里表示任意一个实数.

②一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

也就是说有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.

例1 ⑴ 分别写出，的相反数；

⑵ 指出，各是什么数的相反数；

⑶ 求的绝对值；

⑷ 已知一个数的绝对值是，求这个数

㈡实数范围内的运算法则和运算性质

  当数从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方，而且非负数可以进行开平方，任意一个实数可以进行开立方.在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用.

例2 计算下列各式的值：

⑴ ；⑵ .

四、实践创新，知识反馈（升华板­­—拓展延伸训练）

1．实数分为（  　）

A．整数和分数 B.有理数和无理数　C．正数和负数 D.无限循环小数和无限不循环小数

2．与数轴上的点一一对应的是（　 ）A．整数　　B．有理数　C．无理数　D．实数

3．在数轴上到原点距离为的点表示的数是（）A．±2  B． C．　D．或　

4．下列各式错误的是（  　）

A．＞　   B．－＞－　 C．＜1.5　　  D．＜1.7

5．0.00048的算术平方根在（　  ）

A．0.0002~0.0003之间  B．0.002~0.003之间  C．0.02~0.03之间     D．　0.2~0.3之间

6．是无限不循环小数，由整数部分和小数部分组成，它的整数部分是（　  ）

A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5

7．的整数部分是（　）A．43    B．44     C．45      D．46

8．计算器面板上键所表示的含义是（　  ）

A．y的x次方　　    B．x的y次方　　C．y的x次方根　　  D．x的y次方根

9．在-1.732，，π，3.14， ，，3.212212221…，这些数中，无理数的个数为(     )    A．5      B．2      C．3       D．4

10．下列各式中，没有意义的是（　　）

A．　　　　　B．   C．　　　　　　D． 

11．已知＝1.414，＝4.472，则等于（ ）A．14.14　B 141.4 C．44.72　D．447.2

12．1－的相反数是____，绝对值是_____．13．把2a写成一个数的平方的形式是_______.

14．若一个数的平方根是和，则它的立方根是______.

15．计算下列各式的值：

(1)         (2)   (3)         (4)

16．已知实数a满足，求a的值.