因式分解

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：ab?ac?a(b?c)

（2）运用公式法：a2?b2?(a?b)(a?b)

a2?2ab?b2?(a?b)2

a2?2ab?b2?(a?b)2

（3）分组分解法：ac?ad?bc?bd?a(c?d)?b(c?d)?(a?b)(c?d)

（4）十字相乘法：a2?(p?q)a?pq?(a?p)(a?q)

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

题型一：提公因式法：ab?ac?a(b?c)（主要是找公因式）

例题1：利用因式分解下列各题；

（1）5x?10x；

解：原式?5x(x?2).........................................找到公因式“5x”并将它提取出来。

225xy?10xy（2） 2

解：原式?5xy(x?2y).........................................找到公因式“5xy”并将它提取出来。

（3）2abc?4abc?6abc 3232222

解：原式?2ab2c(bc?2a2?3ac)

即使训练：

22222222212xy?6xy8xyz?6xyz-4xyz （1） （2）

26(x?y)?12(x?y)（3） （4）8(a?b)?4a(b?a)

23624535413xyz?26xyz?26xyz （6）3ab2?6a2b2?9a2b （5）

题型二：运用公式法：a2?b2?(a?b)(a?b)

a2?2ab?b2?(a?b)2

a2?2ab?b2?(a?b)2（主要是公式之间的转换）

即使训练：

1，平方差公式的运用；

2222x?y4x?9y（1） （2）

2222224xy?9xy（a?b）-(2a?b)（3） （4）

4416x?y(x+2y)（x?2y）（5） （6）

2，完全平方和（差）的应用

22(2x?y)(2x?3y)（1） （2）

2（3）x+2x+1 （4）x?4x?4 2

222x（5）y?4xy?4y （6）ab?6ab?9

（7）4x+12x+9 （8）?16?8x?x

（9）a?2ab?b?1 （10）（2x+3y）2 — (2x+3y)(2x-3y), 其中x=3，y=1 2222

题型三：分组分解ac?ad?bc?bd?a(c?d)?b(c?d)?(a?b)(c?d) 即时训练：

22xy?3y?2xz?3yz （2）ac?ad?bc?bd （1）

题型四：十字相乘法：a2?(p?q)a?pq?(a?p)(a?q)

（1）x?4x?3 （2）x?2x?3

（3）x?7x?6 （4）x?5x?6 2222

（5）2x?5x?2 （6）4x?5x?1

22

初二因式分解练习题 （单元测试）

一、

填空题：（5分?4=20分）

（1） 分解因式；a(x?y)2?b(y?x)2?_______________；

（2） 分解因式：a2(x?y)3?b(y?x)2?________________；

（3） 分解因式：x4y?x2y3?x3y2?xy4?________________；

（4） 分解因式：2xn?6xn?1?8xn?2?__________； ________

二、 选择题：（5分?6=30分）

（1）下列变形，是因式分解的是-----------------------------------------------------------（ ）

A (x?4)(x?4)?x?16 B x?3x?16?(x?2)(x?5)?6

C x?16?(x?4)(x?4) D x?6x?16?(x?8)(x?2)

（2）下列各式中，不含因式a?1的是-----------------------------------------------------（ ）

222A 2a?5a?3 B a?2a?3 C a?4a?3 D a?2222231a? 22

3（3）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是---------------------------------------（ ） 2A a?16 B ab?4a C 3(a?b)?27 D a?b 2223

（4）已知2x?3xy?y?0,(xy?0)，则22xy?的值是---------------------------（ ） yx

A 2，2111 B 2 C 2 D ?2，?2 222

2（5）如果9x?kx?25是一个完全平方式，那么k的值是--------------------------（ ）

A 15 B ?15 C 30 D ?30

222（6）已知a?b?c?2(a?b?c)?3?0，则a?b?c?3abc的值是--（ ） 333

A 0 B ?3 C 3 D 9

三、把下列各式因式分解：（6分?5=30分）

（1）x2?xy?30y2 （2）pm?3?pm

（3）(x2?48)2?64x2 （4）(x2?x)2?(x2?x)?2

（5）(x2?y2?1)2?4x2y2

四、（10分）已知x?y?1，求证：x3?3xy?y3?1

五、（10分）已知

a?11?3a2?2?3aa，求的值

 

第二篇：初二 因式分解知识总结归纳

因式分解知识总结归纳

    因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

  1. 因式分解的对象是多项式；

  2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

  3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

  4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

  5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

  6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

  7. 因式分解的一般步骤是：

    （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

    （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

   一、提公因式法

①概念：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.      如     am＋bm＋cm＝m（a+b+c） 

③具体方法：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

二、运用公式法。

    ①平方差公式：. a²－b²＝(a＋b)(a－b) 

    ②完全平方公式： a²±2ab＋b²＝(a±b)² 

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.  （运用完全平方公式也叫配方法）

    ③立方和公式：a³+b³＝ (a+b)(a²-ab+b²). 

      立方差公式：a³-b³＝ (a-b)(a²+ab+b²). 

④完全立方公式： a³±3a²b＋3ab²±b³＝(a±b)³ 

三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

例4、在多项式分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。分解为，常数项2分解，把它们用交叉线来表示：

所以                      

                           

同样：=可以用交叉线来表示：

 其中，                                

四、 通过基本思路达到分解多项式的目的

 1.用分组分解法分解因式。

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，  但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

=，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例：分解因式

    分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

    解一：原式=

              =

              =

              =

    解二：原式=

             

  2. 通过变形达到分解的目的

    例1. 分解因式

    解一：将拆成，则有

   

    解二：将常数拆成，则有

   

练习：

一、填空：（30分）

1、若是完全平方式，则的值等于_____。

2、则=____=____

3、与的公因式是＿

4、若=，则m=_______，n=_________。

5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若是完全平方式，则m=_______。

7、

8、已知则

9、若是完全平方式M=________。

10、，

11、若是完全平方式，则k=­­_______。

12、若的值为0，则的值是________。

13、若则=_____。

14、若则___。

15、方程，的解是________。

二、选择题：（10分）

1、多项式的公因式是（   ）

A、－a、  B、  C、   D、

2、若，则m，k的值分别是（    ）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、

3、下列名式：中能用平方差公

式分解因式的有（     ）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算的值是（   ）

 A、   B、

三、分解因式：（30分）

1 、         2 、              3 、           

4.            5、               6.

7、     8、         9 、                       

10、   11、    12、m²(p－q)－p＋q；

13、a(ab＋bc＋ac)－abc；      14、x⁴－2y⁴－2x³y＋xy³；15、abc(a²＋b²＋c²)－a³bc＋2ab²c²；

16、a²(b－c)＋b²(c－a)＋c²(a－b)    17、(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1； 18、(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²；

19、x²－4ax＋8ab－4b²；      20、(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)

21、(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b2－1)²；  22、(x＋1)²－9(x－1)²；          23、4a²b²－(a²＋b²－c²)²；        

24、ab²－ac²＋4ac－4a；          25、 x³ⁿ＋y³ⁿ；              26、(x＋y)³＋125               

27、(3m－2n)³＋(3m＋2n)³；            28、x⁶(x²－y²)＋y⁶(y²－x²)    

29、8(x＋y)³＋1；           30、(a＋b＋c)³－a³－b³－c³                   31、x²＋4xy＋3y²                         

 

 

32、－m⁴＋18m²－17；           33、7(a＋1)－6(a＋1)²；            33、(x²＋x)(x²＋x－1)－2。