高考作文素材：物质与精神

阅读下面的材料，根据要求作文。（60分）

19xx年，美国贫富悬殊，社会矛盾突出。有一天，一个叫罗伯特的电视记者，拍摄到这样两组画面：一组的主人公是一家公司的总经理，此人在办公室里超负荷地忙碌着，虽然西装笔挺，但神情憔悴、满面疲惫；另一组的主人公，是一位在写字楼工作的清洁工，他身着蓝色帆布衣服，破旧但不脏乱。只见他一边清扫垃圾，一边哼着乡村歌曲，一幅怡然自得的样子。

总经理是美国典型的富人代表，而清洁工是美国典型的穷人代表。这两组镜头在电视上播出之后，奇迹出现了：许多穷人不再仇恨富人，也开始感受到快乐和幸福；居然还有很多富人开始羡慕穷人的生活。

请根据对上则材料的感悟，联系现实生活，写一篇不少于800字的文章，题目自拟文体不限。

二、考场要点

1、结合时代背景揣摩材料主旨 方法：认真审读原文提炼关键词看原材料看提示）

2、补充材料留下的思维空白（对关键词进行排列组合，优选最佳写作角度）

3、精心锤炼标题

4、确定擅长文体

5、罗列可选材料

6、在草稿纸上写好关键语句

友情提示：这是考场作文的重中之重，成败的起点，控制在5—10分钟为宜。请相信：磨刀不误砍柴工。这也是阅卷教师在快速浏览的时候能留下印象的部分。

三、探究最佳写作角度

（一）、当事人语：

不妨让罗伯特道出其中的秘密：

“以前，许多镜头都习惯于对准富人的资产和穷人的疾苦，矛盾便出现了。我将镜头对准富人和穷人的内心，富人因为欲望太多，所以神情疲惫；穷人因为生活简单，所以满脸自得。富人和穷人不能只比物质，还要比幸福感。”摘自2010《人民文摘》第1期 作者沈岳明

（二）、考场点睛

【分析品悟】不能只比物质。以前，许多镜头都习惯于对准富人的资产和穷人的疾苦，矛盾便出现了。这位记者将镜头对准富人和穷人的内心，富人因为欲望太多，所以神情疲惫；穷人因为生活简单，所以满脸自得。

【最佳立意】 不能只比物质，还要比幸福感。

【适用主题】物质与精神、幸福感。换个角度

素材：

1、一箪食，一瓢饮，居陋巷，不改其乐的颜回

2、青海玉树地震（热门素材用好不易，建议回避 尖新示例）

车辚辚，风萧萧，行人远望各心焦。山川河流走相送，尘埃不见西宁桥，千里驰援志如刀！前方有生命的等待，后面有国家的催促，这些志愿者，毫不犹豫地选择征程。

3、曹德旺、曹晖父子 黄富荣 陈光标 才仁旦舟

4、著名作家阿来拒上《百家讲坛》

5、为什么贫穷的尼泊尔、不丹、老挝、智利人均幸福指数那么高？为什么经济发达的日本、韩国自杀率节节攀升？

6、知名心训师林A的心灵富豪榜——参见所转博文（我关注信义兄弟时看过《武汉城市圈》对林A的专访，专为收集反面素材而用）

信义兄弟怎么用，反面材料有哪些：黄光裕入狱、刘晓庆逃税、史玉柱“伪信用”、荣智健黯然退出

示例一：

孙水林、孙东林兄弟当然是诚信和道义的象征，但光“信义”两字还无法诠释他们价值的全部。因为中国传统文化中的一些糟粕元素，“伪诚信”、“伪道义”在我们国家比比皆是。我记得大名鼎鼎的史玉柱“重出江湖”做脑白金时，第一件事情就是还债，把自己包装成一个“诚信典型”，其实目的还是获得银行的信任。所以，其后来被曝出的“漏税”丑闻也就不足为奇了。

但孙水林、孙东林兄弟不同，他们的信义行为因为哥哥一家五口的灾难而凸显出来，更因为弟弟的主动接力而得到彰显。中国人讲究“人死账消”，但孙水林一家五口都死了，但他的账不但没有消，而且在没有账目的情况下由民工凭良心领工钱。这说明孙水林、孙东林兄弟的行为是发自内心的主动行为，而不是为

