全等三角形

1.全等形的定义：

2.全等三角形的定义：“≌”表示，通常把

表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3.对应顶点、对应边、对应角的定义：4.找对应边、对应角的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．

（3）有公共边的，?公共边一定是对应边；

（4）有公共角的，公共角一定是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的

边（或最小的角）是对应边（或角）．

5.平移、翻折、旋转，以上运动前后的三角形是全等的。

6.全等三角形的性质：1）全等三角形对应边相等；2）全等三角形对应角相等．

7. 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

8.判定两个三角形全等的方法：

三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS?”）．

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”。

9.证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，?观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等

角的平分线的性质

1.角平分线的定义：2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

3.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

轴对称

1.轴对称图形的定义：

2.两个图形关于这条直线对称的定义：3.对称点的定义：

4.垂直平分线的定义：5.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

6.

7.线段的垂直平分线的判定：与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上

线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

8.我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

9. 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；

点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；

点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)

等腰三角形

1.等腰三角形的定义：叫做等腰三角形。叫做腰，

叫做顶角，

2.等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线

3.等腰三角形的性质：

1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 等边三角形

1.等边三角形的定义：叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。

2.等边三角形的性质：

1）三边相等；

2）三角相等都是60°；

3）三边上的中线、高线、角平分线相等（三线合一）；

4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

3．等边三角形的判定：

1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

4.直角三角形性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

 

第二篇：初二数学上全等三角形知识点总结

                      全等三角形  知识梳理

一、知识网络

二、基础知识梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解   全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

全等三角形知识点梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解

全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做

全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) 2 （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点

摘要：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况）

定义

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

表示：全等用“≌”表示，读作“全等于”。

判定公理

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等

(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。

性质

三角形全等的条件：

1、全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的对应边相等

3、全等三角形的对应顶点相等。

4、全等三角形的对应边上的高对应相等。

5、全等三角形的对应角平分线相等。

6、全等三角形的对应中线相等。

7、全等三角形面积相等。

8、全等三角形周长相等。

9、全等三角形可以完全重合。

三角形全等的方法：

1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

推论

要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：

S.S.S. （边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

S.A.S. （边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

A.S.A. （角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

A.A.S. （角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

R.H.S. / H.L. （直角、斜边、边）：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：

A.A.A. （角、角、角）：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。

A.S.S.（角、边、边）：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边（没有夹着该角），但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

运用

1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定

却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角

是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为

找对应边，角提供方便。

3、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可

以用于工业和军事。

5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。