第一章 函数极限与连续
(一) 本章重点(important points):
1. 了解极限的定义(重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”,以及N与的相关性;动态变化性)及求法,定义要从代数及几何两方面进行理解。
2. 理解以及运用两个重要的极限公式(及其拓展形式)。
3. 无穷小理论及其运用(主要是等价无穷小代换,在求极限以及一些证明题中会经常用到,so it is also important!)。
4. 函数的连续(这是以后很多公式定理运用的条件,所以必须掌握地very good!)。
5. 分段函数的连续性,可导性,及其极限值的求法。
(二) 知识点分析(analysis):
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高等数学
多元函数微分法
及其应用学习总结
一.知识结构图
多元函数微分学:
l 基本概念(区域.定义.极限.连续)
l 偏导数(定义.计算.高阶偏导数)
l 全微分(定义.计算.必要条件.充分条件)
l 多元复合函数导数(链式法则.全导数)
l 隐函数求导法则(一个方程.方程组)
l 多元函数微分学的几何应用(曲线以及曲面的切线和法平面)
l 方向导数及其梯度
l 多元函数最值及其求法
二.内容提要
1) 二次极限定义:
设f(x,y)的区域D内有定义,(,)是D的聚点,若>0,,当点P(x,y)满足||<时,总有成立,则称函数当(x,y)趋向时以A为极限,记作或.
2) 二元函数连续性定义
设函数在点的某个邻域内有定义,若,则称二元函数在点处连续,点称为的连续点。
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第一章 函数与极限习题课
一、主要内容
(一)函数的定义
(二)极限的概念
(三)连续的概念
一)函数
1.函数的定义 函数的分类
2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期
3.反函数
4.隐函数
5.基本初等函数
6.复合函数
7.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数
(二)极限
1、极限的定义:
单侧极限 极限存在的条件
2、无穷小与无穷大
无穷小; 无穷大; 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质
3、极限的性质 四则运算、复合函数的极限
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限;
f.利用等价无穷小;
g.利用重要极限
5、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理
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第一节 函数
一、求表达式;
(1)已知函数f[g(x)]的表达式,求函数f(x)的表达式。 解:①令u=g(x),从中反解出x=φ(u),再求出f(u)的表达式,然后将u换为x,可得f(x);
②将函数f[g(x)]的表达式凑出g(x)的函数关系式,然后将所有g(x)的位置换为x,即得f(x);
自我理解:本人觉得第一种是通用的;第一种运用的是反推,也就是反代转换的意思,相当于原本是乘以了“一个数”,然后反过来解时再除以“这个数”的意思!
(2)已知函数f(x)和f[g(x)]的表达式,求函数g(x) 自我总结:将g(x)代入f(x)得出表达式= f[g(x)]的表达式,得出g(x)
二、函数的简单性质;
1、单调性 2、奇偶性 3、周期性 4、有界性
(1)单调性判定:
①定义判定: x2>x1 , f x2 ?f x1 >0 , 则增
x?f x
2>x1 , f x21 <0 ,则减
②导数判定: f′ x >0 增
f′ x <0 减
第一章 易忘点总结(函数、极限与连续)
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本章总结提升
本章知识框架 构建框架 系统整理
整合拓展创新 归类资源 夯基提能
类型之一 有理数的分类
例1 将下列各数填入相应的大括号里:-9,+,0,-2,2000,+61,,-10.8,-(-3),|-3|.
正数集:{ …},
负分数集:{ …},
非负数集:{ …},
整数集:{ …}.
[解析](1)正数:正整数、正分数;
(2)非负数:正数、0;
(3)整数:正整数、0、负整数.
解:正数集:{+,2000,+61,,-(-3),|-3|,…};
负分数集:{-2,-10.8,…};
非负数集:{+,0,2000,+61,,-(-3),|-3|,…};
整数集:{-9,0,2000,+61,-(-3),|-3|,…}.
[归纳总结] 解决此类问题的关键是正确理解有理数的相关概念及分类.
类型之二 有理数的有关概念
例2 若有理数m,n满足|2m-1|+(n-2)2=0,则mn的值等于( )
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极限计算方法总结
一、极限定义、运算法则和一些结果
1.定义:
数列极限、函数极限,课本42页的表格必须认真填写并掌握。
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;;等。
定义证明按着总结的四个步骤来,缺一不可!(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
2.极限运算法则
定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,
且(1)(2)
(3) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
3.两个重要极限
(1) (2) ;
说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式。
(2)一定注意两个重要极限成立的条件。
例如:,,;等等。
4.等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
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第一章 集合与函数概念
课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA)
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
或若集合AÍB,存在xB且x A,则称集合A是集合B的真子集。
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
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