了信义而信义。这种内心的信义之心、责任之心和良善之心，才是我们社会的最珍贵宝藏。

示例二：

黄光裕曾数次被评为“中国首富”。但取得商业成功后，他根本无暇也不愿回头构建自己的心灵大厦和道德天空，而一度沉溺于官商勾结和无道德环境的长袖善舞。因为出身贫寒和“原罪”心态，黄光裕虽然有百亿身价，但他的心灵是贫困的。 中国像黄光裕这样拥有巨额财富数字内心却十分赤贫的人非常多，这样的富豪是不能算真正富豪的。但我们的社会，现在就是迷恋这样的富豪，这不是不说是个时代的“杯具”。在一个经济财富得到不断累积而心灵财富得不到张扬的社会，会造成很多畸形的社会问题。

7、证严法师《静思语》

富中之富、富中之贫、贫中之富、贫中之贫是法师经常提起的四种贫富人生。早会时法师申言，贫者，沉浮于种种秽恶苦境之中，然心若知足，即可转苦难为快乐，若是徒具丰足的财物，却不懂得善用，反会受其诱引，心灵永不满足。

（1)富中之富者，富有物质，更富有爱心。如企业家开展事业，安定了许多人的家庭生活，也将有余的财富为社会、为人群付出。知道如何运用有形物资助人，心灵富足才是真富有。

一个财力丰裕的富翁，如果也能发慈悲心尽量去帮助社会上一些不幸的人群，则其内心也必定感到很充实，精神上感到很富足，那么他也会成为一个“富中之富”的人。

（2）富中之贫者，“有一缺九”──拥有十就想要一百，有了一万更想要十万??因为永远觉得不够；不够，就是缺乏，这是心灵的贫穷。法师解释，富中之贫的人除了捨不得付出，也缺乏情与爱，害怕他人向自己寻求协助，故与人疏离；所以不唯自觉有形的财物不足，更是缺情、缺爱，富中之贫者实堪怜！

精神方面感到很空虚和苦闷，则不管拥有多少财富，住着豪华的别墅，开着进口的名车，吃着山珍海味或满汉全席，穿着名贵华服和钻饰，也会觉得这些一切都索然无味，毫无意义，甚至觉得非常无聊、孤独和痛苦。这些人便是典型的“富中之贫”。

（3）贫中之富者，就是我天天都可看见的人间菩萨──他们生活并不富有，却富在肯做、肯投入，虽然天天辛勤工作才能维持生活，但他们仍尽一己之力帮助社会、帮助更穷困的人。

法师以环保志工为例，他们多是默默无闻的市井小民，或是学历不高、识字不多的老者，却心心念念助人为善，努力做回收、分类，一举手一投足，都为人间做出最有意义的贡献。“尽管回收所得微少，但是他们爱心充分，也能集合成一股强大的力量。”

一个人如果在物质上或财富方面很匮乏，但是如果能发心行善，纵然布施的能力很有限，然而也可以在精神上感到很富足，成为一位“贫中之富”的人。

（4）至于贫中之贫者，不仅生活贫困，心灵也困顿，永远想要依靠别人的帮助。“菩萨度人，先以利济。”法师教示，对于贫者，可先抚平其民生之苦、济助其生活来源，但更重要的是要以清净善法化导、循循善诱，慢慢度化其心灵步上善的方向，产生尊严和自信心，相信自己有朝一日也能够帮助别人。

8、热播剧《老大的幸福》、毕淑敏《破译幸福密码》

由范伟主演并监制的电视剧《老大的幸福》，在央视一套开播后，当天收视率高达5.03%，创下今年央视一套黄金时间段首播集的历史最高。剧中笑中含泪的感动，简单幸福的老大，深深震撼着我们的心灵，而傅老大四个弟妹到底是否幸福，也如猜谜一般引人深思。

电视剧中，傅老大的四个弟妹有房地产大亨、官迷、房奴、股疯，都是外表光鲜的人物，但他们的生活却充满着压力、紧张、迷茫和无意义。这是为什么呢？这是因为，他们寻求满足的都是病态的欲望，这种远离生命本源的欲望好像一个无底洞，永远无法满足。

