人教版义务教育教科书八年级《数学》上册（20##年教育部审定）

第十四章  整式的乘法与因式分解

14.1.1   同底数幂的乘法

      （新蒲新区新蒲镇前进学校  何文芳）

一．教学内容

      14.1.1 同底数幂的乘法

二．教学目标

1.知识与技能目标：理解同底数幂乘法的性质，能正确地运用性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，在探索过程中, 发展学生的数感和符号感，培养学生的观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理表达能力。

3.数学思考：

（1）通过由特殊到一般、从具体到抽象，得到同底数幂的性质，提高学生推理能力。

（2）通过对公式am ·an=am+n（m,n都是正整数）的应用，让学生观察是不是同底数幂相乘，进一步发展观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力。

3. 情感、态度、价值观目标：通过同底数幂乘法性质的推导和应用，使学生初步理解“特殊到一般 ”的认知规律和辨证唯物主义思想，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神。

三．教学重难点

1.重点：同底数幂的乘法运算性质。

2.难点：同底数幂的乘法的运算性质的理解与推导。

四．课时安排

                    1  课  时

五．教学准备 

      学生准备：复习七年级上册乘方的概念以及幂的概念。

      教师准备：多媒体课件，为学生准备的资料。

六．教学过程 

活动一：复习旧知识、引入新课:

师生活动：由学生独立完成下列题目，教师引导学生复习乘方的相关知识。

多媒体展示活动内容如下：

1. 运用乘方知识完成下列各题。

（1）n个相同因数积的运算叫做____，乘方的结果叫做____，则写成乘方的形式为:_____，其中叫____，叫_____，读作：______________。

（2）表示___个___相乘，把写成乘法的形式为：=_________。

（3）x3，x5，x，x2，它们的指数相同吗？它们的底数相同吗？

设计意图：让学生回顾乘方的相关知识，为同底数幂的乘法的学习作铺垫。

活动二：  探究新知  发现规律

 1.探究×=________

（教师引导学生完成）

  根据乘方的意义可知：

               ×=（10×10×10）×（10×10）

                       =10×10×10×10×10

                       =    

设计意图：让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性，并通过有步骤，有依据的计算，为探索同底数幂的乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫。

2.填空：（学生完成）

          （1）× =_______=_______=_______.          

      （2）· =_______=________=_______.

师生活动：学生独立计算，小组成员互相检查，一位同学在黑板上板书，师生共同分析板书结果。如果学生有困难，教师可以引导学生回顾问题1的解答过程，再进行计算。

设计意图：（1）两个特殊的算式具有代表性和层次性，其中的乘数分别为：底数和指数都是数，底数为字母指数为数；（2）这两个算式和第一个题的算式为抽象慨括出一般的结论奠定基础；（3）让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法，进而得出正确结果。

请同学们观察下列各式左右两边底数，指数有什么关系：

                      ×=

         × =         

                  ·  = 

  猜想:对于任意底数a， · =________(m,n都是正整数) （学生小组讨论，能说出结果即可，教师引导推导过程）

设计意图：让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征，并猜想出其性质，即：am ·an=am+n(m,n都是正整数)

由此得到同底数幂乘法的性质：

        同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

          即：· =(m,n都是正整数)

活动三：学以致用

       例1.计  算

     （1）105×106               （2）b7·b        

     （3）(-2)× (-2)2× (-2)3    (4) an · an+1

师生活动：师生共同分析解答，教师幻灯片展示（1）的解答过程，学生完成(2)(3)(4).教师着重让学生说明底数是什么，指数是什么，让学生观察是不是同底数幂相乘，引导学生运用性质进行计算。（2）中b=b1 是学生易错点，教师提问可能会出错的学生，并抓住时机强调此问题。

设计意图：让学生运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想。

活动四：巩固练习

1.下面计算对不对?如果不对，怎样改正？

（1）·=2           (2) +=

 (3)·=            (4)·=

 (5)（a+b)4.(a+c)3=(a+b)7

师生活动：学生回答，并相互补充。教师要重点提醒学生分析题目条件，能否应用同底数幂的乘法的运算性质以及如何正确应用。

设计意图：让学生通过辨析，加深对性质的理解和运用。

2.填空：（学生完成）

（1）·____=          (2)·_____=

       (3)··_____=       (4)·_____=

3.计算：（学生完成）

（1）·               （2）·

（3）·         （4）·

   

课堂小结：

       通过本节课的学习，你有什么收获？（引导学生回答）

布置作业：

      教科书第104页~105页 习题14.1第1题（1）（2）小题。

板书设计：

   

教学反思：同底数幂的乘法是新人教版八年级上册的内容，学生已经在七年级上册中学过乘方，已经接触过用字母表示数，这为本课奠定了基础，但时间过长，在教学过程中我进行适当的复习。本节内容同时又是对幂的意义的理解、运用和深化。整式的乘除法是代数部分的基础，它为后面学习方程，函数做了准备。

本节课的重点是让学生经历探索同底数幂的乘法这一规律（性质）的过程，然后理解其运算性质，并能利用这一性质解决一些与同底数幂的乘法有关的实际问题。从课堂发言和练习来看，学生在探究其性质时，推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定发展。

