圆的对称性教学设计与反思

山东省安丘市景芝初级中学     ##

一、教学内容分析：《圆的对称性》是青岛版九年数学第4章对圆的进一步认识的第一课时，在认识了圆这种图形了解了圆的概念、表示方法和点和园的位置关系之后从本节课开始学习圆的有关性质。本节课设两课时，第一课时主要是对圆是轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）。作为初中阶段圆的重要的性质定理。本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用。

二、学生情况分析：我所教学的一个教学班学生的基础差了一些，优秀生的人数由于部分到县城的双语学校求学少了一些。基本情况：一部分学生自主学习能力差，自习预习能力不好；一部分男生的头脑很聪明但是有懒惰的状态，课后复习巩固的不够，学点丢点，丢点学点；还有一部分女同学学习热情不高，有时依赖答案；有的只能依靠抄袭作业才能上交。每班都有一部分同学学习水平较高，甚至可以为其他同学答疑解惑。

 三、 教学目标及重难点：

     学习目标

 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.

2．掌握垂径定理及其推论，并运用其解决有关问题.

    学习重点：垂径定理及其推论的运用.

    学习难点：如何从已有的认知进行定理的探索.

    教学过程

    一、情境创设

    什么是轴对称图形？轴对称图形有什么性质？

     二、探究学习

     1.尝试

   （1）在圆形纸片上任意画一条直径.

   （2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：

     2.探索

     如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对通过折叠活动，你发现了什么？请试一试证明！

    垂径定理：

    4.典型例题

    例1.以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？ 

    例2.已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

   （1）求的半径；       

   （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

    5.巩固练习

•           1、判断：

•           ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.                                                  （      ）

•          ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.                                            （     ）

•          ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（        ）

•          ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （     ）

•          ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （     ）

2.在⊙O中，弦AB的长为16，圆心O到AB的距离是6.求⊙O的半径.

   3.在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.

   4.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. 

  

5.设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之间的距离为_____________（有两种情况）.

     三、归纳总结

    1．圆的轴对称性及有关性质.

    2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.

   【课后作业】

•              1.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

 2．在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____， _____= ， ____= 。

3. ⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为   

    4. ⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___  

    5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为        cm.

    6.已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

    五、教学反思

    本节课的教学始终坚持把握“小循环，快反馈”的双向反馈原则，充分借助旧知，在具体情境的引导下生疑、析疑、探求新知，在新知的认知过程中激发矛盾，理解新知，最终通过例题及变式训练掌握新知。

    教学中，时间较为紧迫，相应的练习耗时较多，要给与适当的点拨。垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于他涉及到的条件结论比较多学生容易搞混肴，本节课采取了，讲练结合动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学方法。

 

第二篇：3.2 圆的对称性教案二

圆的对称性

教学目标

(一)教学知识点(二)

1．圆的旋转不变性．

2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(二)能力训练要求

1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(三)情感与价值观要求

培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

教学重点

圆心角、弧、弦之间关系定理．

教学难点

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片两张

第一张：做一做(记作§3．2．2A)

第二张：举反例图(记作§3．2．2B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨．

Ⅱ．讲授新课

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？

[生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？

[生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A)

按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．

[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A＇O＇B＇．

[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O＇A＇B＇＝∠O＇B＇A＇．

[生丙]由△AOB≌△A＇O＇B＇，可得到AB＝A＇B＇．

[生丁]由旋转法可知．

……

[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．

[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇．

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？

[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

下面，我们一起来看一看命题的证明．

(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)

如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．

求证：，AB＝A＇B＇．

证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，

∴半径OB与O＇B＇重合．

∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，

∴与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．

∴，AB＝A＇B＇．

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2B)

[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，

下面我们共同想一想．

[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)

[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．

[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．

[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？

[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．

课本P97 随堂练习1、2、3

Ⅲ．课时小结

[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)

[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理……

Ⅳ．课后作业

课本P98 习题3．3：1、2

Ⅴ．活动与探究(略)

板书设计

§3．2．2 圆的对称性

一、圆的旋转不变性

圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

证明：略

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业