剧中佳佳有一句名言，说追求身外之物的人都是奴隶，再光鲜都是不幸福的。傅老大的四个弟妹正是因为心底的迷茫、空虚，才会缺乏幸福感和满足感，才会不择手段地追求不属于他们的权力和钱财。这是一种神经症性的病态欲望，即便拥有再多权钱，也填不满欲望沟壑，反倒作茧自缚。

9、钱学森

精神和物质是对立统一、密不可分的。我们怀念五六十年代人的精神风貌，但我们绝不愿回到那个时代的物质生活中去。同样，当我们今天生活在相对物质丰富的年份，人们又是多么想望那份曾经拥有的精神家园!有了物质基础可以促进精神文明，因为经济充裕了，人们可以求知求学，可以知书达理，可以乐善好施。但物质丰富也容易带来享乐、攀比、仇隙。这种时候非常需要有好的社会环境和精神引导。

依钱学森老人的家世，他尽可以享受锦衣美食的生活，甚至可以在大洋彼岸做着无数人羡慕的科研工作。而他却选择了报效祖国，而且是要冲破各种阻挠、迫害的漫长之旅。当他融入祖国，看到那一代伟人以身作则，亿万人民精神饱满地为新中国建设而忘我奋斗，钱老被中国的领袖和人民的精神感染着。而今，他又感染了我们无数人。

10、沈浩日记

“电影《牧马人》中有这样一个情节：许灵均的父亲在美国是一个亿万富翁，他回国本想让儿子出国继承财产，重新认识“人生的价值”，过上“幸福的生活”，可是，当他听到了许灵均讲述他自己的成长经历后看到儿子有那么丰富的

精神生活，反而羡慕起来，感到自己的物质生活虽然十分优裕，但并不幸福。因此不得不感伤地承认：“在财产上，我是富翁；在感情上我却一贫如洗，准确地说，是个乞丐”。

亿万富翁居然成了乞丐？细细想来，并不奇怪。因为人生的价值并不是由拥有物质财富的多少来确定的。如果精神空虚，即使物质财富再多，也无法感受人生的真正幸福。

当然，我们说人离不开高尚的精神生活，绝不是说可以不要必须的物质生活。我们搞四化的一个重要目的就是不断提高人民的物质生活水平。但这种丰富的物质生活需要用革命的精神去创造。现在有的年轻人不讲革命理想，不讲做人的道德，一心只做金钱梦，这种人应该从亿万富翁是“乞丐”的感慨中得到启发和教育。”

3.一次成功就够了

以下是一个人一生的简历：5岁时，他父亲就去世了：14岁时，他从学校辍学，开始了流浪生活：16岁时，他谎报年龄参了军，而军旅生活也是处处不顺心； 18岁时，他娶了个媳妇，可只过了几个月，媳妇就变卖了他所有的财产逃回了娘家；他曾通过函授学习法律，可不久又放弃；后来，他卖过保险，卖过轮胎，还经营过一条渡船，开过一家加油站，但都失败了。

人到中年，他成了一家餐馆的主厨和洗瓶师，可因政府修公路而拆了那家餐馆，他又失业了；时光飞逝，眼看一辈子就这样过去了，而他仍一无所有。 65岁那年，邮递员给他送来了他的第一份社会保险支票，他用这105美元保险金创办了自己的一份崭新的事业。 88岁高龄时，他的事业终于大获成功。他，就是肯德基创始人——哈伦德?山德士!

分析：一辈子都在追求中，只要一次机会，你就会成功；如果你放弃追求，再多的机会，你都不会成功。

材料作文训练(2011-05-06 16:38:45)转载▼标签： 杂谈

阅读下面材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

我国著名教育家陶行知先生非常推崇并常用来教育学生的一句名言:“假使你有两块面包，你得用一块去换一朵水仙花。”这句话是伊斯兰教的创始人穆罕默德说的。

要求:全面理解材料，自定立意，自选文体，自拟题目，不少于800字，不得抄袭。

[写作提示]

这是比喻型材料。材料很简单，关键就是穆罕默德的名言——“假使你有两块面包，你得用一块去换一朵水仙花”。原话是：“谁有两个面包，卖掉一个吧，用来买水仙花，因为面包是身体的粮食，水仙是精神的粮食。”这是一个比喻。“面包”是用来吃的，维持身体的需要：“水仙”是用来看的，让人精神愉悦、心情舒畅。

