二元一次方程组复习课 教学反思
中阳宁兴学校 王文海
本课为复习课,是学生再认知的过程,因此主要任务是使学生在复习回顾的基础上,系统掌握本章的主要内容及其联系,并进一步训练学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力。
本节主要内容包括:二元一次方程(组)及其相关概念,消元思想和用代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例,利用二元一次方程组分析与解决实际问题。其中,以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题进行了简单涉及。
本章所涉及的数学思想方法主要包括两个:一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想,它在解方程组中具有指导作用。解二元一次方程组的各个步骤,都是为最终使方程组变形为x=a,的形式而实施的,即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下,使“未知”逐步转化为“已知”。代入法和加减法都是消元解方程组的方法,只是具体消元的方法有所不同。
本节课主要设计思路如下:
1.教学模式:回顾梳理主要知识点,构建知识体系;通过典型问题探究加深对主要思想方法的理解,掌握常用解题方法;采取限时训练与开放研究相结合的方式进行巩固与拓展练习,以保证技能技巧的形成和不同学生发展的需求.
2.复习目标:首要的一点是从总体上把握本章主要内容及其间的联系,重在回顾整理,查缺补漏;其次是综合创新,基础知识掌握了,综合灵活地解决问题才有可能,同时问题的难易程度要适合学生的实际情况,注重思维发散性与深刻性的训练,使不同层次的学生通过复习都得到较大的提高.同时在复习中注重知识之间的联系与相互转化,并形成一定的数学思想与经验。
通过课堂上的教学实践,我认为我的教学设计还是比较合理的,基本上达到预期目标,学生通过一节课的复习,进一步明确了二元一次方程组及其解的有关概念,二元一次方程组的解法更熟练准确了,对于不太复杂的应用性题目学生均能解决,但对于难度较大的应用性题目,学生的分析能力还有待于进一步提高。通过这一节的教学,我有许多感触,事实上,学生的潜能是不可低估的,教师应进一步大胆放手,给学生充分的自由空间,让他们去探索、去研究,这样他们的求知欲望反而会更强烈,积极性和主动性自然会大大提高。
再则,由于时间的原因,没能将最后一个题让学生解完,然后在更大范围内总结,让学生对多元方程有更深更全面的认识,感到好遗憾,其实这种遗憾是经常出现的。在设计课时,为了照顾到大多数学生,不可能设计的太难或太易,虽有分层优化的内容在里面,但总的来说,操作起来还是有好多困难,难以真正兼顾的很到位,感觉两边的学生没吃好。
不足的地方还有好多,望专家批评指正。
等量关系怎么找
——《方程(组)的实际应用》教学反思
长兴 肖晔
前言:
列方程解应用题是学生的一个困难问题。大部分学生见到字多的题目就会大脑一片空白。这种不良反应很可能会延续到函数的实际应用。这个方面的教学反思是很有必要及迫切需要的。
笔者从事教学12年来,一直在反思应用题对于学生的困难之处。开始的时候,总是觉得原因在于学生文字理解能力差,看不懂题目。其实,这和语文的文字理解能力关系不大,主要是和学生对题中的数量关系的理解有关。
一、一元一次方程实际应用困难
先举一个学生觉得很容易的例子:
例1、一个修路工程队已完成1700米的任务,预计每天修150米,还需多少天能完成2450米的总任务?
这个问题为什么简单?因为学生对每天修150米,x天修150x米这种倍数关系理解了,等量关系“已完成+预计完成=总任务”就好找了。
再举一个学生觉得有点困难的例子:
例2、小明有5角硬币和1元硬币共50枚,其中5角硬币比1元硬币的2倍多5枚。小明的两种硬币各有多少枚?他共有多少元钱?