      本节课采取了导学案教学模式，并对每一个过程都进行了深入研究，在活动1中把课本内容设置成了几个问题，由浅入深，由易到难，在合作探究中能以学生为中心，做到全体参与，使学生有问题意识和探索欲望；不仅重过程而且重结果，重应用。课前我精心设计探究计划，选择和组织恰当的教学材料；在指导教学过程中，把注意力集中在学生身上，不停地做出各种判断，激发和鼓励学生的学习探究；提问不仅有序、有提示、有鼓励、有启发、问在有疑之处. 同时引导学生注意了这几点：（1）指数相加而不是相乘 （2）负数、分数乘方加括号（3）法则逆用要灵活 （4）指数不写是1。本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。在课堂教学时，通过幂的意义引导学生探索发现得出这一性质，这一过程比较顺利，效果满意。学生在完成教材中的例一、例二时，正确率较高。为了加深对这一性质的理解，也将同底数幂乘法、乘方运算以及整式加减集中运算经行辨析，学生基本上也能辨认清楚。在此基础上接着对于同底数幂乘法法则的逆运用进行探索，以上的教学环节，实施流畅，效果满意。

回顾这一节课，这节课在教学过程的进度把握的比较好，而且条理比较清晰，课堂气氛很好，基本达到教学目标。但还存在一些不足。例如后面的练习题的设计，缺乏新颖，没有难度的变化，而且形式比较单一，不能更好的调动学生的积极性。忘记了返回刚开始情景导入中遗留的未解决的问题。另外课堂语言要注意规范和简练。

在以后的教学中，首先制定一节课的教学目标时，要根据学生的实际情况，先完成教材的基本要求，对于进一步挖掘教材而延伸的知识点则要注意难度。其次在课堂教学中，练习题的设计要有变式，要有梯度。立足基本目标，精讲多练，在学生熟练掌握后，再组织学生探索一些特殊题型和解题技巧。作为一名年轻的新老师，缺乏丰富的教学经验，这需要在以后的教学过程中，多向老教师学习，多听课，多进行反思。多学习教学理论，争取在课堂教学形式上有所突破。

 

第二篇：同底数幂的乘法教学设计

15．2．1  同底数幂的乘法教学设计

一、教学设计思路  

 本课始终以学生的发展为主线，引导学生发现问题，分析问题，得出结论，应用结论。 同底数幂的乘法法则是将高一级运算转化为低一级运算，体现了数学“化归”思想．教学中从特殊到一般地推导性质，又从一般到特殊地运用性质，使学生在学习知识的过程中体味数学方法和数学精神，提高了学生的数学素质和数学能力，真正落实了新课程标准的要求。

二、 教学目标：

1 知识与能力目标：

理解同底数幂的乘法法则，能熟练地运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题;

2 过程与方法目标：

经历自主探索同底数幂的乘法的运算性质过程，能用代数式和文字正确地表达这一性质，并会运用它们熟练地进行运算

通过由特殊到一般的说理、验证培养学生一定的说理能力和归纳表达能力，使学生初步理解特殊----一般------特殊的认知规律。

3 情感与价值观目标：

体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神。

三、教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则。

四、 教学难点：正确理解和运用同底数幂的乘法法则。

五、教学方法：

1.教法：引导发现法、合作探究法、练习巩固法。

2.学法：本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，可以进行了以下学法指导：观察分析、探究归纳、练习巩固。

六、教学过程

（一）提出问题，创设情境

复习an的意义：an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

提出问题：

问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？

[生]运算次数=运算速度×工作时间

所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．

[师]1012×103如何计算呢？

[生]根据乘方的意义可知

1012×103=×（10×10×10）==1015．

[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．

(二)发现归纳 探究新知

1．做一做

计算下列各式：

（1）25×22

（2）a3·a2

（3）5m·5n（m、n都是正整数）

你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．

[生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2） =27=25+2．

因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得

a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．

5m·5n= ×=5m+n．

（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．

[生]我们可以发现下列规律：

（1）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（2）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

2．议一议

am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？

[师生共析]

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

am·an=·==am+n

于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．

[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．

[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

3．例题讲解

[例1]计算：

    （1）x2·x5        （2）a·a6

    （3）2×24×23     （4）xm·x3m+1

 [例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？

 [师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？

 [生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．

 [生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．

 [师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．

 生板演：

（1）解：x2·x5=x2+5=x7．

（2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7．

（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．

（4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．

[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．

 解法一：am·an·ap=（am·an）·ap=am+n·ap=am+n+p；

解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．

解法三：am·an·ap=··=am+n+p．

评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．

[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．

[师]是的，能不能用符号表示出来呢？

[生]am1·am2·…·amn=am1+m2+…+mn

[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．

    2×24×23=21+4+3=28．

(三)反馈练习 巩固新知

1 课本142页练习

2 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

（1）b5  · b5= 2b5 （    ）     （2）b5 + b5 = b10  （   ）

（3）x5  ·x5 = x25   (     )      （4）y5  · y5 = 2y10     (     )

（5）c · c3 = c3         (     )      （6）m + m3 = m4    (     )

3 变式练习  填空：

（1）x5  ·（     ）=　x 8       （2）a ·（       ）=　a6

（3）x · x3（    ）= x7          

4 巩固提高  计算

（1）  x n  ·xn+1   ;         （2）y · y2  · y3   +  y6

（3）(x+y)3  · (x+y)4  

5 灵活运用  填空

（1） 8 =  2x，则 x =            ；

（2） 8× 4 = 2x，则 x =            ；

（3） 3×27×9 = 3x，则 x =          .

 (四)课时小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．

[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．

(五)课后作业．

根据本课在教材中地位，作业的布置分成两部分，一部分是巩固，一部分是启发学生思考后面的知识点。

作业1

m m2·m5·m6 =            ；

- x2·(-x) =            ；

Xm · yn+2  -  yn+2·y· ym

作业2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：

（1） (2)= 2 × 2 =2(     )

（2） (a ) = a(     ) (m、n为正整数).