“水仙花”指的是“心灵和精神追求”。要从呼唤精神文明，呼唤人文精神的回归，呼唤人性的光辉的角度进行写作。

拥有面包，就是有一定的物质生活；拥有水仙，就是有一定的精神生活。在拥有两块面包的前提下，用一块去换一朵水仙花，有两层意思：1．为什么“用一块而不是两块去换”？用一块去换而不是用两块去换，就是说物质生活是精神生活的基础；2．吃一块面包，用另一块去换一朵水仙花，就是说人在拥有了一定的物质生活后，还要有高质量的精神生活。即在满足了一定的物质生活之后，一定要有精神生活。

[最佳立意]

精神生活很重要。在满足了一定的物质生活之后，一定要有精神生活。写作时无论从哪个角度切入，都应落到“面包”即“物质生活”、“水仙”即“精神生活”上。

例文：

绽放于心田的水仙花

当庄周垂钓于濮水之上，当他于濠梁之上与惠施玩味着“鱼之乐否”时，我们怎能不钦佩他那宁愿曳尾于涂中不为红尘的所得的仙风道骨？也许他是贫穷的，他家徒四壁，但因精神世界的充盈，一朵水仙花便于世俗尘埃中绽放，灼灼其华，雄视百代。

在现今物欲横流之时，人们似乎淡忘了“点一瓣心香”的感动，疏远了秦淮河上桨声灯影的浪漫，至于张岱夜船中的悠闲与文趣只怕也在灵性深处黯淡的落上了灰。殊不知，单翼难飞，独木难支，精神如水滋养心灵，物质若山支撑生活，山环水绕，高山流水才是和谐。 洛克菲勒早年吝啬狭隘，垄断市场后仍是抑郁难舒，物质的享受并未带来片刻的欢愉，医生断定他活不过60岁，可之后他捐款助人，借帮助他人丰富自己那早已枯竭的心，不久他开始活的饱满，充实。用一颗温暖，善感的心去味这世间的美好。谁又会忧愁满腹呢？ 生活本就是一杯白水，杯子的华丽与否并不会改变水的香甜。可水若是变质了，再美的杯又有何用？

在那个人性泯灭道德沦丧的年代，多少人不堪侮辱，选择离开。好的坏的，都淹没于尘埃中，可有那么些人坚守心中的水仙花，相信终有一天天地澄明，于是再深的伤害，再痛的打击也一笑置之，不然，胡风如何在几十年牢狱中忍受孤独，杨绛怎么挨得过牛棚中那艰难的岁月？生活中有各种痛与苦，唯有精神的力量才能帮助我们抵过风浪。（大气豪放，行云流水。）

李白曾“花间一壶酒，对影成三人”，他的寂寞与无助像海一般深，可他寄情山水，逍遥酒中，他是失意的贫穷的，可精神上的水仙花都让他成就了一世英名。

一直很喜欢一句诗：掏水月在手，弄花香满衣，不是物质上那种富贵奢侈的享受，只是简单的美，纯粹的与自然共舞，失水天烂漫。可那自有人生的真谛，让我们在经历了无数的捶败后，知道原来生活也可以如此浪漫。如同文君当垆，为了一个身无长物而才华横溢的才子，即使环堵萧然，也愿意度过相濡以沫的幸福，简单地充满诗情画意的美好。

生活中充满了太多的诋毁，寂寞孤独，自有人是“冠盖满京华，斯人独憔悴”，也有人感慨“最恨人心不如水，等闲平地起秋霜”，这时，再多的黄金也只是冰冷而无情的，而它可以饱腹，但水仙花才给你安适，心灵的充盈。

二战后，日本成了一片废墟，可废墟中的一盆花却象征了日后的迅猛发展。 你心中的水仙花在何方？花在，才能诗意的栖居！

愿心中水仙常开

“秋风吹走了落叶，把我们的思念纷纷挂上枝头。”

的确，正如著名教育家陶行知先生常说的那样：“假如你有两块面包，你得用其中的一块去换一朵水仙花。”