学生易犯的设未知数的错误是:设两种硬币各有x枚。第二个错误是:设5角硬币有x枚,1元硬币有(2x+5)枚。如果解设对了,一般都不会列错方程。
这个题目绝对不存在阅读理解的困难,背景是学生很熟悉的。在教学中发现,几乎没有学生主动“设5角的硬币有x枚,则1元的硬币有(50-x)枚”。部分接受能力强的学生对这种设法接受很快,还有一小部分学生(学习态度较好)就不能接受。
我们再仔细想想,其实“设5角的硬币有x枚,则1元的硬币有(50-x)枚”所涉及数学思想与列一次函数关系式是很相似的,所以部分学生觉得有难度。倍数关系很直接,学生易接受;这个关系用到一次逆向思维(加数=和–加数),所以难接受。
这个难点可以用列举表格的方法来解决:
这样,数量间的关系就很清晰的展示出来了。其实,在学习代数式时,学过用字母表示数,可是学生思维没有把两个知识点联系起来。
很多参考书都是这样总结列一元一次方程解应用题的一般步骤的。
第一步:审题,用一个字母如x表示题目的未知数;
第二步:找出一个相等关系式;
第三步:根据等量关系列出一元一次方程;
第四步:解这个方程,求出未知数的值;
第五步:检验,作答。
结合学生觉得困难的例2分析一下,第一步就不好办了,因为有两个未知量,却只能设一个未知数;第二步找一个相等关系,其实题中有两个相等关系。有些困难学生,第一个步骤都不能顺利完成,所以觉得难!虽然老师们都觉得这是个超级简单的题,它确实难住了一些学习态度较好的学生。老师的工作就是帮学生解决困难,我们需要学着学生的思维方式去理解他们。
二、二元一次方程组的实际应用困难
二元一次方程组的有关应用题在解设上没有什么困难,找相等关系列方程还是有很大困难。
也举个例子:
例3、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.2公顷,3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割6.5公顷。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
这个题目已知数据很多,部分学生望而生畏。列出的方程常常丢三拉四。
参考书常这样总结列二元一次方程解应用题的一般步骤的。
第一步:认真审题,找出已知量、未知量(两个)以及等量关系(两个);
第二步:设未知量x,y;
第三步:根据等量关系(两个)列二元一次方程组;
第四步:解二元一次方程组;
第五步:检验,作答.
结合例3,分析一下学生觉得困难的地方。第一步,找出已知量、未知量容易,但找两个等量关系就不那么容易了。找不到等量关系,题就做不下去了。
我们可以发现,学生都是被“等量关系”难住的。不管设一个未知数也好,设两个未知数也好,只要找不到等量关系,方程就列不出来。
这个“害人”的等量关系还有一个致命伤——要用文字描述。以例3为例,请老师们自己把“等量关系”准确的表述一下,你会发现,几乎就是把题目重复了一遍。我们自己做这题,只会关注两个“共”字,不会把等量关系详细写出来。那为什么要学生去写或说呢?
反思,“等量关系”地位重要,但是它是否必须在第一时间出现呢?
三、两种讲解对比
以例3为例,对比“等量关系”在前和“等量关系”在后两种讲解方法。
例3、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.2公顷,3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割6.5公顷。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
(一)“等量关系”在前
第一步:解:设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷,得: 第二步:找出相等关系: 大收割机工作量+小收割机工作量=总工作量
是不时所有学生都能准确找到这个等量关系能?
第三步:列出方程:
第四步:解出方程
第五步:检验,答
(二)“等量关系”在后
第一步:找出已知数据,建议学生在数据上作好标记(如圆圈)。
第二步:解:设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷,得:
第三步:分析每个已知数据和未知数的数量关系,顺序是从前往后。
如,看到第一个数据“2台”,想想它和x还是y有关系,它们之间存在那种运算关系?学生很快会想到2x,接下来就是5y,这两个式子就是方程的雏形,再考虑2小时和3.2公顷,方程很容易就出来了:2(2x+5y)=3.2.
第四步:反思题中的“等量关系”
第五步:解出方程
第六步:检验,答
两种方法对比:
第一种方法,学生容易在第二步受困;
第二种方法把找“等量关系”分解为找“数量关系”,学生不那么容易受困;
第一种方法要求学生用文字描述“等量关系”,学生会觉得困难;
第二种方法在找数量关系的过程中,自觉地把等量关系用数学式子(方程)描述好了,学生不会觉得太困难;最后反思“等量关系”,加深对题目的理解。
四、“等量关系”在后的解题步骤反思
“等量关系”在后的列方程解实际问题的步骤:
第一步:认真读题,找出已知量与未知量;
第二步:正确设好未知数;
第三步:按顺序初步分析各个已知量与有关未知数的关系;
第四步:在初步分析的数量关系之间找到等量关系,列出方程(组)并反思等量关系的文字描述;
第五步:解方程(组);
第六步:检验,答。
这样的步骤,把找“等量关系”细化为找“数量关系”,按照已知数据出现的顺序,一个一个分析,把文字理解和数量关系紧密结合在一起。这样的步骤对列一元一次方程和列二元一次方程组都合适。这与波利亚的怎样解题表的思路是一致的。
笔者的教学感受是,“等量关系”在后的方式比较适合中等以下层次的学生。在反复强调这样的步骤后,学生就从不能动手,到动手画圈,再到设好未知数;动手之后,就开始思考,从列一半式子到列出方程。
希望本文能起到抛砖引玉的作用,引起更多的老师来反思实际应用类的教学策略,研究出一些实用的方法。
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