水仙，就是我们每个人心中的精神追求。

每个人的心中，都有一朵水仙的盛开，于是，才会有一种声音，让我们不觉间泪流满面；总有一种情愫，不留意间，已被轻轻唤起。

或是纳兰“谁念西风独自冻”的淡淡哀愁，或是卞之琳的《断章》中的意味深长；或者，是沈从文笔下湘溪流水间让人扼腕叹息的伤怀；有时，又是鲁迅笔下让人顿觉泪潸潸而汗涔涔后的沉思??或嗟叹，或感慨，或大笑，总是让思绪的潮水在感受中荡涤着我们的思想，升华着我们的感情。

然而，不知何时，满街喧哗的音响把我从悠悠的“高山流水”中拉回，从“乱石穿空，惊涛拍岸”的赤壁中拉回，林立栉比的高楼大厦袭击了我的“杨花落尽子规啼”的梦想，忽然看见，人们步履匆匆，仿佛在与时间做着永恒的赛跑。

是啊，现代社会的信息铺天盖地，人们再也无暇顾及心灵对美的追求，人们心中的那朵水仙花在慢慢地枯萎着。房子越来越大，在家的时间却越来越少；赚钱越来越多，幸福的感觉越来越少；身价越来越高，自由的空间却越来越小??

现代化的图书馆大楼门可罗雀，游戏光碟铺前却车水马龙，人们对低俗文化的一味追捧，是否都可以用“省时间”和“没时间”作为借口？现代人，在追求着物质享受的同时，是否可以静下心来，给心灵一点空间，浇灌一下心中的水仙花？

的确，人们不可一味追求物质生活而忽视精神生活的需求，谁都清楚，只有有了物质生活的保障，才能让精神的美好代代相传。

曾听过这样一个故事：古时候，有井方、井圆两兄弟同去拜师学画，学成后，便走出师门各自发展。井圆看准时机，紧跟时代潮流，什么人物画、山水画等，流行什么画什么，他的画被人们承认，渐渐地，他家财万贯。而井方，离开师门后仍然还是那么刻苦那么勤奋，不断提升着对现实的感受力，逐渐形成了独具一格的绘画风格，然而这种画风并不被人们所接受所承认，井方依然坚持着，最后穷困潦倒，在草屋中结束了自己的一生。

若干年后，人们突然发现了井方画里深藏的含义，渐渐欣赏起他的画来。他的作品大放异彩。而此时，人们早已不记得井圆了。

梅令人傲，荷令人香，菊令人清，莲令人洁，水仙令人雅，松令人刚??在创造物质条件的时候，不忘对美的追求，不忘精神世界的纯净，那心中的水仙才会常开常香！

 

第二篇：高中数学解题思想方法+语文备考精品+20xx年高考作文写作素材200例+物理所有基础知识+

1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k?k＝－ ，

①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】 由"换元法"引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k?k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用"参数法"求中点M的坐标，消参而得。

【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),

则k?k＝＝－，整理得到：

cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。

∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，

即|OP|＋|OQ|等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，

所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。

【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行"三角换元"，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和"平方法"，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程"消参法"的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用"参数法"时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用"消去法"消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： ，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；

，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；

所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）

＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。

在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长。 S

E

D C

O F

A B

例3.已知正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。

【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。

【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。

设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝,

SC＝＝

＝

又 ∵BE＝＝＝

在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。

所以cosα＝－cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2. 函数y＝x＋2＋的值域是________________。

3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____

A. 5 B. 10 C. 2 D. 3

4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。

5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。

7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于"间接证明法"一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括："若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾"。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律"。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的"矛盾律"；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说"A或者非A"，这就是逻辑思维中的"排中律"。反证

法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据"矛盾律"，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以"否定的结论"必为假。再根据"排中律"，结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为"否定→推理→否定"。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是"否定之否定"。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到"反设"进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫"归谬法"；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫"穷举法"。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过："反证法是数学家最精当的武器之一"。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以"否定形式"、"至少"或"至多"、"唯一"、"无限"形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 Ⅰ、再现性题组：

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根

2. 已知a<0,－1<b<0，那么a、ab、ab之间的大小关系是_____。

A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a

3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。

A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交

C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交

4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用"特殊值法"，取a＝－1、b＝－0.5，选D；

3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C?4－3－6,选D。

S

C

A O

B

Ⅱ、示范性题组：

例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

【分析】结论是"不垂直"，呈"否定性"，考虑使用反证法，即假设"垂直"后再导出矛盾后，再肯定"不垂直"。

【证明】 假设AC⊥平面SOB，

∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，

∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，

∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，

这显然出现矛盾，所以假设不成立。

即AC与平面SOB不垂直。

【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【解】 设三个方程均无实根，则有：

,解得,即－<a<－1。

所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。

【注】"至少"、"至多"问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了"判别式法"、"补集法"（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。

【分析】"不平行"的否定是"平行"，假设"平行"后得出矛盾从而推翻假设。

【证明】 ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x, 假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x

∵x≠x ∴ a＝1， 这与已知"a≠1"矛盾，

因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。

② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，

即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。

由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

【注】对于"不平行"的否定性结论使用反证法，在假设"平行"的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知f(x)＝，求证：当x≠x时，f(x)≠f(x)。

2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：、、不可能成等差数列。

3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。

4. 求证：抛物线y＝－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。

5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。

A

F D

B M

N

E C

6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能垂直CF。

第二章 高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想方法

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过："数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。"数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。"数"与"形"是一对矛盾，宇宙间万物无不是"数"和"形"的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 Ⅰ、再现性题组：

5. 设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。 （90年全国文）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 若log2<log2<0，则_____。(92年全国理)

A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1

7. 如果|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)

A. B. － C. －1 D.

8. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5

C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5

9. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全国)

A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1

10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角

11. 已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的区间是_____。（93年全国文理）

A. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)

12. 若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。

A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ

13. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理)

A. B. C. D.

14. 满足方程|z＋3－ｉ|＝的辐角主值最小的复数z是_____。

【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;

2小题：由已知画出对数曲线，选B；

3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；

4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；

5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；

6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；

7小题：利用单位圆，选A；

8小题：将复数表示在复平面上，选B；

9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；

10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。

【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，

即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。

y

4 y=1-m

1

O 2 3 x

Ⅱ、示范性题组：

例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。

【解】 原方程变形为

即：

设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：

① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0,

∴ m＝1或－3<m≤0

此题也可设曲线y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y＝m后画出图像求解。

【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。

y A

D

O B x

C

例2. 设|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。

【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。

【解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。

由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝＝

∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ

y A

D

O x

【另解】设z＝、＝如图所示。则||＝，且

cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，

所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。

【注】本题运用"数形结合法"，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。

本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ|＝

＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±，

＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。

本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z－|＝得：

（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,

所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。

几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。

例3. 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？

【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。

【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：

，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0

所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。

结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，

所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋3。

结合以上，所以－4＋3<p<。

【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了"判别式法"，其中特别要注意解的范围。另外，"定义法"、"数形结合法"、"转化思想"、"方程思想"等知识都在本题进行了综合运用。

例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)

【分析】集合A、B都是不连续的点集，"存在a、b，使得A∩B≠φ"的含意就是"存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。

【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;

设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12

∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。

【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；

由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；

把①式代入②式，得关于a的不等式：

(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,

它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3)

因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。

所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知5x＋12y＝60，则的最小值是_____。

A. B. C. D. 1

2. 已知集合P＝{(x,y)|y＝}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。

A. |b|<3 B. |b|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3<b<3

3. 方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对

4. 方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

5. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。

6. 设z＝cosα＋ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。

7. 若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

8. sin20°＋cos80°＋sin20°?cos80°＝____________。

9. 解不等式： >b－x

10. 设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。 （90年高考副题）

11. 定义域内不等式〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。

12. 已知函数y＝＋，求函数的最小值及此时x的值。

13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。

二、分类讨论思想方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是"不漏不重"。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0<a<1

2.若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝q B. p<q C. p>q D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q

3.函数y＝＋＋＋的值域是_________。

4.若θ∈(0, )，则的值为_____。

A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1

5.函数y＝x＋的值域是_____。

A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]

6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A. B. C. D. 或

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定

【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；

2小题：对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C；

3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；

4小题：分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D；

5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；

6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；

7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。

【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1

① 当0<a<1时，log(1－x)>0，log(1＋x)<0，所以

|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;

② 当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以

|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0；

由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。

【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即